Atividade 1
Na primeira atividade desenvolvida, o professor Dirceu solicitou que os alunos se organizassem em duplas ou individualmente, e orientou-os a, mesmo em dupla, fazer um registro próprio na folha de atividade. Alguns preferiram atuar individualmente.
Em seguida, o professor solicitou que tentassem resolver a Atividade 1 usando seus conhecimentos anteriores, explicando que as atividades seriam realizadas durante as aulas e deveriam ser entregues ao final de cada aula, prontas ou não. Caso não estivessem prontas, os alunos a receberiam de volta na próxima aula para terminar. O professor explicou ainda que eles seriam avaliados pelas atividades entregues, participação e iniciativa, e através de uma prova ao final do processo.
As primeiras dúvidas começaram a surgir alguns minutos depois, referindo-se à dificuldade em entender a tarefa, ou seja, o que deveria ser feito: aluno B1 – “Professor, o que é pra fazer? Não tem um exemplo?”; aluno B2 – “Faz o primeiro aí pra gente ver, professor...”.
Os alunos foram então orientados a construir uma tabela com alguns valores, esboçar a partir daí um gráfico, compará-lo aos gráficos apresentados na atividade e em seguida relacioná-los às expressões. Além disso, o professor solicitou que numerassem os gráficos da primeira coluna de 1 a 4, e os da segunda coluna de 5 a 8, para padronizar os procedimentos. Informou ainda que quase todas as expressões poderiam ser resolvidas facilmente com o uso de tabelas. Os alunos iniciaram então o seu trabalho, construindo tabelas.
Figura 31: Resolução da Atividade 1 por alunos do professor Dirceu
Ao perceber que um grupo já tinha identificado alguns gráficos, entre eles o da função identidade (y = x), o professor rapidamente solicitou que os alunos explicitassem para a turma como haviam procedido: “O grupo do aluno B1 já conseguiu identificar a função identidade, item „a‟, vamos ver como eles fizeram...”. Então o aluno B3 dirigiu-se à lousa e, usando uma tabela, localizou os pontos; esboçando o gráfico, identificou-o como o de número 6. Em seguida o professor avisou que a partir daquele momento cada grupo trabalharia por conta própria, e ficou aguardando a próxima manifestação dos alunos.
A estratégia de construir tabelas funcionou satisfatoriamente para algumas expressões, não surgindo em nenhum grupo alguma estratégia diferente para resolver a atividade. O professor também não sugeriu mais nada.
A maior parte dos alunos mostrou-se muito interessada pelas atividades, principalmente os que estavam em grupos. Quando um deles encontrava a solução, explicava seu raciocínio aos demais. No entanto alguns alunos que não estavam em grupo demonstravam sinais de ter receio de fazer perguntas ao professor, enquanto outros esperavam as respostas apresentadas pelos colegas, limitando-se a copiá- las. A regra imposta pelo professor de que cada grupo atuaria sozinho, com independência, foi completamente ignorada pelos alunos.
O professor aguardou até o final da aula, recolheu as folhas com a atividade e avisou que continuariam na próxima aula, e que os grupos seriam mantidos até o final da aplicação das atividades.
Na aula seguinte, após distribuir as folhas, o professor dirigiu-se à lousa e começou a resolver item a item, sempre fazendo perguntas aos alunos e limitando- se a registrar as respostas corretas: “O item „a‟ já foi feito pelo B3. Quem identificou o item „b‟?”. Simultaneamente, vários alunos responderam que era o gráfico 4. Então o professor perguntou: “Como vocês fizeram?”, ao que alguns alunos responderam que haviam feito uma tabela; porém o aluno B3, o mesmo que resolvera o item “a”, fez uma observação interessante:
Professor, neste caso, nem precisava de tabela, basta olhar quando x = 0, o y dá 1. Como é uma equação do segundo grau era só ver qual parábola passava pelo ponto (0, 1). É o gráfico 4, e o gráfico 1 é da outra equação do segundo grau, do item “c”.
O professor elogiou o aluno e perguntou se alguém não havia entendido o que ele dissera. Ninguém se manifestou. Então o professor seguiu adiante: “Vamos para o item „d‟, alguém achou?”. Poucos alunos indicaram o gráfico 7, então o professor indagou: “Como vocês descobriram?”. Novamente o aluno B3 respondeu: “Eu fiz -2 ao cubo e deu -8, e 2 ao cubo deu 8, então é o gráfico 7”.
Para a expressão “e”, nenhum aluno apresentou solução, mesmo com a insistência do professor em perguntar, então o item ficou para ser discutido ao final. Já em relação ao item “f” vários grupos levantaram a mão, oferecendo como resposta o gráfico 2 – resposta obtida invariavelmente pela construção de uma tabela.
No item “g”, apenas três grupos identificaram o gráfico 8 e se apresentaram; o comentário que justificou a resposta foi do aluno B4: “Nunca deu negativo, mesmo quando 2 era elevado a -10”.
O último item também não foi resolvido por nenhum grupo, então o professor deu a seguinte orientação: “Usando a calculadora, construam uma tabela para o item “g”, e observem os valores máximo e mínimo. O que vocês encontram?”. Depois de algum tempo, um aluno B5 perguntou: “Está sempre entre 1 e -1, não é professor?”, e deu-se então o seguinte diálogo ente ambos:
– Então? Qual é o gráfico assim? – Os dois, professor.
– E quanto dá quando x vale -3? Em qual gráfico tem x valendo -3? – No terceiro.
Concluiu-se assim a atividade, apontando-se o gráfico da circunferência como o último que restava.
Atividade 2
Ao distribuir esta atividade, o professor solicitou que os alunos tentassem responder apenas ao item 2.1, até ele dar ordem de continuar. Ao localizar no plano cartesiano os pontos que descobriam durante a tarefa, vários grupos apresentavam indícios de não estarem acostumados a trabalhar com o papel quadriculado no qual representávamos o plano.
Figura 32: Resolução do item 2.1 da Atividade 2, por alunos do professor Dirceu
O professor aparentava muita pressa, e assim que um grupo apresentou-lhe uma resposta considerada adequada, ele solicitou que a aluna B6, desse grupo, expusesse sua solução para a turma na lousa.
Figura 33: Resolução dos itens 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4 da Atividade 2, por alunos do professor Dirceu Até a atividade 2.4, compartilhando os casos de sucesso, a atividade foi desenvolvida rapidamente. Enfim, a imagem solicitada na atividade 2.5 foi projetada: vários grupos comemoram ter acertado, outros começaram a consertar seus gráficos, porém foram orientados pelo professor aplicador a deixá-los como estavam, pois seus eventuais erros poderiam ser importantes para nossa pesquisa.
A aluna B6 perguntou ao professor Dirceu se uma tentativa sua para responder às tarefas do item 2.5 estava correta; o professor não lhe apresentou conclusão, solicitando que ela mesma tentasse testar sua resposta, simulando a localização de alguns pontos e afirmando que assim conseguiria verificar se estava correto. Nesse momento, o professor privilegiou a investigação, orientando os alunos a analisar os dados, o enunciado e a imagem projetada.
Quando as respostas mencionando "ângulo" ou "inclinação" começaram a surgir, o professor finalizou a atividades, compartilhando algumas respostas corretas e sistematizando o conceito de coeficiente angular.
Atividade 3
Ao distribuir as folhas com a Atividade 3, o professor Dirceu orientou os alunos a continuar prestando bastante atenção aos enunciados das atividades, afirmou que elas eram muito simples e pediu que eles não tivessem medo de errar. E fez a seguinte orientação: “Durante esta atividade, faremos validações parciais, então vocês podem ir resolvendo de acordo com o que entenderem.”
A turma iniciou então a realização da tarefa 3.1, e logo surgiu uma pergunta do aluno B7: “Professor, como assim „abscissa mais 1‟?”. O professor respondia perguntas como essa de modo a incentivar o aluno a ler o enunciado novamente e tentar entendê-lo: “Abscissa é o x do ponto. Ordenada é o y. Então, o que a atividade pede? Um ponto com abscissa valendo o quê?”
De acordo com as respostas dos alunos, o professor conduzia o desenvolvimento da aula, como no seguinte diálogo entre ele e o aluno B7:
– Alguém conseguiu encontrar um ponto com ordenada igual à abscissa mais 1?
– Um e dois (1, 2).
– Então... este ponto tem ordenada igual a abscissa mais 1... Agora tentem dar próximos passos lendo as instruções.
Em diversos momentos, o professor orientou os alunos a tentar desenvolver as tarefas de maneira autônoma. A metodologia de compartilhar as respostas corretas também continuava, ou seja, logo que o professor percebeu que alguns grupos já haviam realizado as tarefas 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4, interrompeu a aula e começou a ler as perguntas, item a item, validando as respostas dos alunos.
Com o professor atuando dessa maneira, os alunos apresentavam, durante o processo, indícios de estar entendendo bem as instruções das tarefas, perguntando muito pouco ao professor. A totalidade dos alunos que respondeu a essas tarefas apresentou protocolos similares.
Figura 35: Resolução dos itens 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 da Atividade 3, por alunos do professor Dirceu
Figura 36: Resolução dos itens 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 da Atividade 3, por alunos do professor Dirceu As imagens referentes à atividade 3.5 foram projetadas, e os alunos foram orientados a tentar resolvê-la. Em pouco tempo apresentavam indícios de terem percebido o significado do “b”, coeficiente linear da reta, até então desconhecido.
Figura 37: Resolução do item 3.5 da Atividade 3, por alunos do professor Dirceu
Validando e corrigindo as conclusões dos alunos, o professor sistematizou o conceito de coeficiente linear da reta. A seguir, relembrou como havia ensinado, na Atividade 2, a encontrar o coeficiente angular de uma reta:
tan = =
A explicação deu-se da seguinte maneira:
Então temos a equação reduzida da reta: y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular e “b” de coeficiente linear. Já sabemos o significado desses coeficientes nos gráficos. Agora vocês usarão esses conhecimentos novos para resolver a atividade 3.6. Quando alguém conseguir, pode vir até o computador e verificar se a equação da reta está correta, ou seja, se ela passa mesmo pelos pontos dados.
O professor então aguardou, sem fazer nenhum comentário, até que um grupo de alunos encontrasse a equação da reta proposta no item a. Quando o primeiro grupo encontrou a equação, ele interrompeu as atividades da turma e
solicitou que todos prestassem atenção à verificação que seria feita. Primeiro reproduziu a solução dos alunos na lousa e, em seguida – usando o computador, o projetor de imagens e o programa Graphmatica –, verificou se a equação obtida (y = 3x + 2) passava pelos pontos dados A (1, 5) e B (0, 2). Concluiu então que a equação estava correta, solicitando que os alunos continuassem a resolver a atividade e esclarecendo que poderiam usar o computador para testar as respostas encontradas.
Figura 38: Resolução do item 3.6 da Atividade 3, por alunos do professor Dirceu
Nesse momento a participação dos alunos melhorou, devido simplesmente à possibilidade de eles mesmos usarem o computador para construir os gráficos, o que era muito mais rápido, e de alguma maneira, tornou a aula mais atrativa para eles. Assim, os alunos encontravam uma equação, dirigiam-se ao computador e verificavam sua correção. Atuando dessa maneira, encerraram a tarefa 3.6.
Nas atividades 3.7 e 3.8 surgiram perguntas relativas ao vocabulário: aAluno B8 – “O que é mesmo função identidade?”; aluno B9 – “Professor, como assim „amplitude do ângulo e semieixo positivo x‟?“. O professor retomou então a Atividade 1, para relembrar o gráfico da função identidade e, no mesmo gráfico, apontou o trecho do eixo das abscissa ao qual a tarefa se referia.
Os alunos superaram essas dificuldades e concluíram satisfatoriamente as tarefas, sempre compartilhando os acertos. Durante todo o desenvolvimento da THA, o professor manteve a estratégia de propor as atividades, aguardar que alguém resolvesse corretamente alguma tarefa, e compartilhar o acerto com a turma. Dessa forma não havia alunos executando tarefas atrasadas em relação aos demais.
Quando um aluno fazia alguma pergunta que poderia ajudar aos outros, a resposta era apresentada na lousa.
Figura 39: Resolução dos itens 3.7, 3.8 e 3.9 da Atividade 3, por alunos do professor Dirceu Nas tarefas 3.9 e 3.10, acreditávamos que os alunos seriam capazes de identificar na forma algébrica a relação entre os coeficientes angulares de duas retas paralelas e de duas retas perpendiculares. Esse fato, porém, não se verificou. Apenas no que concerne às retas paralelas os alunos indicaram que os coeficientes angulares deveriam ser iguais. Em relação às retas perpendiculares não surgiu resposta. Diante disso, o professor questionou:
“Qual é a posição relativa entre as retas e ?“ “E entre as retas ?“
Depois dessas perguntas, três alunos B10, B11 e B12, de grupos diferentes, dirigiram-se ao computador, testaram algumas equações e concluíram: “Os coeficientes angulares devem sem opostos e inversos”. O professor elogiou-os, porém, corrigiu a resposta apresentada: “Vocês perceberam o mais importante. O
coeficiente angular de uma reta deve ser igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra”. E concluiu, afirmando: “Se os coeficientes angulares forem iguais, as retas são paralelas; e se o produto entre os coeficientes angulares foi igual a -1, então as retas são perpendiculares.”
Atividade 4
O professor Dirceu distribuiu as folhas com a Atividade 4 e solicitou que os alunos tentassem resolvê-la usando seus conhecimentos anteriores. Eles logo percebem que se tratava de um triângulo retângulo, e não hesitaram em utilizar o teorema de Pitágoras para determinar a distância entre os dois pontos, o que correspondia à hipotenusa desse triângulo.
Figura 40: Resolução dos itens 4.1, 4.2 e 4.3 da Atividade 4, por alunos do professor Dirceu Após testar a solução apresentada, o professor propôs que a turma tentasse definir qual seria a distância entre os pontos A (xa ,ya) e C (xc ,yc), desejando que
algum aluno apresentasse a sistematização proposta ao final da tarefa. No entanto nenhum aluno conseguiu trabalhar com incógnitas.
O professor insistiu e orientou que atuassem como se estivessem trabalhando com números comuns, que repetissem o que haviam feito nos itens anteriores. Diante de novo insucesso, dirigiu-se à lousa e sistematizou o processo para a determinação da distância entre dois pontos.
Os grupos conversavam entre si, trocavam resultados, e assim concluíram a Atividade 4. Nessa tarefa, apresentaram o resultado na forma algébrica, como esperado.
Figura 41: Resolução da Atividade 4 por alunos do professor Dirceu
Após os alunos terem concluído a tarefa, o professor encerrou a atividade informando que, para dividir o segmento em duas partes, determinando o ponto médio, fazemos: Pm= e que, para determinar os pontos que dividem o
segmento em mais do que duas partes, os alunos deveriam usar a mesma lógica.
Atividade 5
Nesta etapa, o professor orientou os alunos a responderem às questões propostas, tentando determinar o ponto de encontro entre as retas. Eles deram então início à resolução da atividade, construindo tabelas com valores para a abscissa e encontrando o valor da ordenada correspondente.
Ao perceber que preparavam tabelas com vários pontos, o professor perguntou: “Vocês já sabem que os gráficos serão de retas, não é? Para determinar uma reta, vocês precisam de quantos pontos?”. Ele obteve a respostas esperada (dois pontos), e solicitou que os alunos economizassem tempo, simplificando o processo de construção dos gráficos.
Não houve grandes dificuldades para a determinação gráfica do ponto de interseção das retas. Os alunos construíam os gráficos propostos e determinaram o ponto (-1, -1). Quando buscavam uma solução algébrica para encontrar tal ponto, um aluno perguntou para o professor se era para usar sistemas lineares, ao que o professor respondeu: “Pode, sim; usando qualquer método de resolução de sistemas, vocês conseguem determinar o ponto de interseção entre as retas”.
Figura 42: Resolução da Atividade 5 por alunos do professor Dirceu
Com essa afirmação do professor, encerrou-se o desenvolvimento da THA nesta turma.