Framtidig innvandring til Norge - Inn- og utvandring

6. Inn- og utvandring

6.4. Framtidig innvandring til Norge

Cabe destacar que encontramos muitas dificuldades para a realização desta etapa de nossa pesquisa. Atuando como professores, não temos como hábito construir atividades. Não analisávamos o processo de aprendizagem dos alunos, suas necessidades, considerando que as atividades propostas em livros didáticos ou outros materiais adotados sempre as contemplavam.

Enfrentamos também alguma dificuldade para encontrar professores aplicadores dispostos a participar da pesquisa, desenvolvendo as atividades e sendo observados por nós, expondo sua metodologia. Vários professores consultados responderam que não poderiam seguir as atividades propostas na THA e que tinham

de seguir rigorosamente a sequência apresentada na proposta curricular adotada pela rede estadual. Por fim, conseguimos a colaboração na pesquisa dos três professores da escola onde atuamos.

Realizamos reuniões, sem periodicidade previamente definida, nas quais apresentamos a estrutura do projeto e as atividades elaboradas pelo professor pesquisador. Solicitamos que elas fossem analisadas e que sugestões ou novas atividades propostas pelos professores aplicadores fossem incorporadas à nossa THA. Após avaliá-las, o grupo considerou as atividades adequadas aos objetivos e aos alunos, não apresentando sugestões de alteração.

Dessa forma, construímos nossa THA de acordo com as hipóteses do professor pesquisador sobre a aprendizagem dos alunos, com amparo nas hipóteses dos professores aplicadores, que conheciam os alunos participantes da pesquisa. Esta etapa ocorreu entre os meses de agosto e outubro de 2009. Combinamos que as atividades seriam desenvolvidas durante o mês de novembro. Teríamos assim 16 aulas em cada turma (quatro aulas semanais de 45 minutos cada).

3.5 Apresentação da THA

Apresentamos a seguir as atividades que compõem nossa primeira versão da THA. Foram elaboradas duas versões, a primeira destinada os alunos e outra destinada aos professores aplicadores, contendo, além das atividades que seriam trabalhadas pelos alunos, orientações aos professores.

Atividade 1

Objetivo: Relacionar expressões algébricas às suas representações gráficas. Orientações aos professores:

Esta atividade será desenvolvida individualmente e depois os alunos, em duplas, discutirão suas respostas. Na sequência cada dupla será convidada a explicar como chegaram à conclusão em relação a cada item.

Discuta com os alunos se a atividade que eles acabaram de resolver é uma atividade do campo algébrico ou do campo geométrico? Esperamos com este questionamento, uma oportunidade para apresentar a Geometria Analítica, como uma parte da matemática que integra os dois campos. Comente com eles que as atividades que serão desenvolvidas nesta e nas próximas aulas têm como objetivo fazer com que eles tenham contato com a chamada Geometria Analítica.

A Geometria Analítica, também conhecida como Geometria com coordenadas, integra a álgebra e a geometria e possibilita interpretações geométricas de fatos algébricos e o estudo algébrico de fatos geométricos.

Historicamente, um dos seus criadores foi René Descartes (1596 - 1650), filósofo e matemático francês que em sua obra La Geométrie introduziu a noção de coordenadas no plano, ao estabelecer dois eixos fixos que se interceptam em um ponto chamado origem do sistema.

Proponha que realizem uma pesquisa sobre Geometria Analítica e sobre René Descartes e produzam um texto para a próxima aula.

1) Relacione as representações das expressões na forma algébrica com suas correspondentes representações gráficas e justifique sua escolha:

(a) Y = x (e) x2 + y2 = 1

(b) y = 2x2_{+ 1} _{(f) y = 2x}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Atividade 2

Objetivo: Possibilitar que os alunos identifiquem o coeficiente angular ou declividade de uma reta, através de sua variação e da consequente variação nas suas representações algébricas.

Esta atividade será desenvolvida em duplas. Na sequência cada dupla será convidada a explicar como chegaram à conclusão em relação a cada item. Acompanhe o desenvolvimento das atividades pelos seus alunos, e a partir do item 2.5, projete as imagens solicitadas nas atividades.

2) Na figura abaixo está representado o plano cartesiano ao qual fizemos referência na atividade anterior e nele está indicado o ponto P de abscissa 1 e ordenada 2 , que representaremos como P (1,2).

2.1

(a) Localize no plano cartesiano um ponto com ordenada igual à abscissa. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade (ordenada igual à abscissa).

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

2.2

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada igual ao dobro da abscissa. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

2.3

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada igual ao triplo da abscissa. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

2.4

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada igual à metade da abscissa. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

2.5

Nesta etapa, seu professor apresentará algumas imagens, conforme são solicitadas nas tarefas:

(a) Na figura projetada, os gráficos explorados nos itens anteriores foram colocados num mesmo sistema de eixos.

(b) O que há de semelhante e de diferente nos gráficos destas retas?

(c) Essas semelhanças e diferenças percebidas nos gráficos se traduzem de alguma forma nas suas expressões algébricas? De que forma?

(d) Que hipótese você tem sobre a expressão algébrica da reta colorida em verde que aparece no gráfico?

(e) Que hipótese você tem sobre a expressão algébrica da reta colorida em amarelo que aparece no gráfico?

(f) Se uma reta tem equação dada pela expressão y = ax, o que se pode dizer em relação a este “a”?

Orientações aos professores:

Encerra-se a atividade, sistematizando a idéia de coeficiente angular, organizando as conclusões dos alunos.

Na figura acima, pode-se ver que foi construído um triângulo retângulo ABD com o prolongamento dos segmentos que formam os pontos A e B. O ângulo α que aparece como ângulo interno do triângulo ABD é exatamente o ângulo que a reta AB forma com a horizontal, pois se tem a situação de duas retas paralelas cortadas por

uma mesma transversal que forma ângulos correspondentes. O cateto oposto a α, BD, tem valor yb – ya e o cateto adjacente AD tem valor xb - xa. Podemos então

achar o valor da tangente de α da seguinte maneira: tan α =

Observe que o valor do coeficiente que multiplica o “x” na equação reduzida é numericamente igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal. Devido a esse fato, esse coeficiente recebe o nome de COEFICIENTE ANGULAR, pois determina a direção da reta.

Atividade 3

Objetivo: Possibilitar que os alunos identifiquem o coeficiente linear da equação reduzida da reta, através de sua variação e da consequente variação nas suas representações algébricas e relacionar o coeficiente angular com a posição relativa entre retas.

Orientações aos professores: Esta atividade será desenvolvida em duplas. Na sequência algumas duplas serão convidadas a explicar como chegaram à conclusão em relação a cada item. A partir do item 3.5, projete as imagens conforme forem solicitadas nas atividades.

3.1

(a) Localize no plano cartesiano um ponto cuja ordenada seja igual à abscissa mais 1. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

.

b a b a

cat oposto

y

a

cat adjacente

x

-

=

-

(b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

3.2

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto cuja ordenada seja igual à abscissa mais 3. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

3.3

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada seja igual à abscissa menos 2. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

3.4

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada igual ao oposto da abscissa, mais 3.

(b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

3.5

Nesta etapa, seu professor projetará algumas imagens, com os gráficos construídos nos itens anteriores:

(a) Nas figuras projetadas, os gráficos explorados nos itens anteriores foram colocados num mesmo sistema de eixos.

(c) Essas semelhanças e diferenças percebidas nos gráficos se traduzem de alguma forma nas suas expressões algébricas? De que forma?

(a) Que hipótese você tem sobre a expressão algébrica da reta colorida em verde que aparece no gráfico?

Que hipótese você tem sobre a expressão algébrica da reta colorida em amarelo que aparece no gráfico?

(b) Se uma reta tem equação dada pela expressão y = ax + b, o que se pode dizer em relação a este “b”?

Orientações aos professores: Encerra-se a atividade, formalizando o significado do coeficiente linear, organizando as conclusões dos alunos.

3.6

Determine as equações reduzidas das retas que passam pelos pontos indicados abaixo:

(a) A (1, 5) e B ( 0 , 2 ) (c) E (0,0) e F (2 , 4)

(b) C (3 , 1) e D ( -1, -4) (d) G ( 2 , 7) e H (-2 , -13)

3.7

Uma reta, que pertence ao 1º e ao 3º quadrantes, passa pela origem do sistema de coordenadas e tem uma inclinação maior que a reta definida pela função identidade.

O coeficiente linear de uma reta é a ordenada b do ponto (0,b) onde a reta corta o eixo das ordenadas.

(a) Proponha a equação desta reta.

(b) Quantas soluções se podem obter?

(d) Entre quais valores se encontram a amplitude do ângulo que forma com o semi-eixo positivo x ?

3.8

Uma reta, que pertence ao 1º e ao 3º quadrantes passa pela origem do sistema de coordenadas e tem uma inclinação menor que a reta definida pela função identidade.

(a) Proponha a equação desta reta.

(b) Quantas soluções se podem obter?

(a) Que condição deve ter a inclinação para que satisfaça a condição dada?

(b) Entre quais valores se encontram a amplitude do ângulo que forma com o semi-eixo positivo x ?

3.9

(a) Dada a reta y = 2x, exiba duas outras equações de retas que sejam paralelas a esta reta. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Dada a reta y = x + 4 exiba duas outras equações de retas que sejam

paralelas a esta reta.

(d) Formule um procedimento que permita identificar se duas retas são paralelas.

3.10

(a) Dada a reta y = x exiba duas outras equações de retas que sejam perpendiculares a esta reta.

(b) Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(c) Dada a reta y = 2x exiba duas outras equações de retas que sejam perpendiculares a esta reta. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(d) Formule um procedimento que permita identificar se duas retas são perpendiculares.

Orientações aos professores: Encerra-se a atividade, formalizando o significado do coeficiente linear, organizando as conclusões dos alunos:

Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se elas possuem os mesmos coeficientes angulares, ou seja, a1 =a2

Duasretasnoplanosão perpendiculares se uma delas é horizontal e aoutra é vertical ou se elas possuem coeficientes angulares a1 e a2 de modo que: a1 . aa = -1

Atividade 4

Objetivo: Considerando que os alunos já conhecem o Teorema de Pitágoras, objetivamos nesta atividade que os alunos consigam determinar a distância entre dois pontos, chegando até a generalização deste procedimento.

Orientações aos professores: Esta atividade será desenvolvida em duplas. Na sequência algumas duplas serão convidadas a explicar como chegaram à conclusão em relação a cada item.

4.1

(a) Localize no plano cartesiano, os pontos A (1,1) e B (5,1) (b) O que estes pontos têm em comum?

(c) O que você observa na reta determinada pelos pontos A e B? (d) Como você faria para determinar a distância entre os pontos A e B? (e) Os pontos C (x1 , 1) e D ( x2, 1) pertencem à reta determinada por A e B?

(f) Como você calcularia a distância entre os pontos C e D ?

4.2

(a) Localize, no mesmo plano, o ponto C ( 5, 4) . (b) O este ponto têm em comum com o ponto B ?

(c) O que você observa na reta determinada pelos pontos B e C ? (d) Como você faria para determinar a distância entre os pontos B e C ? (e) Os pontos E (5, y1) e F ( 5, y2) pertencem à reta determinada por B e C?

(f) Como você calcularia a distância entre os pontos E e F?

4.3

(a) Trace os segmentos de reta cujas extremidades são os pontos A e B, B e C e A e C.

(b) Você reconhece o polígono que estes pontos determinam? (c) Como você calcularia a distância entre A e C?

Orientações aos professores: Encerre este etapa demonstrando a fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos, adotando A(xa ,ya) e C(xc ,yc) dois

pontos do plano. Mostre que distância entre esses dois pontos é exatamente o valor da hipotenusa do triângulo ABC abaixo. Se conseguirmos determinar o valor dos catetos, utilizando o Teorema de Pitágoras, será possível achar essa distância. Como o cateto AB = xc - xa e o cateto BC = yc – ya, aplicando o Teorema de Pitágoras vêm:

4.4

(a) Localize, no mesmo plano cartesiano, o ponto médio do segmento AB.

(b) Descreva as propriedades algébricas que você consegue identificar ao comparar as coordenadas do ponto médio com as coordenadas das extremidades A e B.

(d) As propriedades deste ponto são as mesmas do ponto médio do segmento AB?

(e) Localize o ponto médio do segmento AC.

(f) As propriedades do deste ponto são as mesmas verificadas nos dois itens anteriores?

(g) Como você identificaria as coordenadas do ponto médio do segmento determinado pelos pontos P (x1,y1) e Q (x2,y2) ?

Atividade 5

Objetivo: Determinar o ponto de interseção entre duas retas.

Orientações aos professores: Esta atividade será realizada em duplas. Acreditamos que os alunos resolvam esta atividade a partir da sua representação gráfica de duas retas e de resolução de sistemas lineares. Como é possível que ocorram diferentes formas de resolução, as duplas que apresentarem soluções diferentes podem compartilhá-las com os demais alunos.

5.1

(a) Represente no plano cartesiano a reta r, cuja equação reduzida é y = 2x+1 Orientações aos professores:

Encerre esta tarefa,

sistematizando procedimento de cálculo do ponto médio de um segmento e questionando os alunos sobre como proceder em divisões em mais do que duas partes proporcionais.

(b) Represente, no mesmo plano, a reta s, de equação y= 3x+2

(c) Observando estas retas no plano, você acredita que exista algum ponto que pertence ao mesmo tempo à reta r e à reta s? Você consegue identificá-lo ao observar os gráficos?

(d) Como você faria para determinar, algebricamente, as coordenadas deste ponto?

4 DESENVOLVIMENTO DA THA EM SALA DE AULA

In document Nasjonale befolkningsframskrivinger 2020. Modeller, forutsetninger og resultater (sider 93-99)