4. Fruktbarhet
4.1. Fruktbarhetsutviklingen i Norge
Neste item concentramos nossa atenção na ferramenta fórum de discussões como unidade de análise.
Para a disciplina Funções e Limites, o fórum de discussões não foi utilizado de forma que provocasse discussões, debates e reflexões entre os alunos sobre os temas de cada tópico estudado, colaborando, assim, para a construção e aprofundamento do conhecimento de todos os alunos como um todo. A ferramenta fórum de discussões foi utilizada como um mural de dúvidas em que todos os alunos poderiam acessar os questionamentos postados pelos colegas de curso. As respostas aos questionamentos efetuados pelos alunos ficaram sob a responsabilidade do professor da disciplina.
Não nos compete julgar se a utilização da ferramenta foi feita de maneira adequada ou não, ou se foi possível explorar todos os seus potenciais. Levantamos a hipótese de que o propósito da utilização da ferramenta fórum de discussões tenha sido concebido com outras finalidades pelos professores formadores. Iremos focar nossa atenção apenas nas análises das interações
virtuais originadas a partir desta ferramenta, conforme as categorias definidas anteriormente.
Durante o acompanhamento e desenvolvimento da disciplina Funções e Limites, observamos um total de 60 tópicos nessa ferramenta, sendo que deste total, 39 interações estavam relacionados a dúvidas que categorizamos como dúvidas de ordem tecnológicas que se originaram a partir da utilização dos softwares Geogebra e Cabri, dúvidas referente à utilização do ambiente virtual Moodle e dúvidas referente a interpretações das atividades propostas e prazos para a realização das mesmas.
Destacamos que ocorreu um encontro presencial no início da disciplina, com o objetivo de mostrar aos alunos as formas de utilização dos softwares Geogebra, Cabri e do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).
Apenas 21 dúvidas estiveram relacionadas a temas que categorizamos como dúvidas matemáticas, que abordaram dúvidas referentes aos conceitos matemáticos necessários para a realização das atividades.
Salientamos que ocorreram alguns encontros presenciais, não oficiais e não programados, entre o professor e os alunos do curso, com a finalidade de esclarecimentos de dúvidas de caráter matemático. Conforme conversa com os professores formadores, nos foi relatada essa disponibilidade de ambas as partes, professores e alunos.
Dessa forma, consideramos que esses encontros ocasionais colaboraram para a aprendizagem dos alunos, e consequentemente, para a redução da quantidade de dúvidas de caráter matemático postadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) por meio da ferramenta “fórum de discussões”.
Essa categoria, dúvidas matemáticas, foi dividida de acordo com o encaminhamento da resposta dada pelo professor formador em duas subcategorias: dúvidas com encaminhamento direto onde encontramos um total de 10 interações virtuais e dúvidas com encaminhamento para exploração/investigação contendo um total de 9 interações virtuais. Duas respostas dadas pelo professor não foram classificadas nas categorias acima, pois as respostas foram realizadas via Chat, conforme relatado no fórum de
discussões, sendo que não foi possível obter o registro do conteúdo dessas interações, devido às características tecnológicas da ferramenta utilizada.
Relacionamos a seguir, algumas dessas interações para ilustrar como ocorreram.
Efetuamos pequenas alterações de ordem ortográficas e gramaticais, nos registros das dúvidas dos alunos, sem comprometer a essência das interações realizadas.
Categoria: dúvidas matemáticas
Subcategoria: encaminhamento para exploração/investigação
Assunto: Tópico 4 Aluno:
“Professor na pergunta: Como você pode calcular o seno e o cosseno de ângulos com
mais de 90°, sem utilizar o triângulo retângulo?
Eu acho que não dá para calcular seno e cosseno sem o triângulo retângulo pois são relações do triângulo retângulo, eu estou certo?”
Professor:
“Seria possível calcular o seno de 120o utilizando o seno de 60o. Verifique isso no ciclo trigonométrico. E o cosseno?
Quadro 15: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento para exploração/investigação
Podemos observar, na interação acima, as dificuldades apresentadas por um aluno, no que se refere à aprendizagem da trigonometria. Levantamos a hipótese de que essa dúvida originou-se devido ao processo de ensino que o aluno vivenciou, no qual pode ter ocorrido predominância nos estudos da trigonometria no triângulo retângulo em relação ao estudo da trigonometria por meio do ciclo trigonométrico. Isso talvez possa justificar a dificuldade do aluno em determinar os valores do seno e cosseno de ângulos superiores a 90º.
Destacamos o encaminhamento da resposta dada pelo professor ao aluno, incentivando-o a investigar os valores de seno e cosseno por meio do ciclo trigonométrico.
Categoria: dúvidas matemáticas
Subcategoria: encaminhamento para resposta direta
Assunto: Tópico 4 Aluno:
“Professor, quando eu coloco 120° no quadrante 2 n o ciclo trigonométrico, a hipotenusa continua positiva? me explique”
Professor:
“Neste caso a hipotenusa é o raio da circunferência, seu valor no ciclo trigonométrico é igual a 1 não importa o quadrante, pois o raio de uma determinada circunferência tem sempre o mesmo valor. Isso é diferente para o seno e o cosseno de um ângulo, pois esses estão relacionados com as coordenadas do ponto P, que por sua vez está relacionado com um determinado ângulo. Note que a mudança nas coordenadas do ponto P dependem do quadrante, enquanto que o raio da circunferência (ou distância de P ao ponto de origem do plano é constante, nesse caso 1). Uma circunferência pode ser definida como um lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto C, chamado centro da circunferência. Por favor, se permanecer com dúvidas entre em contato novamente.
Quadro 16: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento para resposta direta
Verificamos, na interação acima, a dificuldade do aluno em trabalhar com ângulos acima de 90º, reforçando a discussão efetuada na dúvida relatada anteriormente. Porém, neste exemplo, a pergunta está relacionada ao valor da hipotenusa e não aos valores do seno e cosseno especificamente. Observamos que o aluno confundiu a variação do sinal dos valores do seno e cosseno que ocorre à medida que variamos os quadrantes nos quais se situam os ângulos a serem estudados, com a variação do sinal da hipotenusa do triângulo retângulo o que, de fato, como sabemos, não ocorre.
Para esta dúvida, como podemos verificar, a resposta do professor foi classificada, de acordo com as categorias definidas, como resposta com encaminhamento direto. Destacamos o empenho do professor em responder ao questionamento efetuado da maneira mais completa possível, abordando vários conceitos importantes, indo além do ponto principal da questão. Por outro lado, o professor poderia proporcionar ao aluno que chegasse às mesmas conclusões se,
em sua reposta, estabelecesse um diálogo com o aluno, a fim de levá-lo a pesquisar e encaminhá-lo ao processo investigativo, abordando os aspectos necessários para o esclarecimento da dúvida e, consequentemente, a aprendizagem dos conceitos em questão.
Categoria: dúvidas tecnológicas
Subcategoria: uso do Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA
Assunto: Medida da reta!
Aluno:
Professor, quando eu estava mandando o restante das minhas tarefas do Tópico 1, sumiu a caixinha para carregar os meus arquivos! O que eu faço? Será que o Sr poderia me orientar??
Obrigada
Professor:
O máximo de arquivos que podem ser enviados para a ferramenta TAREFA é 20. Você já chegou no 20. Que bom!
Vou abrir outra TAREFA TOPICO 1 - Parte 2 para que seja possível enviar mais arquivos.
Com isso se resolve.
Quadro 17: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso do AVA
Observamos na interação acima, um exemplo de dúvidas postadas na ferramenta “fóruns de discussão” que classificamos como dúvidas de origem tecnológicas, referentes à utilização do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). Observamos um total de 12 interações contendo nesta categoria. A disciplina “Funções e Limites”, objeto deste estudo foi a primeira disciplina oferecida aos alunos ingressantes no curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância ofertada pela instituição e, por mais conhecimentos tecnológicos que os alunos possuam, esse tipo de dúvida é recorrente no início de um curso baseado em plataformas de educação a distância.
Corroborando o que expressamos acima, podemos citar a experiência deste autor, que ministrou cursos na EaD, na função de professor tutor, e também realizou cursos como aluno, tendo contato com diferentes plataformas, como o TelEduc, Moodle e outros AVAs: encontramos as mesmas dificuldades iniciais relatadas pelos alunos da disciplina “Funções e Limites”.
Categoria: dúvidas tecnológicas Subcategoria: uso de Softwares
Assunto: Sinais Aluno:
“Olá professor,
Como eu faço pra por aqueles dois traços antes e depois do x na atividade 3.6.5? f(x)= ?x? Também não tenho o sinal de radical no meu teclado. Tenho que comprar outro teclado?”
Professor:
“Olá, você pode utilizar o Word, no link inserir, depois símbolos, ou utilizar o Word equation, se esse link não estiver na barra de ferramentas de seu Word faça o seguinte: Clique em ferramentas, em seguida personalizar, depois clique em inserir, do lado direito da tela vai aparecer várias ferramentas, procure o equation editor, clique e mantenha clicado, arraste este link para a sua barra de ferramentas, preferencialmente na primeira linha. Com esta ferramenta você pode inserir várias fórmulas matemáticas.
Quadro 18: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso de Softwares
A interação relatada acima mostra a dificuldade inicial dos alunos em utilizar os softwares disponibilizados para a realização das atividades propostas durante o desenvolvimento do curso.
Como na categoria descrita anteriormente, esse tipo de dúvida tende a concentrar-se nas disciplinas iniciais, pois provavelmente este deve ser o primeiro contato da maioria dos alunos com este tipo de ferramenta.
A próxima interação demonstra o potencial que os softwares matemáticos possuem para auxiliar no processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos. A utilização da tecnologia e dos softwares para o processo de aprendizagem é recomendada nas Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de
Matemática, Bacharelado e Licenciatura – DCNLM (2001) – como destacamos no capítulo inicial deste estudo.
Assunto: Tarefas tópico 1
Aluno:
Peço desculpa, pois mandei as tarefas do tópico 1 e trabalhando com o geogebra, percebi e aprendi novos recursos, então entrei na pasta das tarefas enviadas e as deletei e coloquei as novas. Espero que entenda.
Com relação a atividade 4, os dados solicitados são idênticos a da atividade 3? não entendi. abraço
Professor
Olá
Quanto às mudanças, tudo bem, não há problema. Em relação aos itens 3 e 4, são distintos, por favor, veja a orientação que dei no fórum. Se permanecer com dúvidas, entre em contato novamente.
Quadro 19: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso do AVA
Como verificamos, após a realização das atividades utilizando o software Geogebra, o aluno relata que este software propiciou a ampliação do seu entendimento dos conceitos estudados o que o levou a efetuar as correções nas atividades enviadas anteriormente.
A utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC’s) são recomendadas tanto nas Diretrizes Curriculares como nos Parâmetros Curriculares Nacionais devido ao potencial que apresentam para auxiliar o processo de aprendizagem e a interação postada acima é um exemplo que justifica a sua utilização.
A seguir apresentamos um quadro contendo o resumo da classificação das dúvidas postadas pelos alunos na ferramenta “fóruns de discussões”.
Fórum de discussões
Tópicos aberto para discussões: 60
Dúvidas Tecnológicas
Total: 39 Dúvidas matemáticas: Total 21 Dúvidas sobre o uso de Softwares Duvidas sobre o uso do AVA Não identificadas Respostas com encaminhamento direto Respostas com encaminhamento para exploração/investigação 27 12 2 10 9
Quadro 20: Resumo da classificação Interações Virtuais
Entre as duas categorias utilizadas para classificação das interações virtuais, verificamos 39 interações realizadas na categoria dúvidas tecnológicas e 21 interações referentes à categoria dúvidas matemáticas.
Analisando o quadro a seguir, podemos verificar que as interações referentes às dúvidas matemáticas concentraram-se nos quatro primeiros tópicos da disciplina, sendo que o tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro e o tópico 4 – Funções Trigonométricas, apresentaram as maiores incidências.
TÓPICO TOTAL DE DÚVIDAS POR TÓPICO
1 4 2 3 3 5 4 5 5 1 6 1 7 2 TOTAL 21
Quadro 21: Dúvidas matemáticas por tópico
Os temas abordados no tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro e no tópico 4 – Funções Trigonométricas compõem um dos principais eixos temáticos da matemática visto durante o Ensino Médio, e
também são de extrema importância para o estudo da disciplina Cálculo Diferencial e Integral.
Isso nos mostra a grande dificuldade encontrada pelos alunos nesses temas, o que nos leva a levantar a hipótese de que esses conteúdos não devem ter sido trabalhados adequadamente quando os alunos cursaram o ensino médio. De acordo com as recomendações do PCN+ (2002, p. 121) observamos que o estudo das funções deve permitir ao aluno adquirir a linguagem algébrica assim como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problemas permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Destaca ainda que os problemas de aplicação não dever ser deixados para serem trabalhados no final, após a apresentação dos conceitos, mas devem apresentar motivos e contextos para o aluno aprender funções.
Provavelmente, os alunos devem ter tido sua formação focada nos modelos tradicionais, com o forte emprego de definições e cálculos, às vezes demasiadamente trabalhosos e desnecessários, sem nenhuma relação com a aplicação desses conceitos, fato que não colabora para uma aprendizagem consistente da matemática e que, de acordo com a experiência docente de mais de 7 anos desse autor, atuando na Educação Básica, causa, na maioria das vezes, resistência por parte dos alunos para a aprendizagem dos diversos tipos de funções.
A seguir, relacionamos as dúvidas referentes ao tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro e ao tópico 4 – Funções Trigonométricas.
Faremos uma análise das dúvidas enviadas pelos alunos, relacionando-as com as atividades propostas a fim de verificar as diferentes metodologias e estratégias de ensino que essas atividades propiciam de acordo com o referencial teórico utilizado neste estudo.
Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro
Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno:
Prof, tudo bem??!!
Quanto ao tópico 3.4.8 não consegui entender onde a função assume um valor máximo ou mínimo.
Abraços
Professor:
Olá,
Estude novamente as coordenadas do vértice de uma parábola, veja o que descobre! Se permanecer com dúvidas entre em contato.
Quadro 22: Dúvidas matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro
A atividade 3.4.8 que originou essa dúvida está descrita no quadro 12, foi classificada como exercício e está situada no contexto matemático. A atividade solicita ao aluno que determine as coordenadas dos vértices de funções polinomiais de 2º grau e que indique a abscissa do ponto onde a função assume valor máximo ou mínimo e que determine qual é o valor que a função assume nesse ponto.
De acordo com o quadro 14, no qual apresentamos o resumo das classificações das atividades propostas, no tópico 3 temos um total de 29 atividades, distribuídas em 10 atividades que foram classificadas como exercícios, 10 atividades que foram classificadas como problemas e 9 atividades que foram classificadas como exploração. Em relação à dimensão contexto, encontramos apenas 8 atividades situadas no contexto real e 21 atividades situadas no
contexto matemático.
Dessa forma, observamos que os temas abordados neste terceiro tópico poderiam estar concentradas em atividades do tipo problemas, exploração e investigação e situadas num contexto real, o que favoreceria uma aprendizagem mais contextualizada aos alunos e propiciando-o a desenvolver estratégias semelhantes para o ensino desses conceitos em sua prática docente futura.
Sendo essa uma das primeiras atividades envolvendo o cálculo de máximos e mínimos, podemos levantar a hipótese de que se essa atividade proposta estivesse situada num contexto real, a compreensão do conceito de máximo e mínimo de uma função pelo aluno ocorreria com maior consistência e facilidade.
A seguir apresentamos a segunda dúvida classificada como dúvida matemática, referente ao tópico 3.
Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno:
Oi Professor, tudo bem??!!!!
No tópico 3.4.11 não consegui entender o que deve ser realizado nas questões: I – Use a função demanda para escrever custo e receita como funções de p.
II – A função lucro é dada por L = R – C, escreva a função lucro em função do preço p da anuidade.
III – Qual é a anuidade que maximiza o lucro? Me ajuda!!!!
Professor:
Olá!
Vamos lá! 3.4.11.
(a) Um clube de saúde particular tem funções de custo e receita dados por
C = 10.000 + 35q e R = pq, onde q é o número de membros anuais do clube e p é o preço da anuidade. A função de demanda para o clube é q = 3.000 – 20p.
I – Use a função demanda para escrever custo e receita como funções de p.
Se a função demanda é q = 3000 - 20p, então devemos utilizar essa informação para escrever C e R em função de p, para isto basta substituir q por (3000 - 20p) nas funções C e R. Por exemplo, para o custo temos: C = 10.000 + 35(3000 - 20p). Realize as operações e faça o mesmo para a função R. Note que para R você encontrará uma função quadrática!
II – A função lucro é dada por L = R – C, escreva a função lucro em função do preço p da anuidade.
Após realizar o item I você terá as Funções R e C em função de p, para encontrar L basta fazer R - C, ou seja, uma função menos a outra, já que L = R - C.
III – Qual é a anuidade que maximiza o lucro?
Se você realizou corretamente os itens I e II, você deve ter encontrado uma função quadrática para L. Deve ter percebido também que uma função quadrática tem um valor máximo ou mínimo (dependendo do coeficiente a em y = ax2+bx+c, neste caso temos como variável independente p e variável dependente L), este máximo ou mínimo pode ser encontrado utilizando as coordenadas do vértice da parábola.
Agora é com você! Se tiver problemas entre em contato novamente!
Problemas que envolvem o cálculo de máximo ou mínimo de funções quadráticas.
Aluno:
Muito Obrigada!!!!!!!!!!!
Quadro 23: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro
A atividade que originou esta dúvida está descrita no interior dos comentários feitos pelo aluno e pelo professor. Trata-se de uma atividade que foi classificada como problema situado no contexto real.
Por meio da resposta dada pelo professor, percebemos que a dúvida do aluno não está relacionada ao problema de determinar o máximo da função e sim, em determinar a sentença matemática das funções custo e receita em função do preço. Podemos inferir que essa dificuldade deve-se ao fato de, na maioria das vezes, os estudos sobre funções serem efetuados diretamente por meio de cálculos, sem relações com o contexto real, solicitando-se que sejam determinados os valores das raízes das funções, valores máximos e mínimos, sempre de maneira abstrata, e raramente abordados a partir de situações problemas, em que o primeiro passo a ser dado para a resolução é a determinação da sentença matemática que expressa a relação entre as variáveis envolvidas.
Diversos autores afirmam que muitos alunos tem dificuldades na resolução de problemas algébricos bastante simples, principalmente quando estes necessitam da tradução da linguagem corrente para a linguagem formal. “Sem a capacidade de interpretar expressões, os alunos não dispõem de mecanismos para verificar se um dado procedimento é correto” (LOCHHEAD e MESTRE, 1995, p. 148).
Em relação às tarefas propostas nessa disciplina, observamos em atividades anteriores e posteriores às apresentadas, situações-problemas que envolvem o estudo de funções e que, para a sua resolução, é necessário determinar a sentença matemática que expressa a relação entre as variáveis envolvidas no problema, realizando-se, assim, a tradução da linguagem corrente para a linguagem algébrica como descrita no parágrafo anterior.
A seguir, apresentamos a terceira dúvida classificada como dúvida matemática, referente ao tópico 3.
Assunto: Tarefas Tópico 3
Aluno:
Professor na atv. 3.6.5, f(x)=IxI está em modulo portanto entendi que em modulo IxI + k seria igual x+k ou seja igual a Ix+kI e a translação seria vertical em relação ao eixo y? esta correto? ou a translação seria em grau?
Professor:
Olá,
Se somar uma constante k diferente de 0 à função f(x)=IxI, terá então f(x)=IxI + k, o gráfico dessa nova função irá sofrer um translação vertical em relação ao gráfico de f(x)=IxI. Se somar k a variável independente de f(x)=IxI, terá f(x)=Ix+kI, o que ocorre com o gráfico nesse caso? É igual ao anterior? Veja o que descobre? Se quiser utilizar o geogebra, selecione o link abs(x) na barra onde você digita as leis das funções.
Quadro 24: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro
A dúvida acima está relacionada à atividade 3.6.5. do tópico 3, que foi classificada como uma atividade de exploração, situada no contexto
matemático. O estudo das transformações que ocorrem nos gráficos das
funções quando somamos ou multiplicamos uma constante à função ou à variável independente é recomendado tanto nos PCNs quanto na Proposta