6. Inn- og utvandring
6.7. Antall innvandrere i Norge framover
Atividade 1
O professor Fábio iniciou a primeira aula falando sobre o sistema de coordenadas, paralelos e meridianos para localizar os pontos na superfície da Terra; sobre Descartes e o contexto histórico de criação da Geometria Analítica; e sobre a localização do ponto no plano cartesiano. Em seguida, orientou os alunos a tentar resolver a atividade, utilizando os conhecimentos acumulados durante sua trajetória escolar. Eles então deram início às atividades.
Suas primeiras manifestações relacionaram-se à falta de modelos ou exemplos para resolver a atividade. O professor respondeu afirmando que eles já haviam estudado a maioria das expressões em questão nas séries anteriores, e explicou formulando perguntas que ele mesmo respondia:
Por exemplo, função do primeiro grau... Por que é chamada de do primeiro grau? Porque a variável é independente, o expoente dela é 1. No nosso caso, quais são as funções do primeiro grau? A “a” e a “f”. Como é o gráfico de uma função do primeiro grau? Uma reta.
O professor solicitou então que os alunos descobrissem qual reta se relacionava a cada uma das funções de primeiro grau, sugerindo que elaborassem tabelas de valores. Os alunos foram autorizados a compartilhar com a turma alguns resultados. Destaca-se um aluno A1 que apresentou uma tabela.
Figura 4: Tabela elaborada durante Atividade 1, por aluno do professor Fábio
Diante da dificuldade apresentada pela turma, com vários alunos que não tinham sequer iniciado a resolução, o professor solicitou que o aluno A1 compartilhasse esta primeira resolução com o grupo. Depois de apresentar a tabela na lousa, o aluno justificou sua resposta: “como para todo x tem um y igual, então é o segundo gráfico da segunda coluna”.
O professor confirmou a explicação, solicitou que a partir daí cada dupla trabalhasse por conta própria, e ficou aguardando a próxima manifestação. Vários alunos se apresentaram não-familiarizados com a representação gráfica, como mostram outros protocolos.
Figura 5: Representação cartesiana produzida durante Atividade 1, por aluno do professor Fábio A estratégia de construir tabelas funcionou satisfatoriamente para algumas expressões, não surgindo em nenhum grupo qualquer estratégia diferente para resolver a atividade. O professor também não sugeriu nada.
Solicitamos assim que os alunos entregassem, junto com a folha da atividade, seus rascunhos, pois observamos uma falta de iniciativa na busca de novas estratégias. Notamos assim que alguns alunos não dominavam propriedades das potências. Ao elaborar as atividades, não havíamos previsto tais dificuldades.
Figura 6: Tabela construída durante Atividade 1, por dupla de alunos do professor Fábio A turma continuou construindo tabelas, quando o aluno A2 comentou: “Equação do segundo grau é parábola, não é professor?”. O professor respondeu que sim, e então A2 perguntou: “Como vou saber qual delas é de cada gráfico?” Neste momento, o professor Fábio orientou-os a observar as raízes de cada uma, e tentar observá-las nos gráficos. Outro aluno, A3, perguntou, evidenciando desconhecer o significado gráfico das raízes encontradas: “O que isso tem a ver?" E
A2 respondeu: “São os pontos onde o gráfico corta o eixo x”, demonstrando assim ter entendido a explicação do professor e já saber o significado gráfico das raízes de uma equação.
Antes de os alunos calcularem as raízes, o professor afirmou que não seria necessário calcular seu valor, mas somente determinar quantas elas são, sempre fazendo perguntas para si mesmo:
Qual é o nome do delta? É discriminante. E por que discriminante? Porque discrimina alguma coisa. E o que ele discrimina? Discrimina quantas raízes reais tem a equação. Se o delta é positivo, tem duas raízes; se é igual a zero, tem apenas uma; e se for negativo, não tem nenhuma.
Com essas explicações, os alunos associaram as expressões “b” e “c” a seus respectivos gráficos.
Figura 7: Resolução da Atividade 1, por alunos do professor Fábio
O aluno A4 afirmou que não reconhecia a equação da circunferência (x2 + y2
= 1), conteúdo ainda não estudado. O professor sugeriu então o estudo do domínio da função, que dependendo do valor escolhido para x resultaria em uma raiz negativa; em seguida resolveu a atividade, na carteira do aluno e dirigindo-se apenas a ele:
Para descobrir os pontos (x, y) dessa função, você pega valores de um e acha o outro, por exemplo, pega valor de x e acha o y; mas se você pegar, por exemplo, x igual a 2, dá uma inconsistência, porque dá uma raiz negativa, então você tem que pegar valores entre -1 e 1.
Em seguida o aluno A5 manifestou dificuldade com a mesma expressão, depois de tentar identificá-la através de uma tabela. Nesse momento o professor realizou o estudo do domínio dessa função na lousa, estabelecendo para toda a turma que os valores de x e y, neste caso, variavam entre -1 e 1; em seguida solicitou que a turma identificasse qual dos gráficos apresentava essa característica. Alguns alunos identificaram a circunferência, e a resposta foi compartilhada por toda a turma.
Quando o aluno A6 apresentou dificuldade para identificar o gráfico correspondente à expressão (y = sen x), o professor respondeu para a turma toda: “Essa função, seno, vocês já estudaram: o x é dado em radianos, e vocês conhecem alguns valores notáveis” – enumerando-os em seguida:
Seno de 30º = .
Seno de 45º = 0. Seno de 60º = .
Então você vai desenhando no gráfico... Aí, você pega: Seno de 90º = 1. 120º. 120 você tem que conhecer a circunferência trigonométrica, seno de 120º é a mesma coisa que o seno de 60º, então ele vai começar a cair. Seno de 120º = .
Seno de 180º = 0. Seno de 270º = -1.
Seno de 360º = Seno de 0º = 0.
Em seguida, pergunta: “Então qual é o gráfico que vai aumentando até o 1 e depois cai até o -1, e depois sobe de novo e aí inicia um novo ciclo?“. Alguns alunos identificaram o gráfico correspondente, indicando corretamente o terceiro gráfico da primeira coluna.
Dando sequência à aula, o professor afirma:
No Primeiro Ano, vocês estudaram função exponencial, ou pelo menos deveriam ter estudado. Então o gráfico da função exponencial vocês conhecem. Tem dois tipos: ou ele cresce ou decresce. Quando é que cresce? Quando a base for maior que 1. E quando é decrescente? Quando a base está entre zero e um. E quando a base for negativa? O que acontece com uma função exponencial quando a base é negativa? Como fica o sinal, quando a base é negativa e o expoente for par?
Nesse momento um aluno A7 respondeu “É positivo”, e o professor continuou: “E quando a base for negativa e o expoente for ímpar? É negativo. Então se a base fosse negativa, geraria saltos sucessivos entre um valor positivo e outro negativo.” O professor então concluiu, sem aprofundar a discussão, mas sugerindo uma pesquisa àqueles que se mostravam interessados em saber mais sobre a função exponencial: “No nosso caso, como é a base do item „d‟? Positiva, então qual é o gráfico? O último!”.
Respondendo a mais um item para os alunos, o professor sugeriu então que, como só restava o item “g”, este deveria ser associado ao último gráfico. Pediu apenas para que alguns alunos mais interessados e participantes conferissem alguns valores.
Atividade 2
O professor iniciou a aula solicitando que a atividade fosse resolvida, preferencialmente pelos mesmos grupos que trabalharam na atividade anterior, e que, se alguém tivesse dúvida, perguntasse, pois os alunos precisavam participar mais das aulas. Solicitou também um favor: que ninguém permanecesse com dúvida, manifestando-se a todo momento em que não entendesse algum passo dado. Distribuiu então as folhas da atividade.
A primeira dúvida que surgiu, do aluno A8, foi: "Qual é a abscissa, o x ou o y?". O professor explicou então para a turma que abscissa era o eixo x e ordenada o eixo y. As perguntas que surgiam relacionavam-se à linguagem ou à interpretação dos enunciados – aluno A9: "Como assim „quantas respostas eu posso dar a esta solicitação‟?". Alguns grupos apresentaram indícios de que limitavam seu olhar apenas aos números inteiros, que apareciam no gráfico proposto na atividade.
Figura 8: Respostas ao item 2.1 da Atividade 2, por alunos do professor Fábio
Surgiram entre aos alunos dúvidas quanto à identificação da expressão algébrica. O professor interveio, orientando-os a fazer o caminho inverso do que havia sido feito na Atividade 1, procurando a expressão correspondente à situação; com essa orientação, alguns grupos atingiram o objetivo e identificaram o primeiro caso como y = x. O professor solicitou então que, a cada expressão identificada, o resultado fosse compartilhado com a turma, na lousa. O restante do desenvolvimento da atividade transcorreu sem interações entre os alunos e o professor. Nos itens 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4, a maioria dos grupos apresentou protocolos similares.
Figura 9: Respostas aos itens 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 da Atividade 2, por alunos do professor Fábio Com a apresentação das imagens, os alunos responderam à atividade 2.5, somente solicitando o auxílio do professor para testar os passos dados, quando se sentiam inseguros. O professor atendia os grupos individualmente, mostrando-se sempre disponível.
Figura 10: Resposta ao item 2.5 da Atividade 2, por alunos do professor Fábio
Figura 11: Respostas ao item 2.5 da Atividade 2, por alunos do professor Fábio
Ao fim desta etapa, o professor sistematizou o significado de coeficiente angular, partindo das proposições de alguns alunos e utilizando o conceito de tangente, como solicitado na atividade.
Atividade 3
No desenvolvimento dos itens 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4, as perguntas relativas à linguagem, na interpretação, já não ocorriam, e os alunos pouco solicitaram auxílio do professor, realizando as atividades sem manifestar maiores dificuldades. Porém ainda existia na turma um grupo de seis alunos que não apresentavam iniciativa, não participavam da aula, nem ao menos preenchiam as atividades com as respostas compartilhadas pelos demais. Em nenhum momento houve qualquer
interação entre estes alunos e as atividades ou o professor aplicador. Este também não se mostrava interessado em tais alunos.
Diante desse quadro, questionamos o professor quanto à razão de aqueles alunos não estarem fazendo nada do que era proposto. Sua resposta evidencia que tanto os alunos tinham desistido do aprendizado como ele havia desistido dos alunos:
Estes alunos nunca participam de nada, já tentei várias vezes me aproximar deles sem sucesso, eles não querem... Eu acho que acumularam muita defasagem nas séries anteriores e agora se mostram desmotivados para correr atrás.
Vários grupos realizaram as atividades sem apresentar dificuldades, atingindo resultados satisfatórios ao final da aula, como mostram os protocolos.
Figura 12: Resolução dos itens 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio O professor iniciou a aula seguinte projetando as imagens propostas para o item 3.5. Embora apresentassem dificuldades com a linguagem matemática para registrar suas conclusões, alguns grupos evidenciavam haver percebido a relação entre o coeficiente linear e o ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas.
Figura 13: Respostas ao item 3.5 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio
Figura 14: Respostas ao item 3.5 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio
Entretanto, passados 40 minutos da aula e com alguns grupos ainda sem perceber tal relação, o professor solicitou que algum aluno efetuasse voluntariamente a leitura de suas conclusões, objetivando encerrar a tarefa ainda naquela aula, sem deixar de realizar a sistematização do conceito de coeficiente linear, no que foi prontamente atendido por alguns alunos. Consideramos que com
essa atitude o professor interrompeu o processo, não permitindo que os alunos que ainda estavam percorrendo o processo da atividade atingissem suas conclusões.
Conforme os alunos descreviam o que haviam percebido na imagem projetada, o professor fazia anotações na lousa, apresentando então a reta, em sua equação reduzida (y = ax + b), na qual a e b eram seus coeficientes angular e linear, respectivamente.
Para a resolução do item 3.6, o professor orientou os alunos a procurarem uma equação de reta do tipo "y = ax + b", usando as conclusões da atividade anterior.
Figura 15: Resolução do item 3.6 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio
Durante a realização da atividade 3.6, alguns grupos atingiram os objetivos esperados. Em outros casos apresentaram dificuldades com o tratamento algébrico das equações.
Observamos que em nenhum momento os alunos testaram, na equação obtida, os pontos que a determinaram. O professor também não sugeriu esse procedimento.
Para a resolução do item 3.7, os alunos podiam utilizar o software
Graphmatica43 para verificar suas suposições. Foi utilizado nosso computador pessoal, pois a sala de informática da escola encontrava-se fechada, aguardando o recebimento de novos computadores; essa circunstância limitou o uso do recurso a um aluno por vez, acompanhado de seu parceiro de dupla ou grupo.
Nesse momento, as discussões envolveram grande parte dos alunos, pois as imagens eram projetadas no telão e os alunos conversavam livremente, sempre que era apresentada alguma suposição. Esse fato justifica a semelhança das respostas de toda a turma.
Figura 17: Respostas ao item 3.7 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio
O professor permaneceu percorrendo os grupos e eliminando dúvidas pontuais. Quando encontrava algo considerado relevante ao andamento da aula, compartilhava a pergunta e a explicação.
Pudemos perceber que quando as orientações de uma atividade se repetiam, com pequenas alterações, o desempenho e a participação dos alunos aumentava. Em alguns casos, porém, eles apresentavam respostas que indicavam uma “mecanização” do processo, não realizando uma análise dos resultados, como os apresentados no item “d”, em que houve uma repetição da resposta ao item anterior,
43 Graphmatica é um programa de domínio público criado por Keith Hertzer, capaz de representar graficamente funções de qualquer grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas entre outras. Disponível em: <www.baixaki.com.br/download/graphmatica.htm>. Acesso em: 28 mar. 2011.
sem notar-se a diferença de solicitação entre os itens. Consideramos tal fato um possível indicativo de que os alunos estão acostumados a “seguir modelos”, apresentando maiores dificuldades em atividades de investigação.
Figura 18: Respostas ao item 3.7 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio
Na realização das atividades 3.9 e 3.10, a análise dos protocolos permite constatar que alguns grupos já identificavam os coeficientes corretamente, enquanto outros não tinham compreendido seus significados, apresentando dificuldades para resolver a tarefa. O professor não interveio e deixou os alunos continuarem suas tentativas, esperando que percebessem os erros. Não ocorreram ações do professor para estimular a busca por tais erros. Nesse momento, constatamos que isso poderia ter sido previsto na elaboração das atividades, e realizaremos mudanças na reelaboração da THA, para um próximo ciclo.
Figura 20: Respostas ao item 3.9 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio
Figura 21: Respostas ao item 3.10 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio
Figura 22: Respostas ao item 3.10 da Atividade 3, por alunos do professor Fábio
Após essa etapa, o professor realizou anotações na lousa, a partir de soluções adequadas apresentadas pelos alunos, sistematizando o modo de verificação do paralelismo e do perpendicularismo entre retas no plano através da análise de seus coeficientes.
Atividade 4
Para iniciar a Atividade 4, o professor, após distribuir o material, orientou os alunos a prestar muita atenção no texto da atividade, tentando resolvê-la sem solicitar sua ajuda na primeira meia hora da aula, pois as perguntas eram simples; orientou-os ainda a utilizar rascunhos e não ter medo de errar, pois o erro faz parte desse momento de aprendizagem. O objetivo da afirmação foi motivar alguns alunos que aparentemente por medo de errar não estavam satisfatoriamente envolvidos com a aula. Os demais alunos que participavam da aula resolveram as atividades 4.1 e 4.2 sem apresentar dúvidas, chegando às conclusões esperadas; porém alguns apresentaram dificuldades no momento de apresentar abstrações.
Figura 23: Respostas ao item 4.1 da Atividade 4, por alunos do professor Fábio
Novamente, encontramos respostas que parecem ter sido elaboradas mecanicamente ou copiadas do item anterior.
Figura 24: Respostas ao item 4.2 da Atividade 4, por alunos do professor Fábio
No item 4.3, alguns alunos identificaram, após reconhecer o triângulo retângulo, a aplicação do teorema de Pitágoras como método adequado para resolver o que se pedia. Outros, porém, copiaram novamente as respostas dos itens anteriores, cuja pergunta era similar.
Figura 25: Respostas ao item 4.3 da Atividade 4, por alunos do professor Fábio
Ao final da aula, o professor apresentou, na lousa, a sistematização da fórmula para cálculo da distância entre dois pontos, como consequência da aplicação do teorema de Pitágoras, adotando pontos com coordenadas A (xa, ya) e C
(xc, yc) apresentadas na atividade.
O item 4.4 da atividade tinha como objetivo a determinação do ponto médio de um segmento e, segundo o professor aplicador, devido à simplicidade do que se pretendia, foram definidos apenas dez minutos para sua realização. Com os grupos autorizados a compartilhar suas respostas. O professor permaneceu ausente do processo e os alunos levantando suas hipóteses, confrontando-as com as de seus colegas e chegando às suas conclusões, nem sempre corretas. Alguns entregaram a atividade sem apresentar dificuldades, interagindo apenas com o parceiro de dupla.
Figura 26: Respostas ao item 4.4 da Atividade 4, por alunos do professor Fábio
Nessa etapa, alguns alunos que não participaram das aulas anteriores tentaram se integrar ao processo. O professor autorizou-os a consultar os colegas que já estavam com as atividades resolvidas. Esses colegas, porém, não se mostraram muito disponíveis na tarefa de auxiliá-los, respondendo o suas perguntas sem se aprofundar muito nas discussões. Isso, associado à falta de familiaridade com o vocabulário matemático, fez com que tais alunos apresentassem, em seus protocolos, evidências de que desconhecem certos termos, ou ainda se confundem com eles, como “sobre dois” e “elevado a dois (ao quadrado)”.
Novamente, ao final da aula, o professor, apoiando-se em algumas respostas corretas dos alunos, demonstrou o ponto médio do segmento como sendo a média aritmética entre as coordenadas das extremidades desse segmento. Ele perguntou aos alunos como procederiam para efetuar outras divisões de segmento, obtendo rapidamente a resposta de que se deveria dividi-lo em quantas partes quisessem, analogamente ao que fizeram ao dividi-lo em duas.
Atividade 5
Ao distribuir esta atividade aos alunos, o professor Fábio esclareceu que o computador com o programa Graphmatica estaria novamente disponível, mas restringiu seu uso: eles poderiam utilizá-lo apenas para confirmar se o gráfico encontrado estava correto, mas não sem trazer um gráfico construído no papel da atividade para conferência.
Novamente o professor adotou uma postura passiva, não fazendo perguntas aos alunos e participando da aula somente ao ser questionado.
Alguns alunos apresentavam dificuldades com os procedimentos aritméticos, como pudemos constatar em alguns casos.
Figura 29: Resolução da Atividade 5 por alunos do professor Fábio
Apesar das dificuldades apresentadas por alguns alunos, outros tiveram bom desempenho, não apresentando maiores dificuldades para a determinação algébrica da interseção das retas dadas.
Figura 30: Resolução da Atividade 5 por alunos do professor Fábio
Finalizando o processo, o professor não interrompeu a aula e não tratou das falhas individualmente, apenas partiu dos acertos de outros alunos e fez sua conclusão na lousa: para determinar o ponto de interseção entre duas retas, basta resolver o sistema linear determinado por suas equações. Assim foi encerrada a atividade.