A Atividade 4 tinha como objetivo a verificação empírica de quais transformações permitem a construção de uma imagem congruente à figura original. Para isso, os alunos deveriam verificar o domínio de validade desta propriedade para cada uma das transformações através da manipulação de suas primitivas (eixo para a reflexão, vetor para a translação, ponto e ângulo para a rotação) e também do polígono original. A única ferramenta que ainda não havia sido introduzida anteriormente e que poderia ser utilizada na verificação das medidas obtidas nesta atividade era a ferramenta Distância e Comprimento.
Ao lerem a Atividade número 4, os alunos de ambos os sistemas apresentaram dificuldade de compreensão referente aos termos figura-original e imagem utilizados em seu enunciado. A professora/pesquisadora esclareceu os significados destes termos como sendo figura-original aquela existente na tela no início da atividade enquanto imagem seria aquela figura construída através da transformação escolhida. Outra dificuldade presente neste enunciado refere-se ao uso do termo distância que a princípio parece ter sido interpretado pelos alunos como referindo-se à distância entre as duas figuras e não entre os pontos de um
mesmo segmento, ou seja, enfatizando o aspecto interfigural. Por esta razão, a professora/pesquisadora encorajou os alunos a associar este termo também a ”tamanho", o que enfatizaria o aspecto intrafigural. Uma única dupla do sistema de aprendizagem A acabou apropriando-se do termo distância.
4.2.7.1. SISTEMA DE APRENDIZAGEM A
Todas as duplas iniciaram a resolução pela reflexão (simetria axial), conforme a ordem das transformações descrita na atividade, refletindo cada um dos segmentos do polígono em relação ao eixo dado (Figura 4.23).
Figura 4.23: Exemplo de configuração obtida através da reflexão da atividade 4.
Nesta primeira parte da Atividade 4, as duplas limitaram sua manipulação apenas ao eixo de simetria, ou seja, nenhuma dupla alterou a configuração da figura original.
Observando os lados da imagem obtida através da reflexão, todas as duplas perceberam a igualdade de suas medidas aos respectivos lados da figura original, ou seja, nenhuma das duplas deste sistema percebeu a necessidade de efetuar a validação através da ferramenta Distância e Comprimento, apesar de utilizá- la após a orientação da professora/pesquisadora.
Todas as duplas concluíram que através da reflexão (simetria axial), nunca a distância entre dois pontos da figura original e sua respectiva imagem serão diferentes (Figura 4.24).
Figura 4.24: Resposta da primeira parte da Atividade 4 realizada pela dupla Paula/Guilherme
A segunda parte da atividade (sobre a rotação da figura original) transcorreu sem dificuldades (Figura 4.25), sendo que as duplas, rapidamente, responderam à questão sobre a permanência da igualdade das medidas dos lados entre a figura original e sua respectiva imagem, após a manipulação do ângulo de rotação e a verificação através da ferramenta Distância e Comprimento.
Figura 4.25: Exemplo de configuração da rotação da atividade 4.
Em seguida, a professora orientou as duplas para que manipulassem um dos vértices do polígono original, desta forma, as duplas puderam verificar a permanência da igualdade das medidas, mesmo após a manipulação de seus vértices. Todas as duplas concluíram que através da rotação nunca será possível criar uma imagem onde a distância entre dois pontos da figura original não seja igual à distância entre suas imagens (por exemplo, Figura 4.26).
Figura 4.26: Resposta da segunda parte da Atividade 4 realizada pela dupla Paula/Guilherme
Prosseguindo a atividade, as duplas realizaram a construção utilizando a ferramenta translação, obtendo a configuração final da atividade conforme mostra a figura 4.27.
Figura 4.27: Configuração final da atividade 4 da dupla Júlia/Maíra
Todas as duplas observaram a permanência da igualdade das medidas dos lados da figura original e sua imagem também na translação (por exemplo, Figura 4.28).
Figura 4.28: Resposta da terceira parte da Atividade 4 realizada pela dupla Paula/Guilherme
A dupla Paula/Guilherme enfatizou ainda em sua resposta o aspecto interfigural, destacando a relação existente entre a distância existente entre os segmentos paralelos e o tamanho do vetor. Neste sistema de aprendizagem, a dupla Júlia/Maíra também observou este fato.
Pode-se concluir, portanto, que todas as duplas conseguiram verificar empiricamente a validade da propriedade de permanência da distância entre dois pontos da figura original e sua respectiva imagem através do uso das transformações geométricas de reflexão, rotação e translação. Esta propriedade já havia sido observada pelos alunos durante a execução das atividades do Conjunto 1 que acabou por convencer os alunos sobre sua validade. Tal fato influenciou na execução da Atividade 4 pois, apesar da confirmação de sua validade, através da verificação, associada ao dinamismo e às ferramentas de medidas do software, estas não foram essenciais para o convencimento dos alunos.
Todas as construções obtidas foram robustas pois se movendo a figura original, sua imagem continuaria congruente a original, porém, mais uma vez, não se pode dizer ainda que esta característica da construção tenha sido apropriada pelos alunos.
Conforme as demandas da tarefa, a ênfase das observações das duplas encontra-se no aspecto intrafigural, destacando a equivalência entre os lados da figura original e sua imagem. Além disso, pode-se concluir que todas as duplas deste sistema conseguiram identificar corretamente o domínio de validade associado à propriedade da atividade, apesar do uso da linguagem coloquial ao invés da linguagem matemática.
As justificativas dadas possuem caráter geral, podendo ser associadas a propriedade de invariância das imagens durantes as transformações geométricas de reflexão, translação e rotação. Além disso, em nenhum momento, as duplas incluíram em suas justificativas referências a exemplos particulares.
4.2.7.2. SISTEMA DE APRENDIZAGEM B
No sistema de aprendizagem B a introdução da atividade ocorreu semelhantemente a realizada no sistema de aprendizagem A. De forma semelhante ao sistema anteriormente descrito, foi necessário esclarecer às duplas, o sentido dos termos figura-original, imagem e distância utilizados no
enunciado. Durante a explicação das atividades, a dupla Pedro e Felipe conjecturou que sempre a imagem teria as mesmas medidas da figura original. Mediante esta conjectura, a professora/pesquisadora apresentou a ferramenta Distância e Comprimento como forma de validação da mesma.
A estratégia utilizada pelas duplas deste sistema apresentou grande semelhança com o sistema anterior, ou seja, pode-se perceber que esta atividade não possibilitou muita abertura para resoluções diferentes, induzindo sempre a realização de uma construção robusta, apesar de, a princípio, os alunos não terem consciência deste fato.
Todas as duplas conseguiram verificar a permanência das distâncias entre dois pontos do polígono-original e sua respectiva imagem, ou seja, o domínio de validade desta propriedade foi indicado corretamente por todas as três duplas deste sistema.
Da mesma forma como ocorreu na primeira atividade com a translação, este sistema de aprendizagem realizou conexões entre termos utilizados em outras disciplinas e as transformações geométricas, ou seja, a dupla Pedro e Felipe comentou o uso do termo axial na disciplina Ciências:
Pedro: - Professora, sistema axial é uma parte do esqueleto sabia? Parte, como que é? Parte que protege, a parte chata. A gente viu hoje.
Esclarecendo a fala do aluno, a professora/pesquisadora disse que, no caso específico da área de Ciências, o termo axial poderia estar associado ao eixo do esqueleto (o que de certa forma evidencia uma simetria) enquanto em Matemática, a palavra axial relaciona-se com a reta de simetria.
Como o enunciado da questão não solicitava a redação de uma justificativa, a dupla Pedro e Felipe não a escreveu. As demais duplas enfatizaram aspectos intrafigurais na redação de suas justificativas, em especial, a congruência das figuras obtidas.
A professora questionou a dupla Lylli e Henrique sobre suas observações nesta atividade. Segue abaixo o diálogo que ocorreu:
Lilly: - Todos são tipos de simetria. Esse é um tipo de simetria no espelho (reflexão), esse aqui é simetria movendo no espaço, essa é a diferença do espaço (mostrando o vetor), aqui é onde ele mostra pra cima, pra baixo ou a direção.
Professora: - Então você ta falando que todos: translação, rotação, todos é como se fosse uma simetria. Uma outra simetria.
Henrique: - Um é simetria simétrica, outro simetria rotatória, outro simetria translatória.
A concepção desta dupla apresenta similaridade à definição de Imenes & Lellis (2002) ilustrada no Capítulo I (páginas 11 a 14), ou seja, todas as transformações geométricas utilizadas nas atividades, ou seja, a reflexão, a translação e a rotação são simetrias. Neste caso, a simetria é vista como um processo de construção de figuras congruentes e não como uma propriedade de uma configuração.
4.2.7.3. CONCLUSÃO
A propriedade levantada por todas as duplas pode ser escrita na forma matemática como: um objeto geométrico e sua imagem obtida através da reflexão, rotação ou translação são congruentes, ou seja, as transformações reflexão, rotação e translação são transformações isométricas. Apesar de observações, durante a execução da atividade 2, sobre a igualdade entre a distância da figura original à sua imagem e o tamanho do vetor, durante esta atividade nenhuma dupla mencionou tal propriedade. Tal fato pode ter ocorrido por influência do enunciado da atividade que orientava os alunos ao uso dos advérbios: sempre, nunca ou às vezes.