A atividade 7 (última deste segundo conjunto) subdivide-se em duas partes com objetivos distintos: o primeiro é efetuar o levantamento das condições de manutenção das distâncias entre uma figura e sua imagem, e o segundo é o levantamento das condições em que a distância entre um vértice da figura original a um ponto P qualquer, seja igual à distância da imagem deste vértice ao mesmo ponto P.
4.2.10.1. SISTEMA DE APRENDIZAGEM A
A professora/pesquisadora introduziu a atividade lendo seu enunciado e orientando os alunos na lousa através de desenhos com o objetivo de clarificar o sentido do termo distância entre os vértices (original e sua imagem) e destes a um ponto P. Esta introdução ocorreu devido à dificuldade anteriormente apresentada pelos alunos, referentes ao uso do termo distância, durante a execução da atividade 4.
Após a explicação, duas duplas (Júlia/Maíra e Letícia/Ana) conjecturaram que a resposta da primeira parte desta atividade seria a translação. Todas as duplas foram orientadas pela professora para que testassem as três transformações anteriormente vistas (reflexão, rotação e translação) pois poderia existir mais de uma resposta para a atividade.
Conforme a conjectura, as duplas iniciaram suas construções pela ferramenta translação verificando, através da ferramenta Distância e Comprimento, se os valores das distâncias obtidos verificavam suas conjecturas.
Em seguida, as duplas passaram para a rotação onde foi necessária a interferência da professora para minimizar a dificuldade apresentada pelas duplas referente à dificuldade de visualização da correspondência entre os vértices
originais e suas respectivas imagens pois o triângulo original apresentava lados de medidas muito próximas.
A terceira construção referia-se à reflexão porém, o fato de não haver eixo construído na tela inicial da atividade dificultou a realização desta terceira tentativa e, ao mesmo tempo, ofereceu a “pista” de que esta não seria a resposta esperada para a situação apresentada. Mesmo assim, duas duplas construíram um eixo em posição vertical e verificaram as distâncias obtidas.
Todas as duplas concluíram que as distâncias entre os vértices da figura original e sua imagem são iguais apenas quando a transformação utilizada é a translação (Figura 4.40).
Figura 4.40: Exemplo de resposta da primeira parte da Atividade 7
A segunda parte da atividade foi realizada sem dificuldades, porém, como a primeira parte apresentou como resposta apenas uma das transformações, as duplas induziram que esta segunda parte também teria uma única resposta, assim, as duplas, ao invés de realizarem as três transformações como na parte anterior, contentaram-se em obter uma única transformação que verificasse a igualdade da distância do triângulo ao ponto P e deste até a imagem do triângulo. Apenas a dupla Ana/Letícia construiu a reflexão verificando que a construção obtida respondia corretamente à questão formulada, pois o ponto P dado na figura original pertencia ao eixo de reflexão. As outras duplas realizaram a rotação e também obtiveram a confirmação de suas conjecturas (Figura 4.41).
Figura 4.41: Exemplo de resposta da segunda parte da atividade 7
Todas as construções realizadas durante a execução da atividade 7 (Figura 4.42) foram robustas, no sentido de que, manipulando o eixo, o vetor e o ângulo, os
objetos construídos permanecem congruentes à figura original assim como a medida das distâncias entre a figura original e sua imagem continuam iguais.
Figura 4.42: Exemplo de configuração final da atividade 7
As análises desta atividade focalizam no aspecto interfigural, relacionando propriedades externas às figuras obtidas, ou seja, a relação entre as distâncias dos vértices da figura original e sua respectiva imagem e entre a distância do vértice a um ponto qualquer e deste ponto a imagem do vértice.
Nesta atividade podemos observar que, o domínio de validade encontrado, na primeira parte da atividade está correto pois todos indicaram a translação conforme já havia sido observado durante a Atividade 2. Já na segunda parte da Atividade 7, nenhuma das duplas forneceu o domínio de validade completo pois o mesmo deveria envolver tanto a rotação quanto a reflexão, esta última com a restrição sobre a posição do ponto P que deve pertencer ao eixo de reflexão. Nesta atividade, as justificativas dadas baseiam-se nos valores encontrados através do uso da ferramenta Distância e Comprimento, ou seja, fundamentam-se em argumentos empíricos.
Após esta etapa, a professora orientou o sistema de aprendizagem para que realizassem o levantamento das propriedades deste segundo conjunto visando coletivizar as propriedades encontradas pelo sistema e ao mesmo tempo, reescrever as propriedades à luz da linguagem matemática.
4.2.10.2. SISTEMA DE APRENDIZAGEM B
Neste sistema de aprendizagem, a professora/pesquisadora não realizou a explicação coletiva como no sistema anterior. Cada dupla leu o enunciado da questão e individualmente esclareceu suas dúvidas que basicamente ainda referiam-se aos termos distância, figura original e imagem. Uma única dupla, Lylli e Henrique, não apresentou dúvidas e imediatamente conjecturou que a resposta da primeira parte da atividade era através da translação.
Verificando a transformação, todas as duplas conseguiram verificar que a transformação que possibilita que a imagem e a figura original tenham a mesma distância é a translação.
O aluno Henrique ofereceu uma justificativa baseada na congruência de triângulos (assunto ainda não estudado pelos alunos deste sistema):
Henrique: - Eles são congruentes a esse daqui (apontando para o triângulo original). Então, já que eles são congruentes, se colocar aqui (vetor nulo), então a distância vai dar zero, Se tiver uma distância (diferente de zero) então todos vão dar essa distância.
Professora: - Que é a mesma distância do tamanho do vetor.
Ou seja, manipulando o vetor até obter o vetor nulo, a dupla percebeu que o triângulo original e sua imagem coincidiriam. Por outro lado, caso o vetor seja diferente do vetor nulo, a distância entre a figura original e sua imagem será sempre a mesma, ou seja, do tamanho do vetor. Pode-se perceber a força dos argumentos empíricos resultantes das medidas obtidas através da ferramenta Distância e Comprimento para esta dupla.
Diferentemente do sistema anterior, as duplas deste sistema verificaram apenas a translação para redigirem sua resposta, passando em seguida para a segunda parte da atividade.
Eliminando a translação, pois esta já havia sido utilizada na primeira parte da atividade, e a reflexão, pois não havia na tela um eixo desenhado, as duplas iniciaram a realização da atividade através da rotação e assim obtiveram a resposta desta atividade.
Em seguida, a professora fez com que os alunos socializassem suas respostas, complementando-as e escrevendo-as no quadro utilizando-se para isso da voz matemática.
Todas as construções obtidas nesta atividade foram robustas no sentido de que as imagens obtidas são sempre congruentes e ainda, no sentido de que as distâncias obtidas permanecem iguais após a manipulação das figuras.
A ênfase desta atividade encontra-se no aspecto interfigural, relacionado as distâncias entre dois pontos da figura original e sua imagem ao vetor (translação) e ao eixo de reflexão ou ao centro de rotação no caso da distância a um ponto P. O domínio de validade, encontrado por este sistema, nesta atividade, foi correto, apesar de incompleto na segunda parte já que a reflexão também seria uma resposta correta.
4.2.10.3. CONCLUSÃO
Durante a execução da Atividade 7 enfatizou-se o aspecto interfigural, principalmente através do papel do vetor na translação realizada na primeira parte da atividade.
As construções obtidas nesta atividade foram robustas pois, tanto as figuras construídas quanto suas imagens, permaneceram congruentes durante a manipulação e, no caso das transformações que resultaram em respostas corretas, as distâncias também permaneceram congruentes.
O domínio de validade encontrado por todas as duplas foi correto na primeira parte da atividade, indicando como resposta a translação. Na segunda parte, o domínio de validade foi incompleto para todas as duplas sendo que cinco responderam rotação enquanto uma única dupla respondeu reflexão, porém, esta dupla não percebeu a restrição desta transformação já que esta propriedade só ocorre quando o ponto P pertence ao eixo de reflexão.