A proposta dos PCN em iniciar o contato dos alunos com a prova matemática na
7a ou 8ª séries parece estar de acordo com os resultados obtidos neste
experimento de ensino pois os alunos, em ambas faixas etárias, conseguiram iniciar-se na apropriação de algumas das características da prova, além de começarem a negociação entre dados empíricos e justificativas matemáticas. Por outro lado, percebe-se que o uso das transformações geométricas na prova não consegue, por si só, resolver todos problemas apresentados em estudos que utilizam modelos euclidianos, como por exemplo, a necessidade de organização de uma seqüência de argumentos coerentes pelas quais um conjunto de fatos possa ser inferido a partir de um outro. Porém, este experimento de ensino conseguiu que os alunos elaborassem justificativas válidas localmente, o que se trata de um passo para a elaboração de uma prova válida globalmente.
Observando a estrutura do Ensino Fundamental atual, pode-se dizer que a introdução da Geometria tem sido realizada enfocando apenas os aspectos pragmáticos, por serem mais acessíveis aos alunos. Porém, é necessário que os aspectos conceituais não sejam deixados de lado ainda no Ensino Fundamental, para que não seja inviável a construção de provas pelos alunos, ou seja, deve-se buscar introduzir, também na geometria escolar, um balanço entre os argumentos indutivos e dedutivos, de forma a possibilitar que os alunos se envolvam no processo de construção de suas próprias provas matemáticas.
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ANEXO 1
Atividade 4
ANEXO 2
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática
Atividades sobre transformações geométricas no software Cabri Géomètre II:
Orientanda: Regina Vaz Orientadora: Lulu Healy
Atividade 1 (Introdução a Reflexão (ou Simetria axial)):
Abra o arquivo ativ1 e complete todos os espaços que faltam do octógono com triângulos utilizando a ferramenta simetria axial.
Agora movimente o triângulo original e observe os resultados.
Salve o seu arquivo com o nome ativ1XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Atividade 2 (Introdução a Translação):
Volpi foi um grande pintor. Em várias de suas obras ele pintou bandeirinhas.
Abra o arquivo ativ2 e complete a tela montando um quadro semelhante aos de Volpi através da ferramenta translação. Para isso, complete a primeira fileira de bandeirinhas e crie uma nova fileira abaixo desta.
Salve o seu arquivo com o nome ativ2XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Atividade 3 (Introdução a Rotação):
Abra o arquivo ativ3 e, usando a ferramenta rotação, complete o desenho abaixo. Aumente ou diminua o ângulo.
Movimente a figura inicial.
Salve o seu arquivo com o nome ativ3XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Atividade 4 (Propriedades):
É possível construir uma imagem da figura-original na qual pelo menos uma das distâncias entre dois pontos da figura-original não é igual à distância entre suas imagens?
Salve o seu arquivo com o nome ativ4XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Abra o arquivo ativ4 e investigue as hipóteses para completar as frases corretamente usando os termos sempre, nunca ou às vezes (neste caso escreva as condições necessárias):
Usando simetria axial é possível?
Usando rotação é possível?
Atividade 5 (Propriedades):
Ana Paula, Bruna e Carol estavam trabalhando no seguinte problema:
Usando simetria axial é possível fazer uma construção na qual um dos segmentos da figura-original é paralelo à sua imagem?
Leia abaixo a conversa entre elas:
Ana Paula diz
Bruna diz
Acho elas estão loucas – tentei várias posições e parece impossível
Carol pensa
Abra o arquivo ativ5 e investigue as idéias das meninas para ajudar a completar a frase abaixo: Usando simetria axial é possível construir uma figura na qual um dos segmentos do polígono original é paralelo à sua imagem...
...sempre ...nunca
...às vezes, quando ...
Verifique se os segmentos continuam paralelos quando você movimenta a figura. Salve o seu arquivo com o nome ativ51XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega. Agora complete as frases abaixo.
Usando translação é possível construir uma figura na qual um dos segmentos do polígono original é paralelo à sua imagem...
...sempre ...nunca
...às vezes, quando ...
Verifique se os segmentos continuam paralelos quando você movimenta a
figura. Salve o seu arquivo com o nome ativ52XY onde X é a inicial do seu
nome e Y a do seu colega.
Usando rotação é possível construir uma figura na qual um dos segmentos do polígono original é paralelo à sua imagem...
...sempre ...nunca
...às vezes, quando ...
Verifique se os segmentos continuam paralelos quando você movimenta a figura. Salve o seu arquivo com o nome ativ53XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Construi uma reta perpendicular à AB, testei e A' B' é sempre paralela a AB Não concordo. A reta tem que ser paralela...
Atividade 6 (Propriedades):
Danilo já tinha resolvido os problemas da Atividade 5 e resolveu trabalhar no problema abaixo:
Usando simetria axial é possível fazer uma construção na qual um dos segmentos do polígono original é perpendicular a sua imagem?
Ele conseguiu fazer esta construção e escreveu os passos, mas confundiu sua ordem. Abra o arquivo Ativ6 e determine a ordem correta:
Passos Ordem
Construí uma reta (r) paralela ao segmento AB e passando pelo ponto E. Medi o angulo na interseção entre reta t e reta x.
Construi a bissetriz (x) do angulo na interseção entre retas r e s. Construí os simétricos dos segmentos em relação à reta x. Construi uma reta (s) perpendicular ao segmento AB. Construí uma reta (t) passando pelos pontos A e B. Danilo completou a frase como você pode ver abaixo:
Usando simetria axial é possível fazer uma construção na qual um dos segmentos do polígono original é perpendicular à sua imagem...
...sempre ...nunca
...às vezes, quando o ângulo formado pelo segmento e pela reta de simetria é igual a 45 graus.
Você concorda com a resposta de Danilo? Justifique sua resposta.
Salve o seu arquivo com o nome ativ61XY onde X e Y são as iniciais dos seus nomes.
Agora complete as frases abaixo.
Usando translação é possível fazer uma construção na qual um dos segmentos do polígono original é perpendicular à sua imagem...
...sempre ...nunca
...às vezes, quando ...
Salve o seu arquivo com o nome ativ62XY onde X e Y são as iniciais dos seus nomes.
Usando rotação é possível fazer uma construção na qual um dos segmentos do polígono original é perpendicular à sua imagem...
...sempre ...nunca
...às vezes, quando ...
Salve o seu arquivo com o nome ativ63XY onde X e Y são as iniciais dos seus nomes.
Atividade 7 (Propriedades):
Dado um triângulo ABC, construa uma imagem na qual a distância dos vértices originais e suas imagens sejam todas iguais.
Salve o seu arquivo com o nome ativ71XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Dado um triângulo ABC e um ponto P é possível construir um triângulo-imagem cuja distância a P seja a mesma do triângulo-origem a P?
Salve o seu arquivo com o nome ativ71XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Descreva sua construção Descreva sua construção
Atividade 8: Quadrado (Construção)
Marcelo estava trabalhando no seguinte problema:Construa um quadrado ABCD usando apenas duas transformações geométricas.
Abra o arquivo Ativ8 e siga os passos de Marcelo para construir o quadrado:
Passos
Construi o segmento AB de qualquer medida. Movimentei o ângulo construído até 90o.
Rotacionei o segmento AB pelo ângulo de 90o sobre o ponto A. Nomeei o novo segmento de AD.
Construi um triângulo unindo os vértices ABD. Construi o simétrico do triângulo ABD ao lado BD.
A seguir, Marcelo escreveu o que sabe sobre a construção que fez e o porquê. Só que ele acabou confundindo a ordem. Ajude-o a encontrar a ordem correta:
Eu sei que: Porque:
1. AB = AD
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o. B D A ˆ = A ˆBD (ver 4) 90o + x + x = 180o então x =45o. 2. AB é perpendicular a AD
AD é uma rotação de AB logo os dois segmentos tem a mesma medida (ou seja, são iguais).
3. ∆ DAB é isósceles. AD é uma rotação de AB usando um ângulo de 90º .
4. A ˆDB = A ˆBD = ∆ CDB é uma reflexão de ∆ ABD.
5. A ˆDB = A ˆBD = 45o O triângulo tem dois lados iguais (AD = AB).
6. ∆ CBD tem lados e ângulos iguais ao
∆ ADB.
CD é imagem de AB, BC é a imagem de AD e a imagem é sempre igual ao original.
7. AB = CD e AD = BC. AB é perpendicular a AD (ver 2) CD é perpendicular a CB (ver 6) AB é perpendicular a BC pois C B A ˆ = A ˆBD + D ˆBC = 45o + 45o = 90o e AD é perpendicular a DC pois C D A ˆ = A ˆDB + B ˆDC = 45o + 45o = 90o .
8. Todos os lados são iguais. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
9. Todos os lados consecutivos são
perpendiculares. Porque AB = AD (ver 1) e AB = CD, AD = BC (ver 7).
Logo, posso afirmar que a figura construída é um quadrado pois seus quatro lados têm a mesma medida e todos os seus ângulos internos medem 90o .
Salve o seu arquivo com o nome ativ8XY onde X e Y são as iniciais dos seus nomes.
Atividade 9: Losangos
(Construção)
Construir um losango robusto ABCD usando apenas duas transformações geométricas. a) Descreva sua construção
Passo 1: Passo 2: Passo 3: Passo 4: Passo 5: Passo 6: Passo 7: Passo 8: Passo 9: Passo 10:
b) Faça como Marcelo na atividade anterior, escreva o que você sabe sobre a sua construção e o porquê.
Eu sei que: Porque:
Salve o seu arquivo com o nome ativ9XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Atividade 10: Paralelogramo
(Construção)
Construa um paralelogramo robusto ABCD usando apenas duas transformações geométricas. a) Descreva sua construção
Passo 1: Passo 2: Passo 3: Passo 4: Passo 5: Passo 6: Passo 7: Passo 8: Passo 9: Passo 10:
b) Escreva o que você sabe sobre a sua construção e o porquê.
Eu sei que: Porque:
Salve o seu arquivo com o nome ativ10XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Atividade 11: Retângulo
(Construção)
Construa um retângulo robusto ABCD usando apenas duas transformações geométricas. a. Descreva sua construção
Passo 1: Passo 2: Passo 3: Passo 4: Passo 5: Passo 6: Passo 7: Passo 8: Passo 9: Passo 10:
b) Escreva o que você sabe sobre a sua construção e o porquê.
Eu sei que: Porque:
Salve o seu arquivo com o nome ativ11XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.
Atividade 12: Quadrado
(Construção)
Construa um quadrado robusto ABCD usando apenas duas transformações geométricas de uma maneira diferente da apresentada na Atividade 8.
a. Descreva sua construção Passo 1: Passo 2: Passo 3: Passo 4: Passo 5: Passo 6: Passo 7: Passo 8: Passo 9: Passo 10:
b) Escreva o que você sabe sobre a sua construção e o porquê.
Eu sei que: Porque:
.
Salve o seu arquivo com o nome ativ12XY onde X é a inicial do seu nome e Y a do seu colega.