O objetivo da Atividade 5 era o levantamento das condições de paralelismo entre a figura original e sua imagem. Devido à dificuldade de compreensão do enunciado da atividade 4, a professora/pesquisadora leu a atividade em conjunto com cada um dos sistemas de aprendizagem, explicitando o problema (encontrar
lados paralelos na figura imagem e na original) e as hipóteses apresentadas no enunciado referente às falas de Ana Paula, Carol e Bruna.
4.2.8.1. SISTEMA DE APRENDIZAGEM A
Após a apresentação da atividade, a professora questionou os alunos deste sistema, se eles teriam alguma hipótese referente a esta questão. Como não houve resposta, a professora interpretou o silêncio como ausência de hipóteses, passando então, a incentivar a investigação, por parte dos alunos, das hipóteses apresentadas pelas alunas fictícias, apresentando as ferramentas necessárias para a execução da construção descrita no enunciado, mais especificamente, a ferramenta reta perpendicular, sugerida na fala de Ana Paula. Esta introdução aparentemente direcionou os alunos a realizarem a construção apresentada na atividade (Figura 4.29).
Figura 4.29: Exemplo de construção da reflexão sugerida por Ana Paula na atividade 5
Todas as duplas efetuaram a construção da reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo vértice B obtendo, através da reflexão pela reta recém-construída, a imagem do polígono ABCD. Nesta figura, a imagem do segmento AB encontrava-se alinhada ao segmento original, dificultando a percepção da relação de paralelismo entre os segmentos pois, o conceito de paralelismo dos alunos deste sistema, relaciona-se a retas que possuem a mesma direção e não tem pontos em comum. Para resolver o impasse criado, os alunos foram introduzidos à ferramenta de verificação é paralelo?. Através desta ferramenta foi possível verificar o paralelismo dos segmentos, o que levou todas as duplas a concordarem com a resposta dada por Ana Paula.
Em seguida, os alunos passaram para a afirmação de Bruna, necessitando de ajuda para utilizar a ferramenta reta paralela, apesar de sua semelhança à ferramenta reta perpendicular. Após a construção da reta paralela, rapidamente, os alunos obtiveram a imagem do polígono ABCD conforme mostra a Figura 4.30.
Figura 4.30: Exemplo da construção das reflexões da Atividade 5
Ao obterem a imagem do polígono através do eixo paralelo ao lado AB, os alunos verificaram rapidamente o paralelismo entre um dos lados da figura original e sua respectiva imagem através da ferramenta é paralelo?, concluindo, desta forma, que também a afirmação de Bruna estava correta.
Duas das duplas logo descartaram a resposta atribuída a Carol - que dizia ser impossível obter segmentos paralelos – pois já haviam comprovado que, nos casos de eixos paralelos ou perpendiculares ao lado, a figura original e sua respectiva imagem teriam segmentos paralelos.
A terceira dupla Paula/Guilherme concordou também com as duas afirmações mas questionou se haveria uma outra posição possível. A professora ajudou-os a realizar uma construção mole que permitisse a verificação empírica das condições de paralelismo. Ao final, a dupla também acabou concordando apenas com as afirmações de Ana Paula e Bruna.
As construções realizadas conforme as orientações das alunas fictícias Ana Paula e Bruna foram robustas, o que, se de um lado facilitou a obtenção de figuras de lados paralelos, por outro dificultou a manipulação dos eixos construídos conforme realizado apenas pela dupla Paula e Guilherme.
As duplas prosseguiram realizando a segunda parte da atividade que se referia à translação. Desta vez, não houve dificuldades na realização da construção e como a ferramenta de verificação é paralelo? já havia sido apropriada pelas duplas, rapidamente os alunos obtiveram a configuração final ilustrada na Figura 4.31. Após a manipulação do vetor, concluíram que a imagem obtida através da translação tem sempre todos os lados paralelos à figura original.
A construção obtida nesta parte da atividade foi uma construção robusta, no sentido de que após a manipulação do vetor ou de qualquer vértice da figura original, todas as imagens construídas pela translação permanecem congruentes.
Figura 4.31: Exemplo de construção da translação da Atividade 5
A terceira e última parte da Atividade 5 referia-se à condição de paralelismo no caso do uso da rotação. Não houve dificuldades em realizar a construção nem a manipulação do ângulo dado até obter a verificação de paralelismo entre a imagem obtida e a figura original através da ferramenta é paralelo? (Figura 4.32).
Figura 4.32: Exemplo de construção da rotação da Atividade 5
Curiosamente, na hora de gravar a figura, as três duplas, preferiram alterar o valor do ângulo deixando-o com valores que não possibilitam a verificação do paralelismo dos segmentos. Este fato comprova que os alunos estão começando a se apropriar do dinamismo do software.
As construções obtidas foram robustas, no sentido de que, manipulando a figura original (o que não foi realizado por nenhuma dupla em nenhuma das fases desta atividade) ou o ângulo dado, as figuras permaneceram congruentes. No sentido do paralelismo, esta robustez não se mantém quando o valor do ângulo é alterado.
Observando as respostas obtidas neste sistema de aprendizagem, pode-se verificar que o domínio de validade foi indicado corretamente, por todas as duplas, no caso da reflexão (quando o eixo é paralelo ou perpendicular à figura) e no caso da translação (sempre). Na rotação, duas duplas indicaram o domínio de
validade corretamente (quando o ângulo for 0o, 180º e 360º) enquanto a terceira
dupla respondeu de forma incompleta (0o
ou 180º ). A dificuldade de determinação do valor exato através da manipulação do ângulo pode ter contribuído para que a dupla não respondesse o terceiro valor (360º ).
Todas as respostas dadas enfatizam os aspectos interfigurais: na reflexão ocorre a ênfase na posição do eixo, na translação, a ênfase ocorre na observação do vetor e finalmente na rotação, a ênfase encontra-se no valor do ângulo. Essa propriedade não havia sido observada pelas duplas em nenhum momento anterior desta pesquisa.
É possível ainda, observar uma primeira aproximação da linguagem matemática através do uso dos termos constantes no enunciado tais como paralelo e perpendicular. Com exceção da resposta dada a questão sobre reflexão (construção robusta), as demais têm origem na verificação empírica da propriedade dada.
4.2.8.2 SISTEMA DE APRENDIZAGEM B
Após a explicação inicial, a professora questionou os alunos se teriam alguma hipótese sobre a posição do eixo que resultaria em uma imagem com pelo menos um de seus lados paralelo à figura original. A aluna Lilly conjecturou que a posição do eixo de simetria deveria ser paralela ao lado para que sua respectiva imagem também fosse paralela. A professora esclareceu que esta conjectura assemelhava-se à realizada pela personagem fictícia do enunciado, chamada Bruna, e orientou as duplas a testarem as conjecturas apresentadas no enunciado da atividade.
Este sistema de aprendizagem também efetuou a construção utilizando-se da ferramenta reta perpendicular ao segmento AB. Efetuando a reflexão, os alunos obtiveram uma imagem de AB alinhado ao segmento original ou coincidindo parcialmente com o segmento AB, o que gerou dúvida nos alunos sobre a condição de paralelismo. A professora introduziu a ferramenta é paralelo? como forma de validar a construção realizada, assim, todas as duplas acabaram concordando com a afirmação de Ana Paula.
A segunda construção (da conjectura da Bruna) ocorreu de forma semelhante porém, como a imagem não coincidiu com a figura original, foi muito mais simples para que os alunos percebessem que a afirmação também era correta.
As duplas passaram a redigir suas respostas. Nenhuma dupla sentiu necessidade de construir um eixo em outra posição que não fossem paralelos ou perpendiculares ao lado. Duas duplas responderam à questão afirmando que a posição do eixo deveria ser paralela ou perpendicular ao lado da figura original enquanto a terceira (Pedro/Felipe) afirmou que sempre seria paralelo. Esta
afirmação deixa clara a dificuldade oriunda do uso da construção robusta durante a execução da atividade, se a dupla escolhesse utilizar-se de uma construção mole, possivelmente, os alunos teriam maior facilidade em determinar os valores onde essa propriedade não ocorre porém, haveria maior dificuldade em determinar onde ocorre.
Em relação ao uso da translação, as duplas conseguiram realizar suas construções facilmente conseguindo concluir que a figura original e sua imagem sempre terão lados paralelos.
Seguiram para a questão usando rotação, sendo que, para esta transformação, foi necessário relembrar quais as primitivas e a ordem em que devem ser selecionadas. Os alunos passaram a verificar empiricamente os valores dos ângulos para os quais a ferramenta de verificação é paralelo? indicava objetos paralelos. Duas duplas conseguiram indicar o domínio de validade correto, ou
seja, para os ângulos de 0o
, 180º e 360º , enquanto a terceira dupla indicou
apenas os valores 0o e 180º . A dificuldade para se obter o valor 360º no Cabri
pode ser vista como uma justificativa para esta resposta.
Uma dificuldade presente nesta atividade deve-se ao fato de acumularem-se quatro imagens da figura original em uma mesma tela, o que gerou confusão para uma das duplas, pois os alunos não sabiam se estavam clicando na figura original ou em sua imagem. A professora esclareceu que apenas a original continha os vértices nomeados e os alunos refizeram suas construções.
Pode-se perceber que todas as duplas enfatizaram, durante esta atividade, o aspecto interfigural, relacionado a posição do eixo de reflexão, do ângulo da rotação e do vetor na translação à propriedade de paralelismo da imagem obtida.
4.2.8.3. CONCLUSÃO
Os domínios de validade indicados pelas duplas foram, em sua maioria, corretos. No caso da reflexão, cinco, das seis duplas conseguiram indicar o domínio corretamente, respondendo que a posição do eixo deveria ser paralela ou perpendicular ao lado. A única dupla que respondeu de forma diferente, assinalou como resposta a palavra sempre, já que as duas hipóteses por eles testadas,
resultaram em imagens paralelas. No caso da translação, todas as duplas indicaram corretamente o domínio de validade, respondendo sempre. No caso da rotação, quatro duplas determinaram os valores dos ângulos de forma completa:
0o, 180º e 360º enquanto duas duplas responderam apenas dois valores 0o e
180º , o que pode ser resultado da dificuldade de obtenção do valor 360º na manipulação do ângulo.
As construções realizadas para verificação desta propriedade utilizando-se da reflexão, foram robustas, o que, se por um lado dificultou a verificação empírica das diferentes posições possíveis para o eixo de reflexão, por outro, facilitou a obtenção das posições em que esta propriedade era válida.
Nas demais transformações, as construções realizadas foram robustas no sentido de que manipulando o ângulo e o vetor, as figuras permanecem congruentes porém, dependendo da posição destes elementos, as figuras obtidas deixam de possuir lados paralelos.
A robustez nas construções, envolvendo a translação e a rotação, possibilitou a exploração empírica da propriedade, disponibilizando a possibilidade da verificação de todos os casos. Já na reflexão, a exploração empírica possibilitou apenas a determinação das posições onde a condição foi satisfeita, impossibilitando a verificação das posições onde a mesma não o era. Isso significa que, a interferência ocasionada nesta atividade através da sugestão das construções das alunas fictícias, conduziu os alunos a perda do controle do processo de resolução, bastando para isso, realizar as construções sugeridas. Percebe-se que, conforme proposto, nesta atividade ocorreu uma mudança de abordagem dos alunos que, até a atividade 4, enfatizava os aspectos intrafigurais, e, a partir desta, passou a dar ênfase nos aspectos interfigurais, ou seja, na posição e manipulação do eixo de simetria, no vetor no caso da translação e no ângulo, o caso da rotação.