O terceiro conjunto teve início através da Atividade 8, envolvendo a construção de um quadrado, usando apenas as transformações geométricas, realizada por um aluno fictício chamado Marcelo. Esta construção deveria ser reproduzida na tela do Cabri pelos alunos que, em seguida, deveriam relacionar corretamente as colunas de uma tabela contendo de um lado as observações de Marcelo e do outro suas justificativas. Algumas das justificativas originais foram trocadas por frases, de mesmo sentido, ditas pelas duplas durante as atividades anteriores. A orientação da professora ocorreu no primeiro instante apenas para esclarecer que os alunos deveriam iniciar refazendo a construção apresentada na atividade. A única ferramenta que até então era desconhecida dos alunos era a construção triângulo que foi apresentada pela professora a cada dupla quando solicitado.
5.1.1.1. Sistema de Aprendizagem A
As duplas realizaram a construção (Figura 5.1) conforme os passos dados no enunciado da atividade, sem dificuldades. O único momento em que a professora interagiu com as duplas foi para orientá-las para que nomeassem os pontos construídos através de letras maiúsculas. Ao final da construção, a professora interrogou cada uma das duplas sobre o paralelismo dos segmentos AB e CD.
Figura 5.1: Exemplo de construção da Atividade 8
Todas as duplas conseguiram perceber o paralelismo entre os lados AB e CD, sendo que apenas a dupla Paula/Guilherme realizou a manipulação da figura construída tanto através do lado inicial quanto do ângulo de rotação. Segue parte do diálogo ocorrido durante esta manipulação:
Professora: - (manipulando a figura) Esse lado é paralelo a esse? Guilherme: - Acho que sim.
Professora: - Por quê?
Guilherme: - Porque eles nunca vão se encontrar.
Percebe-se na fala desta dupla, assim como nas das demais, que as justificativas dadas baseiam-se em aspectos pragmáticos, o que era esperado já que, até o presente momento, as duplas não haviam aprendido as propriedades das retas paralelas.
Aparentemente, as demais duplas não realizaram a manipulação da figura pois não perceberam a necessidade desta pois a atividade orientava para que fosse realizada a construção, deixando claro no enunciado que se tratava de um quadrado, o que foi comprovado visualmente pelos alunos. Manipulando-se a figura através de um de seus vértices seria possível perceber uma robustez aparente, já que a manipulação do ângulo dado permitiria verificar que a construção é mole pois, manipulando o ângulo, o quadrado deixa de apresentar os quatro ângulos internos iguais a 90º transformando-se num losango.
Nesta atividade, a ênfase das observações realizadas ocorreu no nível intrafigural, pois aparentemente, o foco dos alunos encontrou-se apenas na igualdade dos lados do losango e não nos objetos necessários às transformações (ângulo de rotação).
As duplas foram orientadas a dar prosseguimento à atividade, solucionando a segunda parte da mesma onde era oferecida uma tabela contendo afirmações na primeira coluna que deveriam ser relacionadas com as justificativas da segunda coluna que se encontravam desordenadas. Ao final da ordenação, as duplas obtiveram a prova da construção realizada.
Inicialmente, a professora exemplificou como os alunos deveriam proceder durante a resolução da atividade. Para isso, utilizou a afirmação inicial (AB = AD) e relacionou-a com a construção realizada (rotação). Em seguida, a professora orientou as duplas para que procurassem, na segunda coluna, a afirmação que pudesse justificar esta afirmação.
As duplas prosseguiram, relacionando as demais colunas e apresentando grande dificuldade, o que, aparentemente, deve-se à pouca fluência dos alunos com a linguagem matemática. Outra dificuldade percebida refere-se a falta de estabelecimento de relação, pelos alunos, entre a construção realizada e os passos descritos na tabela, o que pode ser interpretado através do fato da construção não ser originalmente elaborada pela dupla mas através dos passos dados. Aparentemente, essa tentativa de direcionar a atividade acabou por tirar o controle dos alunos da execução da construção e prova.
Duas das duplas deste sistema, devido à proximidade física existente, discutiram a atividade em grupo, o que resultou na apresentação da mesma resposta (Figura 5.2).
Ao ser chamada após o término da atividade, a professora limitou-se a verificar se todos os números da primeira coluna haviam sido relacionados às afirmações da segunda, não observando se a ordem era a correta.
Observando a correspondência realizada por estas duplas, percebe-se que a resposta referente às afirmações de números 3 e 4 foram trocadas. Ambas referiam-se ao triângulo isósceles DAB, assim, a afirmação 3 (“∆DAB é isósceles”) foi relacionada com a afirmação “os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais”. Neste caso, a dupla, ao invés de perceber que a justificativa deveria depender apenas das afirmações anteriormente descritas e que, até o momento da afirmação 3, nenhuma relação sobre os ângulos havia sido feita mas apenas sobre os lados, a dupla utilizou seu conhecimento prévio sobre triângulo isósceles
e assinalou esta alternativa1. Por esta razão, uma das últimas frases a ser
relacionada foi a de número 4 já que a afirmação referente a ela já havia sido utilizada anteriormente.
A terceira dupla, apresentou maior dificuldade e precisou de mais tempo para terminar a atividade do que o grupo anterior. A ordem dada à seqüência apresentada por esta dupla foi: 5-8-1-6-2-7-9-3-4. Aparentemente, esta dupla, não conseguiu estabelecer uma relação muito clara entre a construção realizada e as afirmações dadas, parecendo que as alunas desta dupla relacionaram apenas palavras chaves das afirmações e das justificativas e não toda a frase. Após a conclusão da atividade pelos alunos, a professora mostrou na lousa como foi realizada a construção de Marcelo. Em seguida, colou um cartaz com a tabela da Atividade 8 sem preenchimento e iniciou a explicação sobre cada uma das afirmações da primeira coluna e, referindo-se à construção anteriormente realizada, foi ordenando corretamente as colunas da tabela (Figura 5.3).
As duplas quiseram copiar as respostas corretas e foram orientadas para que não alterassem suas respostas mas, se quisessem, colocassem-nas do lado de fora da tabela.
1 As justificativas escolhidas para a prova da Atividade 8 usavam propriedades familiares aos
Figura 5.3: Correção da atividade 8
5.1.1.2. SISTEMA DE APRENDIZAGEM B
As duplas foram orientadas para realizarem a construção dada. Sem dificuldades, as duplas realizaram a mesma, obtendo o quadrado. A professora então questionou as duplas sobre o paralelismo dos lados AB e CD conforme o diálogo abaixo:
Professora: - O lado AB é paralelo ao CD. Cínthia/Flávia: - É.
Professora: - Por quê?
Flávia: - Porque é um quadrado.
Cínthia: - Porque eles nunca vão se encontrar e os dois são retos.
Flávia: - Por exemplo, você pode mudar o que você quiser e eles vão ser sempre paralelos aqui.
Para as duplas deste sistema, assim como do sistema A, há um predomínio dos argumentos pragmáticos em suas justificativas sobre o paralelismo dos lados AB e CD. Um aspecto relevante nesta citação é o destaque dado à manipulação da figura pela dupla, porém, percebe-se que esta dupla, assim como as demais deste sistema, focalizaram-se na manipulação apenas dos vértices da figura e não no ângulo de rotação, que permitiria perceber que a construção realizada era mole. As observações realizadas enfatizam o aspecto intrafigural, focalizando apenas a igualdade das medidas dos lados e dos ângulos internos da figura construída. Seguiram então para a segunda parte da atividade, sendo que a orientação da professora ocorreu de forma semelhante a realizada no sistema anterior. Os alunos apresentaram bastante dificuldade na resolução desta atividade. Estas parecem decorrer de dois pontos principais: o desconhecimento da linguagem matemática e a dificuldade de relacionar a construção com as afirmações dadas. Cada uma das duplas apresentou uma solução diferente para esta atividade sendo as respostas: Pedro/Felipe: 5-1-2-6-4-7-9-3-8 (resposta semelhante a dada por duas duplas no sistema de aprendizagem A); Cínthia/Flávia: 5-1-2-6-3-8-9-4-7 (troca das alternativas 7 e 8); e Lilly/Henrique: 5-1-2-6-4-8-9-3-7 (troca das alternativas 3/4 e 7/8, ou seja, os erros apresentados pelas duplas anteriormente citadas).
O erro da dupla Pedro/Felipe já foi discutido durante a análise dos dados do sistema de aprendizagem A. O erro da dupla Cínthia/Flávia referente à alternativa 7 refere-se à afirmação sobre a igualdade dos lados opostos do quadrado (AB=CD e AD=BC) o que pode ser justificado através da reflexão do triângulo inicial (ABC). A dupla utilizou-se da justificativa da afirmação 8 na qual era utilizada a conclusão da própria alternativa 7, ou seja, os alunos ainda não apropriaram a lógica da prova em que cada observação só pode ser justificada pelas anteriores.
Após todas as duplas terminarem sua atividade, a professora realizou a correção da mesma em um quadro impresso, relacionando cada passo da construção à afirmação correspondente. As duplas realizaram a correção da mesma, utilizando para isso, apenas o espaço externo ao quadro.
5.1.1.3. CONCLUSÃO
Neste primeiro contato das duplas com uma prova matemática, os alunos mostraram muita dificuldade com relação ao uso da linguagem matemática já que não estão acostumados com a mesma. Este fato gerou certa dependência da professora que necessitou, por algumas vezes, esclarecer estas afirmações. Uma segunda dificuldade presente refere-se ao estabelecimento de relações entre a construção realizada e as justificativas apresentadas, ou seja, nem sempre os alunos conseguiram relacionar cada um dos passos da construção a uma das afirmações e conseqüentemente, à justificativa dada.
Apesar destas dificuldades, a resposta final apresentada pelas duplas (com exceção de Ana/Letícia) apresentou poucos erros, sendo que a maioria das duplas (quatro), apenas trocou duas das alternativas dadas, o que pode levar a interpretação de que os alunos estão começando a apropriar-se do discurso de prova.