As questões, apresentadas no Capítulo 2, e que foram investigadas neste trabalho serão discutidas neste tópico.
♣ Em que medida os alunos conseguem desenvolver estratégias envolvendo os campos de ação e percepção (pragmáticos) com o campo teórico (conceitual)? Através deste estudo, pôde-se perceber que o desenvolvimento de estratégias envolvendo um balanço apropriado entre os campos, pragmático e conceitual, pelos alunos é muito difícil. A alternativa escolhida para este trabalho – o uso das transformações geométricas – não foi suficiente para a resolução deste problema, pois em vários momentos, o foco dos alunos permaneceu no campo pragmático. Porém, é importante ressaltar que os resultados obtidos nesta pesquisa sugerem que o processo de aprendizagem da prova não envolve apenas o ato de deixar o campo pragmático em favor do conceitual, mas sim, de um movimento contínuo
entre ambos. Um exemplo da importância de ambos os campos, ocorrido neste experimento, aconteceu quando os alunos deixaram de lado a construção realizada, não realizando conexões entre esta e sua prova, fato que teve como conseqüência a elaboração de uma prova onde as justificativas apresentavam sentido apenas localmente e não globalmente. A abordagem conjunta entre o processo de construção da figura no Cabri e sua respectiva prova envolveria os alunos na percepção de que cada construção realizada corresponde a uma justificativa de sua prova.
O Cabri-Géomètre auxiliou no movimento empírico/conceitual à medida que os alunos perceberam a generalidade de suas construções, motivados pelo dinamismo do software, o que os levou a abordar as figuras não como um objeto específico mas como uma figura geral. Isso foi mais evidente na fase de exploração e no levantamento das propriedades das transformações do que no momento de formulação das provas.
Um aspecto enfatizado nos enunciados das atividades foi a necessidade da realização de construções robustas, o que, em algumas atividades, os alunos tiveram dificuldades em elaborar. Nestes casos, percebeu-se que mais importante do que o fato da construção realizada ser robusta é o tratamento dado pelos alunos a esta construção que, graças ao dinamismo do Cabri, favorece o tratamento dado à figura como o de um representante da classe a que pertence. Outra conseqüência do uso do software foi o uso das transformações geométricas na elaboração de justificativas sobre a congruência entre o segmento original e sua imagem. Tal propriedade foi levantada pelos alunos e apropriada por eles, sendo utilizada com freqüência na construção das provas.
Sobre a conjectura abordando a possibilidade do uso das transformações como ferramentas para a prova privilegiasse a transição entre as abordagens intra e interfigurais, pode-se concluir que, embora durante as fases correspondentes à exploração e ao início da fase dedutiva, ambas as abordagens estivessem presentes, durante a prova, a ênfase ocorreu apenas nos aspectos intrafigurais. Este fato pode ser interpretado como confirmação da relação hierárquica entre as abordagens intra e interfigurais proposta por Piaget & Garcia, ou por outro lado,
como resultado da escolha dos quadriláteros nas atividades que envolveram a prova, pois a abordagem escolar deste tema envolve principalmente os aspectos intrafigurais tais como congruência entre lados e ângulos.
♣ Quais são as características das atividades que favorecem esse movimento? Para favorecer o movimento entre o pragmático e o conceitual, as atividades devem possibilitar a mudança de foco entre figuras como casos específicos e representações gerais e entre as abordagens intrafigural e interfigural. A primeira mudança - entre figuras como caso específico e representações gerais - foi conseguida neste estudo através do uso do dinamismo do software, que facilitou este novo foco. Porém, não foi fácil conseguir uma abordagem que permitisse o movimento intra-inter, talvez porque a experiência dos alunos na geometria
escolar apresenta-se focada nos aspectos intrafigurais.
Uma segunda característica, que os resultados deste estudo sugerem, está relacionada ao modelo de Geometria escolhido como referência. Neste estudo, pretendeu-se utilizar um modelo no qual as propriedades incorporadas nas ferramentas de isometrias do Cabri-Géomètre fossem consideradas como ponto de partida para as provas, ou seja, como primitivas geométricas do sistema a ser construído. Entretanto, nas atividades foram realizadas referências a “fatos” da Geometria Euclidiana familiares aos aprendizes. Por exemplo, a prova dada como modelo, apesar de utilizar propriedades das transformações, não se restringiu apenas a estas, importando fatos conhecidos dos alunos como a soma dos ângulos internos de triângulos em suas justificativas. Acredita-se que isso possa ter contribuído para a falta de clareza de alguns dos participantes sobre, exatamente, quais propriedades podem ser usadas como justificativas em suas próprias provas. Portanto, talvez fosse possível obter maior sucesso nas atividades, caso estas fossem estruturadas de forma a evitar referências a outras experiências com objetos geométricos fora do sistema que está sendo construído. Os resultados obtidos também indicaram a importância da existência de um balanço apropriado entre a construção guiada e as construções a serem feitas pelos aprendizes. Devido à experiência limitada com o Cabri, as construções guiadas foram introduzidas em vários momentos deste estudo porém, nem sempre com o êxito esperado. Particularmente, nas atividades de formulação de
provas, a inclusão de construções guiadas pode ter sido um fator dificultador para o progresso dos alunos, por encorajar a tendência de não estabelecer conexões entre construção e prova.
Nas provas elaboradas pelos alunos, percebeu-se a incorporação de alguns dos fatos levantados nos primeiros conjuntos de atividades. Porém, percebe-se que alguns destes foram apropriados mais facilmente (como o caso da congruência do segmento original e sua imagem) do que outros (como por exemplo, o perpendicularismo ente o segmento original e sua imagem criada através da rotação de 90º ). Novamente, parece que os fatos que enfatizam aspectos intrafigurais são apropriados mais facilmente do que aqueles que enfatizam aspectos interfigurais.
A prova dada como exemplo mostrou-se relevante à medida que foi possível observar a necessidade de que cada afirmação realizada necessita de uma justificativa e, ao mesmo tempo, que esta deve derivar da anterior, para que a prova tenha organização lógica em suas afirmações. Porém, o exemplo apresentou uma prova que, para um primeiro contato dos alunos com o tema, mostrou-se bastante complexa. Uma das formas para minimizar este problema seria o uso de construções que exigissem menos passos, o que conseqüentemente, resultaria em provas menos complexas.
Em relação às dificuldades associadas às escolhas realizadas no design das atividades, sugere-se uma possível alteração no segundo conjunto, cujo foco concentrou-se nas propriedades baseadas nas noções intuitivas sobre paralelismo e perpendicularismo. Ao invés de introduzir aos alunos, construções guiadas envolvendo as ferramentas do Cabri, os alunos poderiam ser encorajados a usar as ferramentas de isometria para construir, segundo eles próprios, objetos paralelos e perpendiculares. Por exemplo, a atividade poderia enfocar a construção de duas retas paralelas usando apenas as transformações geométricas (conforme ilustra a Figura 6.1).
Figura 6.1: Exemplo sobre a construção de duas retas paralelas
Neste caso, uma das formas de realizar a construção seria através da translação da reta inicial. Os alunos poderiam observar que a distância entre um ponto da reta original e sua respectiva imagem é sempre igual ao tamanho do vetor – propriedade esta que foi levantada durante o primeiro conjunto de atividades. Atividades deste tipo poderiam servir como introdução dos alunos a prova através de modelos menos complexos.