O Rafael é um aluno com 15 anos, apresentando-se normalmente ansioso e distraído. São poucos os momentos em que parece prestar realmente atenção à aula, coincidindo normalmente com a explicação inicial de um novo conteúdo. É um aluno muito perspicaz e é um dos melhores alunos da turma. A sua dificuldade de concentração prende-se com o facto de possuir uma capacidade de aprendizagem superior à média da turma, perdendo o interesse na aula nos momentos em que, a pedido dos colegas, a professora procede à repetição da explicação do conteúdo lecionado. O Rafael terminou o 3.º ciclo com nível 5 à disciplina, situando-se no nível 4 no Exame Nacional. Gosta muito de matemática, apresentando preferência pelo conteúdo de funções em detrimento de conteúdos geométricos, segundo ele, os mais fáceis. No final do 1.º período obteve a classificação de 17 valores na disciplina de matemática tendo registado uma subida em ambas as avaliações escritas do 2.º período em que obteve 20 e 19 respetivamente na ficha e no teste de avaliação.
5.4.5.1 Conhecimento Empírico de Algumas Noções em Matemática
No preenchimento do questionário o Rafael acertou na correspondência de axioma, tal como podemos observar na figura 5.21.
Para este aluno definição matemática são “verdades que mesmo sendo muito óbvias carecem de explicação” e teorema é uma “frase explicativa sobre determinado conceito”. Para demonstração matemática optou por “processo pelo qual se confirma determinada afirmação para uma quantidade razoável de casos e depois se generaliza”.
Durante a entrevista (pré – sessão) definiu oralmente demonstração matemática da seguinte forma: “temos um certo valor e através do cálculo queremos saber como chegar ao valor”, exemplificando que conhecendo um zero de uma função podemos demonstrar essa correspondência. Para este aluno a demonstração matemática pode aplicar-se a um único caso, notando-se alguma confusão com as tarefas do tipo “mostre que…”.
52 I - Em relação à definição de demonstração matemática… na tua opinião se provarmos que vinte funções afim têm um único zero, parece-te que podemos afirmar o mesmo para todas as funções afim? Como posso ter a certeza que se aplica a todas as funções afim? A - Não pode. Depende da forma. No caso da função afim existe a função constante e a função em que o b é zero.
I - Peguemos num desses casos, por exemplo 𝑦 = 𝑚𝑥. Se provarmos aquela afirmação para 20 funções deste tipo, com declives diferentes, parece-te que podemos aplicar a conclusão para todas as funções dessa forma?
A - Sim…
O aluno manifestou claramente não ter uma noção empírica de teorema nem de definição em matemática. Para a noção de teorema optou por “processo pelo qual se confirma determinada afirmação para uma quantidade razoável de casos particulares e depois se generaliza”. De salientar que ao ser- lhe solicitado a noção geral de definição disse que “é uma frase que explica determinada coisa”, mas não conseguiu associar esse conceito a definição em matemática.
Figura 5. 21 – Questionário do Rafael
5.4.5.2 Tarefa 1
O Rafael optou por iniciar a sessão de trabalho pela tarefa de cariz geométrico porque é o conteúdo de que gosta menos. Depois de ler o enunciado procedeu à resolução sem apresentar qualquer sentimento de estranheza em relação à natureza da tarefa, começando por desenhar um retângulo atribuindo aos lados a designação de “a” e “b”, identificando os segmentos de reta que correspondiam às diagonais e calculando a hipotenusa (figura 5.22). O registo escrito não especifica de forma clara o raciocínio do aluno, favorecendo diversas interpretações, parecendo por um lado que o aluno aplicou o Teorema de Pitágoras para apenas uma das diagonais, por outro lado, que utilizou o mesmo cateto “a” para o cálculo de ambas as diagonais do retângulo.
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Figura 5. 22 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo Rafael na tarefa 1
De seguida perguntou se podia escolher valores. Questionado sobre o motivo que o levou a começar por um caso geral e depois particularizar respondeu que “era para provar mesmo” (Figura 5.23).
Figura 5. 23 – Caso concreto desenvolvido pelo Rafael da tarefa 1
Em resposta à solicitação da investigadora, o aluno procedeu à generalização da forma de cálculo que utilizou para o caso particular, com fluidez de raciocínio e sem apresentar dificuldade. (figura 5.24).
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Figura 5. 24 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo Rafael na tarefa 1
5.4.5.3 Tarefa 2
O aluno desenvolveu esta tarefa facilmente e de forma metódica sem necessitar de proceder a uma analogia com um caso prático, como podemos observar na figura 5.25. Quando se deparou com a condição 𝑥 = 0 ⋁ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, hesitou. Alertado para o facto de faltar o cálculo de um dos zeros, procedeu ao seu cálculo.
O Rafael realizou esta tarefa de forma fluida em poucos minutos. I - Foi difícil?
A - Não. Mas parti do princípio que a função só tinha um zero, por isso é que parei quando cheguei a x=0.
I -Mas conseguiste desenvolver as contas sem números… A – Sim.
I – De entre as duas primeiras tarefas qual a que achaste mais fácil? A - A primeira. É por isso que não gosto de Geometria. É fácil.
Figura 5. 25 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo Rafael na tarefa 2
5.4.5.4 Tarefa 3
55 Perante a sugestão de pensar na definição de paralelogramo, respondeu que os lados opostos e os ângulos opostos são iguais, acrescentando que estava a pensar na hipotenusa… mas não tinha um triângulo retângulo.
Após alguns momentos em silêncio, o Rafael percebeu que utilizando os critérios de semelhança de triângulos conseguia provar que os triângulos FBG e EHD eram semelhantes. O Aluno seguiu um raciocínio lógico e coerente registando que como [AD] = [BC] então os pontos G e E pertencem à mesma reta, concluindo que [BG] = [ED], prosseguindo em raciocínio análogo para provar que [FB] = [HD]. Curiosamente para provar que [GH] = [FE] optou por outro método, seguindo a sugestão do enunciado e utilizando a proporcionalidade entre os triângulos GCH e BCD, como podemos observar na figura 5.26. Quando anotava na folha de trabalho a resolução da tarefa o Rafael exclamou: “Que forma esquisita de escrever isto… não sei como se explica… pode ser intuitivamente… também não é preciso escrever muito…”.
Figura 5. 26 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo Rafael na tarefa 3
Salientamos ainda o esforço que o aluno desenvolveu, dispensando a explicação por extenso no registo do seu raciocínio, todavia na expressão 𝐺 =𝐵𝐶
2, o aluno apesar de considerar que G é o ponto médio de [BC], apresenta uma evidente imprecisão no respetivo registo.
5.4.5.5 Comentário Final
O Rafael realizou facilmente as duas primeiras tarefas em menos de 25 minutos, apresentando uma capacidade de abstração considerável.
De salientar que este aluno começou a primeira tarefa pelo caso geral, terminando-a em poucos minutos. No entanto, não resistiu à sensação de que “faltava alguma coisa” e particularizou com o objetivo de “provar mesmo”.
Apesar de considerar a terceira tarefa menos óbvia e mais trabalhosa, realizou-a facilmente elaborando diversas estratégias até encontrar a que lhe permitia resolver o problema.
I - Já tinhas feito tarefas deste género?
A - Sim. A estudar para os testes. Por exemplo, prove que a equação da parábola é tal. Eu costumo usar casos particulares e depois generalizo.
I - Gostavas que esta área da matemática fosse lecionada nas aulas?
A - Por vezes as aulas tornam-se secantes porque é sempre a repetir a mesma coisa e às vezes os professores complicam muito… é por isso que eu me distraio um pouco… I - Achas que seria mais complicado?
56 I - Das três tarefas qual a mais difícil?
A - A última!
I - Porquê? Estavas esquecido desse conteúdo?
A - Não é por isso. É que estou habituado a usar coisas mais intuitivas. E isto não se faz todos os dias. Gosto mais de Álgebra.
I - Já tinhas feito deste género? A – Não.
I - Achas que os conhecimentos que tens adquirido ajudam neste tipo de tarefas? A - Ajudam sempre. Não quer dizer que fazem com que consiga fazer logo isto… I - Conseguirias fazer alguma destas tarefas sozinho?
A - Sim. Agora sei como se faz!
O Rafael mostrou ter os conhecimentos teóricos e práticos e o nível de abstração necessários à realização das tarefas. Durante a sessão de trabalho mostrou-se calmo e interessado realizando as tarefas de forma metódica.