A Cristina tem 15 anos e é uma aluna excelente. É atenta, organizada e dedica muitas horas de estudo à disciplina. Gosta muito de Matemática, mas não especialmente de Funções, preferindo Geometria. Em contexto de sala de aula não é muito participativa, mas regista a totalidade da aula no caderno diário e faz sempre os trabalhos de casa. Manifesta preferência pelas explicações teóricas tendo o cuidado de desenvolver a notação correta nos apontamentos durante as aulas. Para esta aluna é muito importante perceber a explicação teórica dos conteúdos, pois desta forma consegue realizar as tarefas concretas sem dificuldade. Em paralelo com exercícios particulares, a Cristina desenvolve algumas vezes, por iniciativa própria, o correspondente cálculo genérico. No fim do 3.º ciclo do Ensino Básico obteve nível 5 a Matemática, classificação que manteve no Exame Nacional. No final do 1.º período do corrente ano- letivo conseguiu a classificação de 19 valores à disciplina, classificação que manteve nas duas primeiras avaliações escritas do 2.º período.
5.4.6.1 Conhecimento Empírico de Algumas Noções em Matemática
No preenchimento do questionário a aluna escolheu a opção correta para as noções de definição e teorema, tal como podemos observar na figura 5.27.
Relativamente à noção de axioma optou pela correspondência com “processo pelo qual se prova determinada afirmação” e para demonstração matemática escolheu “processo pelo qual se confirma determinada afirmação para uma quantidade razoável de casos particulares e depois se generaliza”. Na entrevista (pré – sessão) explicou que escolheu aquela correspondência porque, considerando um exercício específico “a forma como fazemos também é válida para todos os exercícios do género”. Relativamente à noção de axioma a Cristina pela correspondência correta.
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Figura 5. 27 – Questionário da Cristina
5.4.6.2 Tarefa 1
A aluna optou por iniciar a sessão de trabalho com a tarefa de natureza geométrica, seguindo a sugestão do enunciado. Desenhou o retângulo no eixo ortonormado e atribuiu letras aos vértices, perguntando se deveria fazer cálculos. Perante o silêncio da investigadora, a Cristina atribuiu os valores quatro ao comprimento e dois à largura do retângulo, perguntando novamente se deveria fazer cálculos. Perante um novo momento de silêncio por parte da investigadora, a aluna decidiu resolver a tarefa para o caso concreto. Ao determinar o comprimento das diagonais do retângulo e provando a igualdade das mesmas, através do Teorema de Pitágoras (figura 5.28), a Cristina hesitou por não saber se tinha concluído a tarefa, mostrando não ter percebido a natureza da mesma.
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Figura 5. 28 – Caso concreto desenvolvido pela Cristina na tarefa 1
Para desbloquear a situação, a investigadora optou por manifestar que o cálculo era válido para aquele retângulo em particular, sendo o objetivo demonstrar que a afirmação do enunciado aplica-se a todos os retângulos.
Ao perceber a natureza da tarefa, a Cristina conseguiu abstrair-se de casos concretos e dividiu o retângulo em dois triângulos, reconhecendo a congruência entre eles pelo critério LAL. De seguida registou por escrito o raciocínio que tinha verbalizado, mas por extenso e sem qualquer indício de condições matemáticas, tal como podemos observar na figura 5.29.
Figura 5. 29 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pela Cristina na tarefa 1
A Cristina utilizou estratégias diferentes para a resolução do exemplo prático e do caso teórico, tendo recorrido na primeira situação ao cálculo da norma do segmento de reta da diagonal do retângulo e no caso geral optando pela utilização dos critérios de semelhança/congruência de triângulos.
59 Na entrevista (durante a sessão) manifestou preferência pela resolução genérica, em detrimento do caso particular.
I – O raciocínio que desenvolveste para o caso particular e para o caso geral foi diferente. Foi mais difícil no caso geral?
A - Não. Foi mais fácil.
I - Mas não tinhas números…
A - … o que permitiu aplicar logo os critérios.
5.4.6.3 Tarefa 2
A primeira reação da Cristina ao ler o enunciado foi de hesitação, ficando pensativa por vários minutos. De seguida, tentou interpretar a sugestão verbalizando que “antes fazia de forma diferente, mas não me lembro como”. Permaneceu pensativa mais uns minutos, mostrando muita dificuldade em iniciar a tarefa. À semelhança da primeira tarefa tentou evitar o raciocínio abstrato, optando por recordar um exemplo em que calculava a abcissa do vértice da parábola através da semissoma dos zeros da função. Não conseguindo, mudou de estratégia procedendo à representação dos zeros de uma parábola (sem considerar a função apesentada no enunciado) e relacionando-os com o eixo de simetria, tal como podemos observar na figura 5.30. Estratégia que também se revelou infrutífera.
Figura 5. 30 – Representação da parábola da Cristina na tarefa 2
A Cristina continuou a manifestar muita dificuldade na realização da tarefa, não conseguindo encontrar uma estratégia para resolvê-la.
A investigadora optou por explicar a sugestão da tarefa, levando a aluna a iniciar o cálculo dos zeros da função para o caso genérico, mas perante a persistência de dificuldades sugeriu que a tarefa fosse iniciada com um caso concreto. A Cristina calculou facilmente os zeros e por analogia determinou os zeros para o caso geral, como podemos observar na figura 5.31.
Depois de terminar a tarefa a Cristina continuava reticente, não conseguindo perceber se estaria ou não concluída. O cálculo algébrico afigurou-se confuso para esta aluna, eventualmente devido à sua tendência para a mecanização.
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Figura 5. 31 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pela Cristina na tarefa 2
5.4.6.4 Comentário Final
Durante a sessão de trabalho a Cristina apresentou uma forte resistência ao desenvolvimento do raciocínio abstrato. Oralmente manifestou preferência pelo cálculo algébrico, mas durante a resolução das tarefas demonstrou mais facilidade no cálculo numérico.
Sendo uma aluna que dedica muitas horas de estudo à disciplina de matemática, conseguindo obter bons resultados, parece recorrer diversas vezes à memorização e mecanização dos conteúdos, em detrimento do desenvolvimento do raciocínio teórico-prático que caracteriza a disciplina. Para a Cristina a necessidade de generalização prende-se com a possibilidade de escrever os exemplos do “mesmo género de uma única forma”.
I – Na tua opinião porque é importante generalizar?
A - Porque os exercícios são diferentes, mas fazem-se sempre da mesma forma. Por isso quando tenho dúvidas vou ver a forma genérica em vez de ver outros exercícios já feitos. I - Referiste a fórmula genérica, não como se chega a essa fórmula…
A - Depende. Por vezes faço com a fórmula toda escrita. Uma vez estava na aula e estava a fazer com números e também com letras.
I - Estás a dizer que sentiste a necessidade de saber como funciona?
A - A professora por vezes faz primeiro com números e depois com letras. Parece-me mais fácil ter primeiro o caso geral e depois exemplos por baixo.
A aluna manifestou preferência pela tarefa de natureza algébrica porque “deu mais trabalho”, achando a primeira tarefa “mais fácil”.
I - Qual das duas tarefas preferiste?
A - Gostei mais da segunda porque deu mais trabalho. A primeira é mais fácil, estamos mais habituados, mas a segunda não foi assim tão complicada…
I - Alguma vez já tinhas feito este tipo de tarefas? A - Não.
I - Conseguias fazer sozinha?
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