A Elita tem 15 anos. É uma aluna sossegada, tímida e pouco participativa em ambiente de sala de aula, embora esteja atenta, registe os conteúdos no caderno diário e faz sempre os trabalhos de casa. No fim
38 do 3.º ciclo obteve nível 5 na disciplina de Matemática, baixando um nível na classificação do Exame Nacional. A aluna não regista qualquer retenção no percurso escolar.
O seu gosto pela disciplina de matemática varia de acordo com os conteúdos, sendo o preferido Geometria. No final do 1.º período do 10.º ano obteve uma classificação de 17 valores à disciplina, tendo registado uma descida nas avaliações escritas do 2.º período, em que obteve a avaliação de 14 valores. Sendo uma aluna pouco participativa foi difícil observar o desenvolvimento do seu raciocínio em matemática no decorrer das aulas. No entanto registámos que nas aulas práticas realizou as tarefas selecionadas pela professora da turma, sem aparente dificuldade.
5.4.2.1 Conhecimento Empírico de Algumas Noções em Matemática
No momento de preencher o questionário a Elita não conseguiu escolher a correspondência correta das noções apresentadas, tal como podemos observar na figura 5.7.
Em relação a definição matemática a aluna optou pela correspondência com a opção “algo que tem que ser demonstrado de uma forma lógica e coerente”, deixando antever uma falta de conhecimento do significado da palavra que ultrapassa o âmbito da disciplina.
A aluna define teorema como um “processo pelo qual se prova determinada afirmação”, deixando antever uma confusão entre teorema e demonstração matemática. Para demonstração matemática a Elita optou pela correspondência com “o processo pelo qual se confirma determinada afirmação para uma quantidade razoável de casos particulares e depois se generaliza” e entendeu que axioma é uma “verdade que mesmo sendo muito óbvia carece de explicação”.
Na entrevista (pré sessão) quando questionada oralmente acertou em todas as correspondências, exceto na noção de teorema continuando a apresentar dificuldade em distinguir teorema de processo demonstrativo apesar de, em sua opinião, “sobre o teorema já ouvimos falar muito, mas não demos a definição”.
A forma como a questão foi estruturada pode ter dificultado as escolhas da aluna devido a dificuldades de interpretação, pois a prestação oral foi significativamente melhor. Na opção escrita não escolheu as correspondências corretas, mas na entrevista pré – sessão de trabalho, acertou em três das quatro noções apresentadas.
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Figura 5. 7 – Questionário da Elita
5.4.2.2 Tarefa 1
A Elita iniciou a tarefa atribuindo o valor 4 ao comprimento e o valor 2 à largura do retângulo. Ao ser questionada sobre o objetivo da tarefa, respondeu “então posso tirar os números?” deixando antever que percebia a natureza da tarefa.
I- Nesse caso vais confirmar a afirmação para esse retângulo em concreto, não para todos os retângulos.
A- Ah! Pois. Então posso tirar os números? É mais fácil para nós com números. Estamos mais habituados.
Aceitou a sugestão de atribuir coordenadas aos vértices da figura geométrica, mas fê-lo de acordo com as medidas que tinha inicialmente atribuído aos lados do retângulo. Quando substituiu os pares ordenados em concreto por pares ordenados genéricos conseguiu resolver a tarefa de forma autónoma e sem hesitações, determinando genericamente as coordenadas dos vértices do retângulo e identificando que pretendia provar que [OB]=[CA], tal como observamos na figura 5.8.
A dificuldade da Elita prendeu-se com a falta de conceitos básicos como a norma de um vetor ou o cálculo da distância entre dois pontos. Ao serem fornecidos estes elementos, realizou a tarefa de forma fluida calculando as normas de [OB] e de [CA] e concluindo oralmente que as medidas eram iguais, apresentando a resposta escrita de forma metódica (figura 5.8).
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Figura 5. 8 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pela Elita na tarefa 1
5.2.2.3 Tarefa 2
A Elita começou por desenhar uma parábola do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2, 𝑎 ≠ 0, no referencial cartesiano, hesitando na comparação com a expressão do enunciado 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 𝑎, 𝑏 ≠ 0.
I - Tens a certeza que essa parábola corresponde à expressao do enunciado?
A - Hmm…
I - Queres comecar por um caso concreto?
A - Hmm…
I - Quantos zeros diferentes tem 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥? A - Acho que tem dois…
I - E 𝑦 = 𝑎𝑥2? A - Só tem um…
I - Tem um zero duplo…
Perante a continuidade na hesitação da aluna, a investigadora propôs a resolução de um exemplo, como forma de desbloqueio da situação. Após a conclusão do caso concreto, a Elita concluiu, por analogia, que 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 também tinha dois zeros diferentes e que o gráfico que desenhou no inicio da sessão de trabalho não correspondia à expressão analítica do enunciado.
41 A aluna mostrou-se hesitante no cálculo dos zeros da função do exemplo fornecido. Mas ao determiná- los, conseguiu por analogia e sem dificuldade calcular os zeros para o caso geral, chegando ao resultado 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = −𝑏𝑎 (Figura 5. 9)
Figura 5. 9 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pela Elita na tarefa 2
No cálculo da semissoma dos zeros da função, a Elita optou por dar continuidade à resolução do exemplo prático, enunciando a operação sem dificuldade. Mas ao tentar a analogia com o caso geral, voltou a hesitar, apresentado dificuldade em proceder ao cálculo de −𝑏𝑎
2 (figura 5.10).
Figura 5. 10 – Continuação do registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pela Elita na tarefa 2
A Elita mostrou-se muito curiosa e interessada nas tarefas, manifestando vontade de conhecer a sua utilidade, defendendo que as dificuldades que sentiu prenderam-se com o facto de não ser habitual desempenhar tarefas deste género.
42 Não são tarefas concretas, mas se estivéssemos mais habituados achariamos que era mais concreto. Foi como aquele teste em que a professora escreveu uma equação do 2.º grau só que em vez de “x” tinha “a” e então baralhámo-nos. É mais ou menos a mesma coisa.
A aluna mostrou preferência pela tarefa de natureza algébrica justificando que “sendo algo que utilizamos constantemente (nas aulas), nunca tínhamos pensado porquê”. No entanto, não abdica de exemplos concretos, quer pela maior facilidade de resolução, quer como base de analogia para o exemplo genérico.
I - Para realizares a tarefa ajudou-te teres um caso concreto ao lado? A - Sim… para ir vendo…
I - Alguma vez tinhas feito este tipo de tarefa? A - Não.
I - Achas que agora eras capaz de fazer sozinha? A - Sim, agora tinha mais facilidade.
5.2.2.4 Comentário Final
A Elita mostrou dificuldade em interpretar as frases explicativas das noções matemáticas apresentadas, mas oralmente identificou as correspondências corretas, exceto em relação à definição de teorema. Na primeira tarefa começou por atribuir valores ao comprimento e largura do retângulo, mas conseguiu realizá-la de forma autónoma, sem precisar de desenvolver o caso concreto.
As dificuldades desta aluna prenderam-se com a não consolidação dos conceitos necessários para a realização da tarefa, como o cálculo da norma e da distância entre dois pontos.
No início da segunda tarefa mostrou-se mais confiante. No entanto, à medida que procedeu aos cálculos, exprimiu as dificuldades já sentidas aquando da realização da primeira tarefa devido à falta de consolidação dos conteúdos, mostrando-se hesitante no cálculo de −𝑏𝑎
2. Mais uma vez, a dificuldade não se deveu ao facto de estar a trabalhar com um caso genérico, pois também teve dificuldade em calcular
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2.
A curiosidade e o interesse manifestados por esta aluna, durante a sessão de aproximadamente 50 minutos, deixam antever uma motivação pelo conhecimento e um desejo de entender a génese da matemática.