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Para Pais (2008) a transposição didática pode ser analisada tendo como base três saberes: o saber científico, o saber a ensinar e o saber ensinado.
Para CHEVALLARD (1991), as distinções entre os saberes devem considerar a existência de um “saber científico” (ou “saber sábio”), ligado às atividades acadêmicas e de origem nos temas trabalhados em âmbito universitário e espaços correlatos, como núcleos de pesquisa, por exemplo. Este ponto de vista é corroborado por Oliveira (2009), o qual menciona a distância entre este saber, formal e laudatório, daquele contido nos programas escolares fundamentais.
O mesmo autor salienta que o saber sábio não é adequado, em sua forma original, ao processo de ensino-aprendizagem desenvolvido na escola. Assim, CHEVALLARD (1991 apud OLIVEIRA, 2009) destaca a existência de um “saber a ensinar”, que é ligado a uma abordagem didática, e a finalidade é de organizar pedagogicamente e apresentar aos estudantes determinado saber. Ainda é destacada a existência do “saber ensinado”, que é aquele que tem lugar na sala de aula e demais ambientes de ensino-aprendizagem, representando o trabalho didático efetivamente constituído no cotidiano escolar. O saber ensinado é resultado da atuação do professor em relação aos grupos de alunos com os quais trabalha em suas aulas, no âmbito de um determinado sistema didático.
Nesta lógica, Oliveira (2009) destaca que, em termos ideais, este tipo de saber tem por base imediata o saber a ensinar, contido nos programas curriculares, e como referência o saber sábio, mas é permeado pela prática docente e suas especificidades. Não é um saber independente e apartado das instâncias formais de constituição do conhecimento matemático, tendo com ele ligações que devem ser de toda forma identificáveis, ainda que tenha sofrido, no
processo, transformações adaptativas singulares. De modo que o mesmo possa transformar-se em tema de ensino em níveis escolares básicos, por exemplo.
Da mesma forma, Pais (2008) afirma que a transposição didática visa estudar o processo da prática educativa, o qual ocorre por intermédio de influências que envolvem segmentos diferenciados do sistema educacional. Ainda salienta que essas ideias são apresentadas por Chevallard (1991) já em uma das primeiras definições formais:
Um conteúdo do saber, tendo sido indicado como saber a ensinar, sofre, desde então, um conjunto de transformações adaptativas que permitem que o mesmo esteja apto a tomar lugar entre os objetos de ensino. O trabalho de verter um objeto de saber a ensinar em objeto de ensino é chamado de transposição didática (CHEVALLARD, 1991, p. 39 apud PAIS, 2008).
Uma série de pesquisas na área de Educação Matemática vem sendo feitas utilizando a lógica da transposição didática, como por exemplo, as mencionadas nos parágrafos seguintes.
O trabalho de Chiummo (1998) fundamenta-se em áreas de figuras planas e é embasado nos estudos de transposição didática, história e epistemologia. Tal investigação foi fundamentada em Brousseau (1987), no que diz respeito aos obstáculos epistemológicos e didáticos3. Para a abordagem de tais assuntos, tomou a definição de contrato didático feito por Henry (1991). Para transformar o tipo de contrato didático adotado pelos professores em relação aos alunos, foi elaborada uma sequência didática embasada na transposição didática, ou seja, no trabalho de Chevallard (1991). A autora deteve-se na tríade dos saberes: sábio, a ensinar e ensinado, utilizando-se, também, de conceitos desenvolvidos por Douady (1987), como a dialética “ferramenta-objeto” e o “jogo de quadros”. A metodologia apresentada, com base na engenharia didática, foi constituída de quatro etapas: análises prévias, concepção e análise a priori da sequência didática, experimentação e análise a posteriori (em conjunto com a validação). Os sujeitos foram divididos em dois grupos, sendo sessenta e seis alunos de 6ª série ____________
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Segundo Almouloud (2007), obstáculos epistemológicos são aqueles que possuem rejeição explícita no saber ensinado/ aprendido, os quais podem ser identificados nas dificuldades que encontram na utilização dos conceitos ou na compreensão dos mesmos. Obstáculos didáticos são aqueles que parecem depender de apenas uma escolha e são provocados por uma transposição didática.
do Ensino Fundamental de uma escola municipal (pré-teste) em um e vinte e cinco professores de escolas estaduais e municipais (sequência didática) em outro. O objetivo do pré-teste foi estabelecer, por intermédio das concepções dos alunos, por quais formas o ensino de área e perímetro se desenvolveu, se por fórmulas, ladrilhamento ou recorte, bem como verificar quais obstáculos surgiram em função do ensino adotado pelos professores. Ao término da aplicação do pré- teste, pode-se constatar que os alunos resolveram as questões por fórmulas e por essa razão não conseguiram responder todas elas, o que se verificou um obstáculo didático. Em função disto, houve a elaboração da sequência didática para um aperfeiçoamento dos professores. A sequência trazia o assunto em questão (área e perímetro) de maneira a utilizar várias técnicas, como pontilhado, ladrilhamento, composição e decomposição, a fim de mostrar a necessidade de fórmulas para o aluno. O que se verificou com a sequência em relação aos professores foi que os mais resistentes às técnicas apresentadas são aqueles que possuem apenas o magistério, enquanto que os professores menos tradicionais trabalham as concepções espontâneas dos alunos. Em seguida, houve uma verificação da autora em relação àqueles que aplicaram a sequência em suas aulas, o que redundou em acentuado êxito da parte dos professores aplicadores.
Gouvêa (1998) propôs uma reflexão didática junto aos professores do ensino fundamental sobre o ensino da Geometria envolvendo demonstração. Tais professores eram da Escola Novo Rumo de Taubaté (SP). A reflexão teve o propósito de instigar a restauração do conceito de demonstração e rigor matemático. O trabalho foi fundamentado em Brousseau (1987), Chevallard (1991), Arsac (1989), Douady (1987), Duval (1988) e Piaget (1967). Do primeiro autor citado, aproveitou o conceito de contrato didático4 e suas rupturas,
englobando ainda as situações didáticas e adidáticas5, bem como os conceitos de
obstáculos. De Piaget, se ateve à teoria da equilibração, a qual defende que o aluno constrói seu saber por intermédio da interação com o meio. Envolveu a transposição didática de Chevallard e se deteve ao saber a ensinar. O saber ____________
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Segundo Silva (2008), o contrato didático é o conjunto das cláusulas que estabelecem relações entre professores e alunos, mantendo o saber.
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Segundo Almouloud (2007), uma situação didática é o conjunto de relações estabelecidas entre um aluno ou grupo de alunos, um certo milieu e um sistema educativo para que os alunos constituam um saber. Situação adidática acontece quando o professor elabora uma estratégia ou sequência didática sem que a intenção de ensino seja revelada ao aprendiz.
enfocado por Gouvêa (1998) salientou o tempo de vivência escolar do professor e do aluno no processo de ensino-aprendizagem. A metodologia adotada na pesquisa foi dividida em quatro fases em uma sequência didática que se inseriu na perspectiva teórica dos temas supracitados. A fase um envolveu análises preliminares, as quais foram constituídas por estudo histórico e epistemológico da demonstração, análise da proposta curricular vigente, de alguns livros didáticos e concepções dos professores. Depois de tais análises, nasceu a problemática e as hipóteses do trabalho. A fase dois foi constituída pela elaboração da sequência didática e a análise a priori. A fase três foi a experimentação, ou seja, a aplicação da sequência didática. Nesta aplicação, foi observada a execução das atividades, bem como a discussão do procedimento com esclarecimentos a respeito do conteúdo. A fase quatro foi constituída pela análise a posteriori e validação, na qual se analisou a produção dos professores embasada nas atividades e discussões. A validação foi dada pela comparação das análises a priori e posteriori. O autor em foco salienta que sua proposta era a de proporcionar que a demonstração fosse vivenciada de maneira interativa no contexto da aula, sendo a construção do saber geométrico seu propósito de ensino. Para o autor, semelhante proposição foi de encontro ao método da ação de Piaget, o que produziu resultados significativos do ponto de vista do processo de ensino- aprendizagem.
Menezes (2006) embasou sua dissertação na interrelação entre as teorias de Brousseau (1987), Chevallard (1991) e a álgebra. Os fenômenos didáticos da transposição didática interna6 e do contrato didático inicialmente foram abordados de forma teórica e posteriormente investigados numa situação de introdução à álgebra. Neste estudo não se refletiu sobre um ou outro aspecto dos assuntos supramencionados, mas foi trazida uma contribuição teórica para a articulação e interatuação entre os fenômenos para melhor compreensão em sala de aula. Dentre as questões levantadas em seu trabalho, destaca-se “além dos efeitos de contrato, existem efeitos de transposição, relacionados aos primeiros?”
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Para Menezes (2006), a transposição didática interna é o passo final na transformação sofrida pelo saber científico, cujos envolvidos são o professor e o(s) aluno(s), e que tem o professor como elemento humano responsável por tal acontecimento.
Menezes (2006) compara as teorias de Brousseau (1987) e Chevallard (1991) utilizando o seguinte quadro:
Quadro 10. Elementos fundamentais de análise dos fenômenos didáticos na sala de aula
Fonte: Menezes, 2006 p. 26.
Na investigação em tela, a autora relaciona, como sujeitos da pesquisa, um professor e seus respectivos alunos da 6ª série do Ensino Fundamental, de uma escola da rede privada de ensino da cidade do Recife. A escolha desta série foi motivada pelo fato de que, no final da mesma, se inicia o ensino da álgebra e, como o objetivo era o de intercalar os fenômenos já citados, a autora não achou necessário ter mais sujeitos envolvidos.
A metodologia adotada baseou-se em uma sequencia de atividades, as quais originaram dados que foram recolhidos através de videografia: todas as aulas foram filmadas com o auxílio de uma câmera de vídeo. Dentre as
conclusões do trabalho, a autora menciona que a cada nova informação para o saber, o equilíbrio do triângulo dos saberes se corrompe, mas logo volta a estabilizar-se a partir do momento que o novo passa a ser antigo. O mesmo ocorre com a triangulação professor-aluno-saber, o processo de re-equilibração acontece no momento em que se renegocia as cláusulas do contrato didático. Por fim, todas as negociações e escolhas didáticas são de responsabilidade dos sujeitos (professor e alunos), de modo que tais sujeitos se relacionam a um saber que deverá ser ensinado por um e aprendido pelo outro.
Ribeiro (2007) realiza um estudo epistemológico sobre a Álgebra no ensino da Matemática, embasado em Duval (1988) no que diz respeito a Registros de Representação Semiótica e Chevallard (1991) com a transposição didática. A investigação envolve duas vertentes: o processo de construção de significados e a significação de conceitos matemáticos. Em seu trabalho, Ribeiro (2007) primeiramente realiza uma busca histórica e epistemológica do assunto “Álgebra”, mais especificamente “equações”, e aborda trabalhos relacionados ao ensino da matemática, os quais possuem diferentes visões do mesmo assunto. O autor parte da hipótese de que, ao se investigar o desenvolvimento epistemológico da noção de equação, é possível estabelecer significados no ensino da matemática. O argumento que utiliza para a abordagem é que mesmo que a noção de equação não seja um objeto do saber, tem seu lugar entre os objetos de ensino. No âmbito de sua investigação, o autor apresenta diversos significados para a equação, que podem ser caracterizados como intuitivo-pragmático, dedutivo- geométrico, estrutural-generalista, estrutural-conjuntista, processual-tecnicista e axiomático-postulacional.
Costa (2008) em seu trabalho “A Importância do Manual do Professor na Transposição Didática da Matemática” inicia explicitando a grande distância entre o saber da Ciência Matemática, que o professor estuda na graduação, e o saber que vai ensinar aos alunos, afirmando que a tarefa de transpor esta distância é do próprio professor. O mesmo autor defende que, na ação pedagógica de transformar o saber científico em saber ensinado, estão presentes o Livro do Aluno e o Manual do Professor, que é colocado à disposição do professor pelo autor do livro didático. A intenção do autor do livro é explicitar a proposta pedagógica adotada pelo mesmo. O trabalho investigou a importância do Manual
do Professor nos anos finais do ensino fundamental, utilizando a transposição didática da Matemática e os aspectos históricos do ensino de Matemática e do Livro Didático em conjunto com as mudanças do Manual do Professor, a partir da década de 1970. A abordagem metodológica adotada na pesquisa teve caráter qualitativo: foram realizadas entrevistas com dez professores, auxiliadas por um questionário prévio, respondido por 56 professores de Matemática do ensino fundamental. Uma das intenções da pesquisa era responder se professores com menos de quinze anos de atuação em sala de aula sentem mais necessidade do uso do Manual, e se os professores com tempo maior de atuação perceberam as mudanças no formato do Manual. Em sua pesquisa, igualmente, Costa (2008) teve por objetivo constatar que os avanços na Educação Matemática estão acessíveis ao professor via Manual do Professor, porém, o ensino da Matemática ainda continua seguindo o mesmo modelo euclidiano de apresentação de conteúdos, na maior parte dos casos. A conjectura inicial do trabalho foi confirmada com as informações obtidas nas entrevistas realizadas com os professores de Matemática, ou seja, o Manual do Professor é pouco e mal utilizado pelos professores, o que, certamente, não viabiliza a presença dos avanços teóricos da Educação Matemática nas salas de aula.
A relação entre transposição didática e estratégias pedagógicas com uso de TICs para Educação Matemática foi tratada por Oliveira (2009), no relato de um curso de pós-graduação com a disciplina “Auto-formação pelo uso das TICs”, abrangendo a utilização de um ambiente virtual para subsídio do trabalho desenvolvido pelos mestrandos. Os mesmos eram também professores da rede pública de ensino, com exceção de um que se dedicava inteiramente ao estudo. As interações realizadas no curso, tanto presenciais quanto virtuais, possibilitavam um engajamento da parte dos integrantes na forma de produção de textos, acomodação de processos das interfaces disponíveis em softwares utilizados para o ensino-aprendizagem e construção de sequências didáticas. Todo o trabalho desenvolvido no curso foi mediado por discussões que ocorriam em aula ou internet. Assim, os mestrandos focaram atividades para a transposição do saber sábio até o saber ensinar de Chevallard (1991), e em todo momento as tecnologias foram o pano de fundo para o ensino da matemática. Oliveira (2009) destaca que, com um ambiente virtual, há a possibilidade de uma
ampliação do sistema didático e frisa que qualquer software representa um recurso didático somente se o professor planejar um uso para o mesmo, ou seja, incluí-lo em uma estratégia didática. É com o uso crítico das tecnologias que o professor alcança estratégias para o planejamento diferenciado em seu trabalho didático. Esta abordagem é defendida pelo autor na formação de professores de Matemática em todos os níveis de ensino.
1.3 Transposição informática
Oliveira (2009) afirma que as máquinas e sistemas computacionais dividem a realidade em três elementos distintos e delimitados, quais sejam o universo interno, a interface e o universo externo:
• O primeiro elemento é objetivado pelos equipamentos informáticos e seus programas;
• O segundo surge como a tela, que realiza a mediação a partir da qual se materializam as interações homem-máquina;
• O terceiro indica a presença do ser humano, bem como os saberes de referência e as representações compostas mediante interações com os sistemas informáticos.
Segundo Oliveira (2009), Balacheff (1994) defende em seu trabalho uma rigorosa análise dos programas computacionais e das complexidades advindas de seu uso e composição, a partir de dois pressupostos fundamentais, explicados a seguir.
O domínio da validade epistemológica de um dado ambiente computacional, que permite analisar suas características através de ferramentas conceituais, tendo como referência certo âmbito do saber matemático, bem como clarificar as diferenças entre os ambientes e suas contribuições possíveis no processo de ensino-aprendizagem.
O domínio da validade didática parte do princípio de que o processo de interação em ambientes computacionais não é inteiramente previsível, ou seja, podem ser encontradas diferenças entre o planejado e o obtido, no que diz respeito às interações.
Como consequência, o controle do processo, por parte do professor, não é o mesmo, nem na mesma medida, o que indica que é necessário prever as complexidades próprias a um dado ambiente computacional usado nas relações de ensino e aprendizagem, bem como delimitar sua utilização para que a mesma resulte eficiente. (OLIVEIRA, 2009)
Segundo Oliveira (2009) a presença de tecnologias no processo de ensino- aprendizagem aparecem como mediadoras com diferentes possibilidades de experimentações, porque possuem um dinamismo que permite mudanças e várias intervenções, as quais são dificilmente obtidas em outros contextos.
1.4 Níveis de Apreensão
A Geometria é apontada como um dos problemas de ensino aprendizagem, por ser o último tópico a ser tratado no planejamento das aulas ou porque o professor não teve uma formação adequada. A Geometria deveria ser trabalhada juntamente com outros assuntos mostrando a ligação existente entre os temas matemáticos. Esse diagnóstico sempre está no meio acadêmico, mas quando ocorrem reformas no ensino, não há formação adequada dos profissionais da área (Almouloud, 2007).
As prescrições curriculares, como por exemplo, a proposta curricular adotada pelo sistema de ensino público do estado de São Paulo, destacam a importância de se trabalhar com a geometria, mas existe uma distância entre teoria e prática, até porque os professores podem ter dificuldade em saber como implementar essas propostas. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) enfatizam a resolução de problemas de modo a favorecer o raciocínio e a iniciação à demonstração, não devendo os problemas permanecer restritos ao conteúdo, para que os mesmos atuem como uma das buscas de argumentações aceitáveis produzidas pelos alunos.
Segundo Duval (1995, apud Almouloud, 2000) a Geometria envolve três formas de processo cognitivo:
• Visualização: é o método que realiza uma investigação do espaço.
• Construção: processo com instrumentos, onde o aluno percebe a diferença entre construir e desenhar, verificando propriedades.
• Raciocínio: o método do discurso para a ampliação do conhecimento.
O desenvolvimento do conhecimento da figura pode ser apreendido de diferentes formas, pois uma mesma figura não necessariamente tem o mesmo significado para professor e aluno. Cada uma dessas formas chamadas por Duval (1995, apud Almouloud 2007) de apreensão é importante na construção do conhecimento. Os níveis de apreensão seriam, assim:
• Sequencial: é a técnica usada para a reprodução de uma figura, cuja descrição dada leva o aluno à construção solicitada. Uma atividade com o uso do software Geogebra que enuncia um roteiro é um bom exemplo para uma forma sequencial;
• Perceptiva: é o método que necessita de interpretação das formas em uma situação geométrica;
• Discursiva: é o processo de tradução para os elementos da figura.
• Operatória: é a compreensão sobre as possíveis modificações; nesta etapa, o objetivo é preparar para uma demonstração. Ainda, para Duval (1995, apud Almouloud 2000) a apreensão operatória é a modificação que uma determinada figura pode sofrer, separando por partes, transformando em outra ou deslocando em relação a um referencial.
Na Geometria, podem-se criar condições facilitadoras para aprendizagem como uma prática sistemática, mas, por outro lado, também é possível impedir a construção de novos conhecimentos quando se criam alguns obstáculos que estão diretamente ligados ao significado dos objetos em jogo. Os obstáculos, segundo Duval (1995, apud Almouloud 2000), podem ser enumerados por:
• Didático: obtido pela prática e escolha do professor, deixando o aluno com um conhecimento limitado;
• Linguístico: a leitura não é encarada como componente básico para professores e alunos, por isso, ambos encontram dificuldades em decompor as definições e propriedades matemáticas.
O papel do professor como pesquisador da educação é fundamental para que possa transpor suas próprias barreiras a fim de construir o conhecimento juntamente com seus alunos, de modo que este processo não sofra interrupções ou interferências negativas em função dos obstáculos epistemológicos.
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apítulo
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Teorema de Tales
2.1 Introdução Histórica
Segundo Boyer (1996), em 776 a. C., acontecem os primeiros jogos olímpicos, e, na mesma época, a literatura grega era evidenciada pelas obras de Homero e Hesíodo. No que diz respeito à matemática grega, nada se sabe com certeza, mas há indícios de que estava em atraso comparada às obras literárias. Passaram-se pelo menos dois séculos para haver algumas citações a respeito da