4. DYNAMICS OF POVERTY AND WELL‐BEING
4.7 S OCIAL AND C ULTURAL C APITAL
Após receberem a atividade, os alunos se organizaram em computadores distintos, apesar de próximos. Como se tratava da primeira atividade observou- se, a princípio, conforme já mencionado, certa insegurança. Como a apropriação acerca do modo de funcionamento das ferramentas não se encontrava ainda bem estabelecida entre os participantes, um curto período foi necessário para estabelecê-la. A outra etapa da fluência, relativa a percepção da lógica da interface foi construída mais lentamente, ao longo das atividades. Conforme esperado, a medida que recuperavam o conhecimento matemático necessário para resolução das propostas, os estudantes o aliavam à fluência em constituição na tecnologia.
A primeira atividade tinha por objetivo a construção de um cubo a partir das ferramentas do GeoGebra 5. Após o processo de construção, os estudantes respondiam às questões dos itens f em diante:
a) Com o auxílio do ícone “cubo”, construa um cubo na janela 3D;
b) Verifique se a construção representa de fato um cubo, por meio das medidas das arestas (ícone “distância, comprimento ou perímetro”); c) Trace as diagonais de uma das faces, com o auxílio do ícone
“segmento definido por dois pontos”;
d) Marque o ponto de intersecção das diagonais traçadas no item anterior.
e) Meça os segmentos referentes ao item anterior (ponto de intersecção aos vértices da face do cubo);
f) O que você pode observar em relação às medidas encontradas? g) Varie a medida das arestas componentes do cubo. O que pode ser dito
em relação às observações feitas no item anterior?
h) Elabore uma conjectura que descreva o que você descobriu.
O quadro 1 apresenta um esboço de resolução e as respostas apresentadas pelos sujeitos da pesquisa.
Quadro 1 – Proposta e Respostas da Atividade 1
Respostas
Estudante 1
f) As medidas dos segmentos referentes ao item anterior são iguais. g) As medidas continuaram congruentes. De acordo com a ampliação das arestas, as medidas dos segmentos aumentaram proporcionalmente.
h) Com a construção do cubo e a determinação das diagonais de uma de suas faces, descobri os que os quatro segmentos gerados do ponto de intersecção com cada um dos vértices possuem a mesma medida e continuam congruentes mesmo com a alteração do tamanho.
Estudante 2
f) As medidas dos segmentos do item anterior são congruentes. g) As medidas se alteram proporcionalmente.
h) Pode-se concluir que a medida das diagonais e dos segmentos do vértice ao ponto médio variam proporcionalmente conforme a alteração da medida das arestas.
Estudante 3
f) Pode observar que as medidas são iguais e proporcionais.
g) Conforme aumenta ou diminui as diagonais, o ponto de intersecção aos vértices do cubo aumentam ou diminuem também, porém as medidas das diagonais sempre são maiores.
h) Eu descobri que a intersecção é a metade da diagonal e também que se aumenta a medida da diagonal, a medida da intersecção também vai aumentar a primeira é sempre maior que a outra.
Estudante 4 g) Quanto mais aumenta a medida das arestas, mais aumenta a medida da diagonal, e quanto mais diminui a aresta, mais diminui a diagonal.
h) Descobri que a intersecção das diagonais é a metade da diagonal, que todas as diagonais têm o mesmo valor.
Estudante 5
f) Todos os segmentos têm tamanhos iguais.
g) Ao aumentar as arestas, os segmentos do ponto de intersecção aos vértices também aumentam.
h) O aumento das arestas resulta num aumento de todas medidas do cubo.
Fonte: dados da pesquisa
Foi possível observar, durante a execução desta atividade, que os participantes construíram o cubo, traçaram as diagonais de uma das faces, elaboraram as medições e, a partir da construção obtida, realizaram diversas experimentações, a partir da manipulações dos vértices do cubo que permitiam alterar a medida das arestas. Com base na visualização destas simulações e de seu caráter dinâmico, forneceram as respostas do quadro 1.
Observa-se pelas respostas apresentadas no item “f” desta atividade que todos os estudantes peceberam que os segmentos são congruentes, porém, praticamente nenhum deles diferenciou a medida das arestas da medida das diagonais de uma face do cubo em um primeiro momento. Aventou-se a possibilidade de Estudante 3 ter indicado esta diferença e até a relação entre os componentes mencionados, quando indica que “as medidas são iguais e proporcionais”, mas esta asserção não se confirmou nas demais respostas deste aluno.
No item “g” da atividade, embora todos os estudantes respondessem e tenham feito associações corretas, apenas os Estudantes 1 e 2 mencionaram o conceito de proporcionalidade diretamente. Em relação aos Estudantes 4 e 5, os mesmos, apesar de não mencionarem o termo, evidenciaram a proporcionalidade entre as medidas das diagonais da face do cubo e as medidas das diagonais das faces em seus registros em termos menos formais.
Neste mesmo item, Estudante 3 pareceu não perceber a relação entre as arestas do cubo e as diagonais de suas faces: fala de aumento e diminuição do
ponto de interseção em relação aos vértices do cubo, sem relacionar as diagonais e as arestas. Percebe-se, aliás, que o mesmo, no item “h”, detém-se apenas nas diagonais quando menciona que, se a medida da diagonal aumenta, a medida da interseção também o faz, provavelmente referindo-se à medida tomada de um vértice da face do cubo até o ponto médio da diagonal que o tem como componente.
Em relação ao item “h”, Estudante 1 indica, como conjectura, que os segmentos criados quando se determina o ponto de interseção das diagonais das faces possuem, entre si, a mesma medida, o que não se altera com a mudança das mesmas. Percebe, assim, por meio da experimentação/visualização/dinamismo, o caráter geral da propriedade em estudo, mas não indica que o ponto de interseção representa o ponto médio das arestas. Estudante 2, por sua vez, indica que a medida das diagonais e dos segmentos cujos extremos são o vértice e o ponto médio variam de maneira proporcional à medida que as arestas têm suas medidas alteradas. Estudante 4 faz as mesmas observações, mas se detém apenas na relação das diagonais com as arestas da face do cubo, sem mencionar o ponto médio das mesmas. Por fim, Estudante 5 alinha uma percepção em caráter mais geral: aumentar as arestas leva ao aumento de todas as medidas registradas para o cubo. O quadro 2 resume as intervenções dos estudantes em relação ao objeto matemático.
Quadro 2 – Percepções dos Sujeitos – Atividade 14
Interseção das diagonais no ponto médio
Proporcionalidade entre as medidas das diagonais da face e as
medidas das arestas do cubo Caráter geral das propriedades em relação à figura Igualdade de medidas das diagonais da face (entre si) e das arestas
do cubo (entre si)
Estudante 1 Sim Sim Sim Sim
Estudante 2 Sim Sim Sim Sim
Estudante 3 Sim Parcialmente Sim Não
Estudante 4 Sim Sim Sim Parcialmente
Estudante 5 Não Sim Sim Parcialmente
Fonte: dados da pesquisa
4 O termo “Parcialmente” indica que a resposta do sujeito em questão indica algum indício de acerto, mas
Em relação às interações dos sujeitos com o GeoGebra 5, a natureza das respostas indica que as experimentações dinâmicas subsidiaram a visualização de algumas propriedades e relações de medida entre os componentes do cubo, ainda que de maneira diferente entre os sujeitos. Nem todos os elementos foram visualizados e serviram de base às conjecturas da mesma forma. Respostas incompletas também surgiram e algumas relações não foram percebidas senão parcialmente. Neste sentido, Guzmán (2002, apud Barbosa 2009) afirma que a visualização é de fundamental importância para a descoberta de novas relações e elaboração de conjecturas, porém a decodificação das imagens nem sempre é imediata. Para o autor, a percepção absoluta pretendida de algumas imagens, que parecem óbvias para o professor, nem sempre é nítida para o estudante.
As construções foram bastante próximas, quanto ao método e a forma empregada. Desta maneira, como ilustração, a figura 18 traz aquela feita por Estudante 1.
Figura 18 – Construção de Estudante 1 – Atividade 1
Fonte: dados da pesquisa
Finalmente, percebeu-se alguma confusão terminológica entre os sujeitos quando usam as palavras “igual” e “congruente” como se fossem sinônimas. Matematicamente, “congruente” significa “de mesma medida”, enquanto que igual significa “o mesmo objeto”.
5.3 Atividade 2
Esta atividade tinha por objetivos promover a fluência no software e verificar se o estudante poderia visualizar, a partir das diagonais das faces, três pirâmides inscritas no cubo e, a partir das diagonais do cubo, seis pirâmides nas condições das questões propostas, que eram:
a) Utilizando os recursos disponíveis no GeoGebra 5, construa todas as pirâmides congruentes que dividem o cubo da atividade anterior em partes iguais. Responda: quantas pirâmides foram construídas?
b) Existe alguma relação entre o volume do cubo e o volume das pirâmides observadas? Qual?
c) Varie o tamanho das arestas componentes do cubo. O que pode ser dito em relação às observações feitas no item anterior?
d) Elabore uma conjectura que evidencie suas descobertas.
O quadro 3 mostra as propostas da atividade e as respostas apresentadas pelos estudantes.
Quadro 3 – Propostas e respostas da Atividade 2 Três pirâmides a partir das diagonais da face
Respostas
Estudante 1
a) 3 b) 𝑉𝑐
3 = 𝑉𝑝
c) O volume também irá variar proporcionalmente.
d) Descobrimos que por estarem contidas três pirâmides dentro de um cubo, o volume das pirâmides é um terço do volume do cubo, de acordo com suas arestas.
Estudante 2
a) 3
b) Sim, pois o volume do cubo é 3 vezes maior que o volume da pirâmide 𝑉𝑝 =13. 𝐵. 𝐻
c) Os volumes das pirâmides alteram-se proporcionalmente ao volume do cubo.
d) Volume do cubo = 3 x volume da pirâmide.
Estudante 3
a) 3
b) A relação existente é que o volume da pirâmide é 1/3 do volume do cubo. 𝑉𝑝 = 1/3. 𝑉𝑐
c) Percebo que as pirâmides aumentam ou diminuem conforme o cubo aumenta ou diminue também.
d) Analisando as pirâmides dentro do cubo, percebo que o volume da pirâmide é 1/3 do volume do cubo pois dentro de um cubo cabem 3 pirâmides. Além disso as medidas de cubo e da pirâmide aumentam ou diminuem proporcionalmente. Percebi, também, que a base da pirâmide é a diagonal do quadrado que forma o cubo.
a) 3
b) O volume da pirâmide é 1/3 do volume do cubo.
Estudante 4 d) O volume da pirâmide é 1/3 do volume do cubo e os lados dessa pirâmide aumentam de acordo com a aresta do cubo, o seu volume é 1/3 do volume do cubo pois existem 3 pirâmides dentro do cubo.
Estudante 5
a) 6 pirâmides formadas só com as diagonais do cubo.
b) O volume das pirâmides das diagonais do cubo é 1/6 do volume do cubo. c) O volume, tanto do cubo quanto das pirâmides aumentam, mas a proporção de 1/6 continua.
d) O volume da pirâmide componente do cubo sempre será 1/6 do volume total, o aumento das arestas não muda essa proporção mas resulta no aumento de todos os volumes.
Fonte: O autor
O quadro de respostas acima apresentado mostra que nenhum dos estudantes visualizou, no item “a”, as duas situações possíveis, isto é, as três pirâmides (de base triangular) a partir das diagonais das faces e as seis pirâmides (de base quadrada) a partir das diagonais do cubo – apenas o Estudante 5 baseou suas conjecturas na visualização de seis pirâmides. Entretanto, não se pode considerar que tenha sido um erro, pois não ficou claro se o estudante deveria alinhar todas as soluções consideradas corretas, ou apenas uma. Além disso, uma vez que as experimentações dinâmicas conduzam à construção de três pirâmides a partir das diagonais das faces, dificilmente subsidiarão a visualização das seis pirâmides.
Do ponto de vista do uso da interface do GeoGebra 5, é importante ressaltar que todos os sujeitos traçaram as diagonais com o auxílio das ferramentas fornecidas pelo software, mostrando assim, como indica Oliveira (2013), que o desenvolvimento da fluência na tecnologia empregada, a partir da decifração de sua lógica, pode auxiliar no encaminhamento de maior compreensão dos elementos matemáticos envolvidos.
No item “b” desta atividade, os estudantes 1, 2, 3 e 4 visualizaram que a medida do volume de uma pirâmide é a terça parte da medida do volume do cubo. Já o estudante 5, ao traçar as diagonais do cubo, visualizou que a medida do volume de uma pirâmide é a sexta parte da medida do volume do cubo. A partir da posição assumida pelos sujeitos no item “a”, as respostas estão igualmente corretas. O apoio na visualização e na experimentação fica evidenciado a partir do momento em que os sujeitos não recorrem ao raciocínio
algébrico. Para Oliveira (2009), esta poderia ser uma etapa posterior, quando a fluência tecnológica encaminha a fluência matemática.
No item “c”, todos os estudantes perceberam que ao variar as medidas das arestas do cubo, a medida do volume das pirâmides variava proporcionalmente. Aqui, Estudante 1 optou por também calcular os volumes dos sólidos mencionados, usando o recurso correspondente do GeoGebra 5, de modo a evidenciar a razão entre os volumes, como pode ser visto na figura 20.
Figura 19 – Proposta de Estudante 1 – Atividade 2
Fonte: dados da pesquisa
No item “d”, as conjecturas dos estudantes ficaram vinculadas aos itens anteriores, isto é, os Estudantes 1, 2, 3 e 4 constataram que a medida do volume da pirâmide de base triangular é a terça parte da medida do volume do cubo; já Estudante 5 constatou que a medida do volume da pirâmide de base quadrada é a sexta parte da medida do volume do cubo.
De forma a resumir as observações aqui encaminhadas, o quadro 4 faz algumas indicações.
Quadro 4 – Percepções dos Sujeitos – Atividade 2
Construções das pirâmides
inscritas
Proporcionalidade entre as medidas dos volumes do cubo e das
pirâmides inscritas Caráter geral das propriedades em relação à figura
Estudante 1 Sim; 3 Sim Sim
Estudante 2 Sim; 3 Sim Sim
Estudante 3 Sim; 3 Sim Sim
Estudante 4 Sim; 3 Sim Sim
Estudante 5 Sim; 6 Sim Sim
Fonte: dados da pesquisa
O êxito dos estudantes nas percepções relativas a esta atividade parece ligado ao aumento na fluência em relação ao software – além das visualizações que tiveram lugar a partir das experimentações disponíveis, os sujeitos alinharam outras constatações – por exemplo, Estudante 5 escreveu “Percebi, também, que a base da pirâmide é a diagonal do quadrado que forma o cubo”. Ainda que haja imprecisões nesta observação, pois a diagonal do quadrado é
componente da base da pirâmide e não ela mesma, este é um resultado típico
da visualização.
Pode-se alegar que a relação entre os volumes em questão – ou, pelo menos, o conceito de volume de pirâmides – já era de conhecimento dos estudantes, mas isto não está em questão e era até mesmo esperado, uma vez que o conteúdo já havia sido objeto de ensino no programa regular da disciplina. 5.4 Atividade 3
Esta atividade procurou verificar se o estudante podia constatar que a distância do ponto de interseção das diagonais do cubo (centro do cubo) até a inteseção das diagonais de uma face do cubo (centro da face) é igual à metade da medida da aresta do cubo e que também é a altura da pirâmide formada pelas diagonais do cubo.
A atividade 3, conforme já mencionado, trazia as seguintes tarefas:
a) Trace as diagonais do cubo.
b) Marque o ponto de intersecção das diagonais do cubo.
c) Meça o segmento formado pela intersecção das diagonais do cubo com o ponto de intersecção das diagonais de uma das faces à sua escolha (marcada na atividade anterior).
d) O que você observou em relação à medida apurada no item anterior e a aresta do cubo?
e) Varie o tamanho das arestas componentes do cubo. O que pode ser dito em relação às observações feitas no item anterior?
f) Elabore uma conjectura que evidencie suas descobertas.
O quadro 5 mostra a proposta da atividade e as respostas dadas pelos estudantes, sendo que as questões a responder estavam do item “d” em diante.
Quadro 5 – Proposta e respostas da Atividade 3 Proposta
Respostas
Estudante 1
d) (𝑑𝑐)2= 𝑎2+ (𝑎√2)2
e) O tamanho da diagonal altera proporcionalmente.
f) A diagonal do cubo depende, em sua medida, das arestas do cubo e da diagonal da face, essa, também sendo determinada pelas arestas. Por isso, ao alterar o tamanho da aresta, sua medida também muda.
Estudante 2
d) A medida apurada no item anterior é a metade da aresta.
e) A proporção irá permanecer independentemente do valor da aresta. f) O segmento entre a intersecção das diagonais é a metade da aresta do cubo.
Estudante 3
d) Pude observar que a intersecção das diagonais do cubo com a intersecção das diagonais da face é a metade da medida das arestas do cubo.
e) Observei que as medidas das arestas do cubo e a medida da distância entre as intersecções são diretamente proporcionais, ou seja, se um aumenta o outro aumenta também e vice versa.
f) Ao analisar o cubo, percebo que as medidas vão aumentando ou diminuindo diretamente e além disso, as diagonais do cubo são a metade da medida das arestas. E, também, a intersecção das diagonais do cubo formam 6 pirâmides de base quadrada.
Estudante 4
d) A intersecção das diagonais é a metade da medida da aresta. e) Quanto mais aumenta a medida da aresta, mais aumenta a medida da intersecção das diagonais.
f) As medidas são diretamente proporcionais e a medida da aresta sempre será o dobro da medida da intersecção das diagonais e a intersecção das diagonais do cubo forma uma pirâmide quadrangular.
Estudante 5
d) A distância entre as intersecções é a metade da aresta do cubo. e) As medidas são diretamente proporcionais, o aumento da aresta resulta no aumento da distância.
f) A distância entre as intersecções é diretamente proporcional à medida das arestas do cubo, sendo sempre a metade.
Fonte: dados da pequisa
Nesta atividade os estudantes apresentaram uma fluência maior em relação ao software, pelo menos no que diz respeito à primeira etapa, ligada à compreensão acerca das ferramentas disponíveis (para que servem e o que fazem). A compreensão da lógica da interface também pareceu mais consolidada, uma vez que os sujeitos conseguiram realizar diretamente a correlação entre a ferramenta e sua função no âmbito do problema a ser resolvido.
No item “d”, o Estudante 1 observou que é possível aplicar o Teorema de Pitágoras envolvendo a diagonal do cubo, a diagonal da face e a distância solicitada entre o centro do cubo e o centro de uma das faces. Embora essa relação seja verdadeira para essa situação, e represente um interessante
exemplo acerca de visualização, o estudante não respondeu à questão formulada na atividade, ou seja, não indicou que a medida da distância mencionada é metade da medida da aresta do cubo.
Ainda quanto à visualização de Estudante 1, tal característica favoreceu a percepção de que o segmento formado pela distância entre os pontos de intersecção das diagonais do cubo (centro do cubo) e a intersecção das diagonais das faces (centro da face) é perpendicular à face em questão, isto é, o triângulo formado por este segmento, metade da diagonal da face e metade da diagonal do cubo é retângulo, justificando, desta maneira, a aplicação do teorema de Pitágoras.
Figura 20 – Proposta de Estudante 1 – Atividade 3
Fonte: dados da pesquisa
Neste item, os estudantes 2, 3, 4 e 5 constataram que a medida em questão é a metade da medida da aresta do cubo. Nenhum dos sujeitos envolvidos observou que o segmento mencionado também é a altura da pirâmide formada pelas diagonais do cubo, e, consequentemente, metade da altura do próprio cubo.
No item “e”, todos os estudantes perceberam a proporcionalidade, isto é, aumentando ou diminuindo a medida da aresta do cubo, o segmento em questão continua sempre sendo a metade da medida da aresta do cubo.
No item “f” desta atividade, os estudantes 1, 2, 4 e 5 conjecturaram corretamente sobre a proporcionalidade entre as arestas do cubo e o segmento formado pelas interseções das diagonais do cubo com as diagonais da face. O estudante 3 ao responder este ítem, além de verificar que as medidas são diretamente proporcionais, fez a seguinte observação: “[...] a intersecção das diagonais do cubo formam 6 pirâmides de base quadrada”. Tal observação reforça a conjectura de que a experimentação e a visualização em ambiente dinâmico favorece a compreensão de propriedades dos objetos matemáticos construídos via software. Entretanto, o estudante deveria ter dito que a interseção das diagonais do cubo é, na verdade, o vértice para seis pirâmides de base quadrada.
Vale salientar que os sujeitos, ao finalizarem a Atividade 3 teceram alguns comentários, como “– Agora eu consigo ver as três dimensões do cubo e suas diagonais”; “– Nossa, eu nunca havia desenhado um cubo perfeito”; “– Eu estou me superando”; “– Agora sim, consigo enxergar as diagonais”. Ainda que tais afirmações reflitam mais entusiasmo do que qualquer outra coisa, é preciso valorizar as manifestações dos alunos, já que se baseiam em construções cujos resultados, na maioria, corresponderam às propostas das atividades.
O quadro 6, a seguir, traz uma síntese esquemática do que ocorreu na atividade 3.
Quadro 6 – Percepções dos Sujeitos – Atividade 3
Distância entre centro do cubo e da
face é metade da medida da aresta
Proporcionalidade entre a distância dos centros
(ou das diagonais) e a aresta do cubo Caráter geral das propriedades em relação à figura Vallidade matemática das conjecturas apresentadas
Estudante 1 Não Sim Sim Sim
Estudante 2 Sim Sim Sim Sim
Estudante 3 Sim Sim Sim Sim
Estudante 4 Sim Sim Sim Sim
Estudante 5 Sim Sim Sim Sim