E DUCATION AND  H EALTH

O instrumento relativo à construção do cubo com o uso do software GeoGebra 5 (atividade 1) tinha a intenção de propor que os estudantes constatassem algumas características e/ou propriedades do objeto mencionado, tais como o fato de as arestas possuírem as mesmas medidas e as diagonais das faces se encontrarem no ponto médio, além de solicitar a elaboraração de

uma conjectura em torno da generalização das experiências feitas. A partir deste ponto, poderiam articular de forma mais ampla o conhecimento matemático em questão com a fluência necessária para operar o GeoGebra 5, conforme mencionado por Oliveira (2013), quando ressalta a importância da articulação das duas fluências, matemática e tecnológica. Neste caso, visualização e dinamismo são considerados elementos importantes para as análises.

A atividade está descrita da seguinte forma:

Antes de começar a atividade, acesse, no menu, o ícone exibir e clique em janela de visualização 3D.

Como vamos trabalhar somente com a geometria espacial, feche a janela de álgebra, a janela de visualização 2D e elimine os eixos coordenados. a) Com o auxílio do ícone “cubo”, construa um cubo na janela 3D;

b) Verifique se a construção representa de fato um cubo, por meio das medidas das arestas (ícone “distância, comprimento ou perímetro”); c) Trace as diagonais de uma das faces, com o auxílio do ícone

“segmento definido por dois pontos”;

d) Marque o ponto de intersecção das diagonais traçadas no item anterior.

e) Meça os segmentos referentes ao item anterior (ponto de intersecção aos vértices da face do cubo);

f) O que você pode observar em relação às medidas encontradas? g) Varie a medida das arestas componentes do cubo. O que pode ser dito

em relação às observações feitas no item anterior?

h) Elabore uma conjectura que descreva o que você descobriu.

O _{item “a” tem a finalidade de propor a construção de um cubo na janela} 3D, cujo resultado deveria ser semelhante ao exibido na Figura 11. Era esperado que os estudantes explorassem a interface do GeoGebra 5 e, sem qualquer ajuda externa, localizassem o ícone “cubo”, desvendassem seu funcionamento e, finalmente, construíssem a representação do sólido mencionado.

Figura 11 – Representação do cubo

Fonte: O autor

No item “b”, a atividade solicita que os sujeitos verifiquem, por meio de medidas3 _{, se a construção elaborada é realmente um cubo, conforme}

apresentado na Figura 12.

Figura 12 – Medidas das arestas de um cubo

Fonte: O autor

Nos próximos itens da atividade “c) trace as diagonais de uma das faces”, “d) marque o ponto de intersecção das diagonais traçadas”, “e) meça os segmentos (ponto de intersecção aos vértices da face do cubo)” e “f) o que você pode observar em relação às medidas encontradas?” têm por objetivos permitir que os alunos evidenciem compreensões acerca das diagonais das faces do cubo, bem como da interseção entre as mesmas, as quais se encontram no ponto médio. A expectativa é que o trabalho dos sujeitos em torno da experimentação, visualização e dinamismo fosse feito a partir de uma construção semelhante à da figura 13.

Figura 13 _{– Intersecção das diagonais}

Fonte: O autor

Os dois próximos itens desta atividade, “g) Varie a medida das arestas do cubo. O que pode ser dito em relação às observações feitas no item anterior?” e “h) Elabore uma conjectura que descreva o que você descobriu”, procuram evidenciar as percepções do estudante sobre o fato de que, mesmo alterando as medidas das arestas do cubo, suas propriedades se mantêm.

4.3.2 Atividade 2

A atividade 2 pretendia verificar se os estudantes podiam construir as pirâmides componentes de um cubo a partir das diagonais das faces do mesmo ou das diagonais do próprio cubo, e quais seriam as relações entre os volumes

de cada uma das pirâmides nos casos mencionados e o volume do próprio cubo. Do ponto de vista da teoria norteadora desta pesquisa, pretendia-se verificar a influência da visualização nas constatações esperadas e se as experimentações dinâmicas habilitavam os sujeitos a observarem a manutenção das propriedades anunciadas dadas diferentes configurações, quando os estudantes realizassem variações nas medidas das arestas, e se perceberiam que a medida do volume da pirâmide é a terça parte da medida do volume do cubo (na primeira situação) e, na segunda situação, a sexta parte da medida do volume do cubo.

A Atividade 2 propunha o seguinte:

a) Utilizando os recursos disponíveis no GeoGebra 5, construa todas as pirâmides congruentes que dividem o cubo da atividade anterior em partes iguais. Responda: quantas pirâmides foram construídas?

b) Existe alguma relação entre o volume do cubo e o volume das pirâmides observadas? Qual?

c) Varie o tamanho das arestas componentes do cubo. O que pode ser dito em relação às observações feitas no item anterior?

d) Elabore uma conjectura que evidencie suas descobertas.

No item “a” desta atividade, devemos considerar duas possíveis situações distintas: uma delas é a de o estudante traçar as diagonais das faces do cubo e a outra, a de o estudante traçar as diagonais do próprio cubo. Na primeira situação, o sujeito encontrará, nas condições da questão proposta, três pirâmides (Figura 14); na segunda, encontrará 6 pirâmides (Figura 15).

Figura 14 _{– Pirâmides traçadas a partir das diagonais das faces do cubo}

Fonte: O autor

Figura 15 _{– Pirâmides traçadas a partir das diagonais do cubo}

Fonte: O autor 4.3.3 Atividade 3

Na atividade 3, o objetivo consistia em verificar a percepção dos estudantes em torno do fato de que a medida da distância desde o ponto de interseção das diagonais do cubo (centro) até o ponto de interseção das diagonais de uma das faces (ponto médio) é igual à metade da medida da aresta

do cubo e que também é a medida da altura de uma das pirâmides formada pelas diagonais do cubo. Também aqui a estabilidade das propriedades verificadas deveria ser passível de constatação visual, mediante variação de medidas das arestas do cubo por meio das características dinâmicas do software, em uma configuração semelhante a que se exibe na figura 16.

A Atividade 3 está descrita da seguinte forma:

a) Trace as diagonais do cubo.

b) Marque o ponto de intersecção das diagonais do cubo.

c) Meça o segmento formado pela intersecção das diagonais do cubo com o ponto de intersecção das diagonais de uma das faces à sua escolha (marcada na atividade anterior).

d) O que você observou em relação à medida apurada no item anterior e a aresta do cubo?

e) Varie o tamanho das arestas componentes do cubo. O que pode ser dito em relação às observações feitas no item anterior?

f) Elabore uma conjectura que evidencie suas descobertas.

Figura 16 – Distância do ponto médio de uma face até o ponto de interseção das diagonais do cubo

4.3.4 Atividade 4

A atividade 4 focalizava a construção, a partir do cubo, de um tetraedro regular, o cálculo de seu volume e a comparação com o volume do cubo. É oportuno lembrar que, por meio das diagonais das faces do cubo, pode ser construído um tetraedro regular e seu volume obedece à relação já conhecida, ou seja, o volume do tetraedro regular, construído a partir das diagonais das faces de um cubo, corresponde a 1/3 do volume do cubo. De novo, os questionamentos devem explorar visualização, experimentação e dinamismo proporcionados pelo GeoGebra 5.

A Atividade 4 propõe o seguinte:

Abra uma nova janela e acesse, no menu, o ícone exibir e clique em janela de visualização 3D.

Relembrando que como vamos trabalhar somente com a geometria espacial, é necessário fechar a janela de álgebra, a janela de visualização 2D e esconder os eixos coordenados.

a) Construa um cubo; b) Calcule seu volume;

c) Construa um tetraedro regular inscrito no cubo e calcule seu volume; d) Comparando os volumes (cubo e tetraedro), o que você pode

observar?

e) Varie o tamanho das arestas componentes do cubo. O que pode ser dito em relação às observações feitas no item anterior?

f) Elabore uma conjectura que evidencie suas descobertas.

Esta proposta permitiu que cada sujeito construísse o cubo em seu computador, comparando as medidas obtidas em suas construções, conforme mostra a Figura 17.

Figura 17 _{– Tetraedro regular inscrito no cubo a partir das diagonais das faces}

CAPÍTULO CINCO