Multicriteria choice

As  it  has  been  already  noticed  in  the  introductory  chapters  of  the  given  thesis  multicriteria  ranking of schedules becomes vitally important. Decision making is a part of our daily lives. 

In  decision  support  science,  decision  making  problems  based  on  multiple  parameters  are  classified into  the following categories: multi  attribute decision making (MADM) and multi  objective decision making (MODM). The major difference of the two classes is the existence  of predetermined  alternatives or their  absence. MODM deals  with  optimization problems in  which  several  objective  functions  should  be  satisfied,  while  MADM  is  associated  with  the  problems  in  which  alternatives  have  been  predetermined.  It  means  that  making  preference  decisions  (e.g.,  evaluation,  prioritization,  and  selection)  is  made  over  the  available  alternatives  that  are  characterized  by  multiple,  usually  conflicting,  attributes.  MADM  methods are widely used for real world problems. In our case MADM is the very problem to  be  addressed  since  we  do  evaluation  of  real  schedules  basing  on  the  simulation  tool.  There  exist  different  methods  of  MADM  multicriteria  ranking  of  data  including  ELECTRE  TRI,  Utility  Function  Based  Approaches,  TOPSIS,  MAVT,  Outranking  Approaches,  Tree  Based  Approaches,  LINMAP  and  others.  These  methods  are  different  in  the  types  of  information  that they need: for example, ELECTRE and TOPSIS methods cannot be used in a case when  ideal alternatives and weights of criteria are not available, whilst LINMAP might be used in  such  cases,  and  etc.  In  this  thesis  we  will  address  TOPSIS  algorithm  for  schedules  multicriteria ranking, since it does not only scale the schedules by weighting the parameters  but also compares every schedule to the possible ideal schedule and in such terms combines  benefits of ELECTRE and Utility Function Based Approaches. However we will describe all  three of these approaches. 

 

ELECTRE (ELimination Et Choix Traduisant la Realite)

ELECTRE  method  was  developed  by  a  group  of  French  scientists  headed  by  Professor  B.Rua.  Currently,  a  number  of  methods  of  family  ELECTRE  are  available.  In  this  method,  evaluation  of  each  alternative  is  not  absolute,  but  relative  (compared  to  the  alternative)  and  thus alternatives must be compared pair wisely with respect to all of the criteria, what makes  the  whole  process  computationally  sophisticated.  Thus,  ELECTRE  method  is  based  on  pairwise comparison of alternatives, however with no predetermined quantitative measure of  quality of any of the alternatives (so called utility function), but rather than that a condition of  superiority of one alternative over another is used. Suppose that N scales of criteria weights 

are  set  and  alternatives  have  estimates  of  the  criteria.  So  as  to  determine  the  superiority  of  alternative  A  over  alternative  B  two  indices  of  agreement  and  disagreement  are  defined  (agreement  and  disagreement  with  the  hypothesis  that  alternative  A  is  superior  over  alternative  B).  In  this  paper,  we  review  the  following  method  of  constructing  indices  of  agreement and disagreement : 

The  hypothesis  of  the  superiority  of  alternative  A  over  alternative  B  is  shown  below,  where set I consists of N criteria, divided into three subsets: 

 I⁺ – a subset of the criteria by which A is preferable to B; 

 I⁼  – a  subset of the criteria by which A is equivalent to B; 

 I^-  – a subset of the criteria by which B is preferable to A. 

Index of agreement _AB is calculated basing on the criteria weights. In the method used,  index  is  defined as the sum  of the weights of  criteria subsets  I⁺   and  I⁼ divided by the total  sum of the weights: 

Whilst  index  of  disagreement  with  the  hypothesis  of  the  superiority  of  A  over  B  is  determined on the basis of the "controversial" criterion, in other words the criterion by which  length of i-th criterion, w_j is the weight of j-th criterion. 

The  Imposed  indices  are  used  to  construct  matrices  of  indices  of  agreement  and  disagreement for the given alternatives. Binary relation of superiority of one alternative over  the  other  alternative  is  given  by  the  levels  of  agreement  and  disagreement.  If _AB p  and 

AB q

  ,  where  p  and  q  are  the  predefined  levels  of  agreement  and  disagreement  then  alternative  A  is  declared  superior  over  alternative  B.  If,  however,  any  of  these  levels  of  comparison of the alternatives fails, then they are declared to be incomparable. 

Core elements at specified levels on a set of non-dominated alternatives are allocated: 

the levels of agreement and disagreement from this nucleus so as to strengthen both of them  emits then a smaller kernel might be allocated and so on. The latest kernel contains the best  alternatives. The sequence of kernels determines the order of alternatives in terms of quality.  

Whilst playing around with levels of agreement and disagreement one can get a set of  series  of  possible  solutions  in  the  form  of  various  nuclei.  However  setting  weights  of  the  criteria and levels of agreement/disagreement is a very delicate arbitrary issue to be resolved. 

 

Utility Function Based Approaches (MAUT – Multi-Attribute Utility Theory)

These  methods  are  based  on  the  construction  of  multicriteria  utility  function  (setting  relationship  between  ratings  of  alternatives  based  on  the  criteria  and  the  overall  quality  of  alternatives) and evaluation of each alternative with this function independently of the other  alternatives. 

When  constructing  the  utility  function  it  must  be  taken  into  account  that  the  utility  function must satisfy a number of conditions (axioms): 

1. Comparability axiom, which states that the ratio can be established between the utility  of any alternatives, so that either one of them is superior over the other, or they are equal. 

2. Transitivity  axiom, which states that if alternative A is  superiority over  alternative B  and  alternative  B  is  superior  over  alternative  C  then  alternative  A should  be  superior  over  alternative B. 

3. Convexity axiom, which states that given an order of relation between the alternatives  A,  B,  C,  having  form:^{U A}

 

^{U  B}

 

^{U C}

 

,  one  can  find  the  numbers  a  and  b,  which  are 

less  than  1  and  greater  than  0,  so  that 

              

 aU A  1 a U C U B , U A l b bU B U B .This  axiom  is  based  on  the  assumption that the utility function is continuous and that it is possible to use any of the small  utility alternatives. 

4. Independence  axiom  ,  which  suggest  that  any  of  the  relationships  between  the  assessments of alternatives on criteria do not depend on the values of other criteria: 

a) Difference  independence.  Preferences  between  two  alternatives  that  differ  are  only  estimates based on an ordinal scale of one criterion Cs ad do not depend on the same  (fixed) estimates for other criteria C1,...,Cs-1, Cs+1,…,СN. 

b) Preference  independence,  which  is  one  of  the  most  important  and  commonly  used  terms. It states that two criteria C1 and C2 (without loss of generality) are independent 

of preference of other criteria C3,…,СN, if preferences between alternatives , differing  only estimates for C1 and C2 do not depend on the fixed values of other criteria. 

 

where d is the scale length of i-th criterion is, _i w  is the weight of i-th criterion and_i z  is the _i value of i-th criterion. 

There  are  two  major  drawbacks  of  MAUT  approach:  first,  the  assumption  that  people  can make accurate quantitative measurements; second, from the DMP it is required to make 

"immediate"  destination  all  the  major  parameters  without  giving  him  the  opportunity  to  conduct research problems familiar to humans by "trial and error". 

TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)

The TOPSIS method was  initially presented by  Yoon and Hwang  and  Lai,  Liu,  and Hwang  (Zopounidis  and  Doumpos  2002).  This  method  is  a  process  of  finding  the  best  solution  among all practical alternatives. 

In TOPSIS method a positive ideal solution maximizes the benefit criteria or attributes  and minimizes the cost criteria or attributes, whereas a negative ideal solution maximizes the  cost criteria or attributes and minimizes the benefit criteria or attributes. The TOPSIS method 

 Step 1: Calculate  the normalized  decision matrix  (calculate a dimensionless  matrix,  where  x_ij  is  the  value  of  i-th  alternative  on  j-th  criterion).  The  normalized  value  r_ijis  calculated as follows: 

 Step 2: Calculate the weighted normalized decision matrix. The weighted normalized  value v_ijis calculated as follows: 

  v_ij  r w i_{ij j}, 1, ,m j1, ;n   (6.1.60) 

where w_j is the weight of the j-th criterion or attribute and 

1

 Step 3: Determine the ideal positive A  and ideal negative  A^{* } solutions. 

 

 Step 4: Calculate  the  separation  measures  using  the  m-dimensional  Euclidean  distance. The separation measures of each alternative from the positive ideal solution and the 

 Step 5: Calculate the relative closeness to the ideal solution. The relative closeness of  the alternative A with respect to _i A  is defined as follows: ^*

 

 Step 6: Rank in the preferred order, so that the smaller the value of RC_i^* the better  the corresponding alternative. 

The assumption  that people  can make  accurate quantitative measurements of w_jis  the  major drawback of this  method. However as one can see this method has less drawbacks in  comparison to both of the methods above.  Listing A-21 C# code has been implemented in  order  to  solve  TOPSIS  problem.  This  program  uses  format  of  Table  21  as  input  from  TOPSIS_INPUT.csv  and  produces  the  output  in  the  form  of  the  Table  22,  written  to  TOPSIS_OUTPUT.csv. 

In order to slightly smooth the influence of subjective choice of w_j we suggest a two  phased usage of TOPSIS, which corresponds to the following algorithm: 

 Phase 1:

 Select a set of arbitrary chosen vectors of weights for a given set of criteria forming a  matrix: W {w_{i j,} },i1, ,n j1,k , where n is the power of set of criteria and k is the power of  set of different vectors of weights for a given set of criteria;

 Estimate alternatives k times with respect to the corresponding vectors of weights of  criteria by means of TOPSIS algorithm;

Save RC values of all criteria for each run of TOPSIS: SRC{RC_{i j,} },i1, ,m j1,k;

 Phase 2:

 Set a vector of equal weights for k criteria  1

{ _j }, j 1,k

   k  . Let all of them be  loss making, meaning that the smaller the value of the criterion the better;

 Use RC_{i j,} as  values  of  criteria  j for  alternative  i,  i1, ,m j1,k  and  rank the  alternative by means of TOPSIS algorithm;

 Set ranking from the second phase as final ranking of the set of alternatives.

 

Table 21. TOPSIS multicriteria ranking input file example  

N M

11 6

Weights

Value 0.275 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.275

Sign 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Alternatives LCI{SS} UCI{Ta} UCI{Ts} UCI{Td} UCI{Da} UCI{Ds} UCI{Dd} UCI{Bfc} UCI{Ifc} UCI{Sfc} UCI{Tfc}

Schedule1 0.95 5 5 5 7 7 7 100 200 300 600

Schedule2 0.99 6 3 6 8 9 7 110 250 340 700

Schedule3 0.91 4 4 6 5 6 7 140 160 300 600

Schedule4 0.8 2 2 5 5 7 9 150 250 250 650

Schedule5 0.95 5 5 5 7 7 7 100 100 350 550

Schedule6 0.99 1 1 1 2 2 2 50 50 50 150

 

Table 22. TOPSIS multicriteria ranking example

6.2 Estimations of schedules’ parameters  

In the experiments  below  the set of vessels with  their parameters  (Name,  ID, Dead Weight,  Capacity,  Speed(in  knots),  Fuel  Consumption  Costs,  Fuel  Consumption  at  the  base,  Fuel  Consumption  at  the  installations,  Fuel  consumption  during  sailing)  represented  in  Table  23  has been used. 

 

  Table 23. Parameters of the vessels involved into the simulation

 

Vessels  above  are  serving  the  set  of  installations  and  the  supply  base  situated  at  the  Norwegian  continental  shelf  nearby  Stavanger,  which  are  shown  in  Table  23.  Such  parameters as geographical locations, ID, lay times open and closing hours are used as input  parameters for these installations, shown in Table 25. 

 

  Table 24. Parameters of the simulation

 

Alternative RC value

Schedule6 0

Schedule5 0.694523 Schedule3 0.757824 Schedule1 0.766994 Schedule4 0.781499 Schedule2 0.818565

# 3

#Vessel Id Dead Weight Capacity Speed MinSpeed MaxSpeed FCCosts(kr/tonn) FCSailing(tonn/h) FCBase(tonn/h) FCInstallation(tonn/h)

TBN1 0 4847 1000 12 6 20 5000 0.43 0.08 0.26

TBN2 1 4847 1000 12 6 20 5000 0.43 0.08 0.26

TBN3 2 4847 1000 12 6 20 5000 0.43 0.08 0.26

Summer

#Start_Hour Finish_Hour Weather_Parameters_CountClusters Horizon ReplicationsNum ClusterCrossingDt Improvements

2209 6576 3 3;2;2 15 270 1 0.1 0

Winter

#Start_Hour Finish_Hour Weather_Parameters_CountClusters Horizon ReplicationsNum ClusterCrossingDt Improvements

-2184 2208 3 3;2;2 15 270 1 0.1 0

In document Evaluation of supply vessel schedules robustness with a posteriori improvements (sider 91-97)