3.2.1. O Cálculo com Geometria Analítica – Leithold
Escolhemos esse livro para investigação porque, embora sua 1ª edição seja de 1968, ele continua presente nas ementas básicas de muitas universidades brasileiras, inclusive na instituição onde a presente pesquisa foi realizada. É, provavelmente, um dos
livros mais ricos em exemplos resolvidos e demonstrações que normalmente são encontradas em livros de Análise Real.
Iniciaremos a análise com a apresentação da obra feita pelo autor, seu público alvo e objetivos (LEITHOLD, 1994, p. ix):
O Cálculo com Geometria Analítica foi planejado para futuros matemáticos e para estudantes cujo interesse primário seja Engenharia, Ciências Exatas e Humanas, ou áreas não-técnicas. As explanações passo-a-passo, os inúmeros exemplos descritos e a ampla variedade de exercícios continuam a ser os aspectos relevantes do livro. Uma vez que um livro-texto deve ser escrito para o estudante, empenhei-me em manter uma apresentação de acordo com a experiência e a maturidade de um principiante, sem deixar que qualquer passagem fosse omitida ou ficasse sem explicação. Espero que o leitor tome consciência de que as demonstrações dos teoremas são necessárias; procurei torná-las bastante motivadoras e explicá-las cuidadosamente, de forma que sejam compreensíveis para o estudante que adquiriu um nível razoável de conhecimentos de secções que as precedem.
O Capitulo 2, intitulado Limites e Continuidade, está organizado nas seguintes seções:
2.1) O Limite de uma Função
2.2) Teoremas sobre Limites de Funções 2.3) Limites Laterais
2.4) Limites Infinitos 2.5) Limites no Infinito
2.6) Continuidade de uma Função em um Número
2.7) Continuidade de uma Função Composta e Continuidade em um Intervalo
2.8) Continuidade de Funções Trigonométricas e o Teorema do Confronto de Limites 2.9) Prova de Alguns Teoremas sobre Limites de Funções (Suplementar)
2.10) Teoremas Adicionais de Limites de Funções (Suplementar)
Limitaremos a discutir a apresentação da noção de limite de função e sua definição formal, de acordo com os objetivos dessa pesquisa.
A noção de limite é inicialmente explorada com a função ( ) = , cujo domínio é { ∈ ∕ ≠ 1}. Investigam-se os valores de ( ) quando x está próximo de 1, excluindo o 1. Essas aproximações são apresentadas utilizando tabelas e também de
maneira descritiva, verif aproxima de 5.
Em seguida o a 5 quanto desejarmos, to outra maneira de dizer ( ) − ) tão pequeno e 1, isto é, ( − 1 ) su tornar essa linguagem m
U p le n ta Figura 3: Relação entr
tangente no pon Fonte: Leithold (199
Figura 4: Relação entre tangente no pont Fonte: Leithold (1994
rificando-se então que, à medida que x se ap
autor afirma que podemos tornar os valores d tomando x suficientemente próximo de 1. Con r isso é tornar o valor absoluto da diferença no quanto desejarmos, tomando o valor absolu ) suficientemente pequeno. Então, o autor sug
mais precisa (LEITHOLD, 1994, p. 57):
Uma maneira mais precisa de notar isso é através para essas pequenas diferenças. Os símbolos com letras gregas (épsilon) e (delta). Assim, enu número dado positivo existe um número esco tal que se − 1 for menor que e − 1 ≠ tre secante e onto P 994, p. 56) Tabela 1: x aproxima de 1 Fonte: Leithold (19 tre secante e nto P 94, p. 56) Tabela 2: x aproxima Fonte: Leithold (1 aproxima de 1, f(x) se de f(x) tão próximos de ontinuando, afirma que a entre f(x) e 5, isto é, luto da diferença entre x gere a necessidade de
és do uso de dois símbolos comumente usados são as nunciamos que para todo scolhido apropriadamente, (isto é, ≠ 1), então e 1 pela esquerda 1994, p. 56) a de 1 pela direita (1994, p. 57)
( ) − será menor do que . É importante observar que o tamanho do depende do .
Em seguida, a validade da afirmação anterior é verificada numericamente, atribuindo valores para ε (0,2; 0,002; ...) e da obtenção de respectivos valores para δ (0,1; 0,001; ...) e justificada geometricamente, através do seguinte gráfico:
Segue então, a seguinte definição (LEITHOLD, 1994, p. 58 ):
Seja f uma função definida para todo número real em algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a. O limite de f(x) quando x tende a a será L, escrito como lim → ( ) = ! se a seguinte afirmativa for verdadeira: Dado > qualquer, existe > , tal que se < − $ < então ( ) − ! < .
A partir daí, são apresentados exemplos explorando a definição acima. No primeiro exemplo, é dado um numérico pedindo que o respectivo seja encontrado. Já no segundo exemplo, o autor solicita uma demonstração formal: “Prove pela definição que lim → (4 − 7) = ”. Os demais exemplos seguem essa mesma linha.
Em seguida, é apresentada uma lista com 44 (quarenta e quatro) exercícios dos quais 22 (vinte e dois) exigem algum tipo de prova.
Apenas para registro, na próxima seção referente aos teoremas de limites são enunciados 12 (doze) teoremas, dos quais 8 (oito) são demonstrados e 4 (quatro) deixados ao leitor como exercícios.
Em relação a essa obra, algumas questões podem ser levantadas como, por exemplo, a falta de explicação acerca do surgimento do conceito de limite. Há apenas uma
Figura 5: Gráfico mostrando a relação − na definição de limite Fonte: Leithold (1994, p. 58)
explicação de que as duas operações matemáticas fundamentais em Cálculo são a diferenciação e a integração e que ambas tem por base a noção de limite. Outra observação importante é a falta de problematização. Não aparece na introdução do texto nem em seu escopo, nenhum problema motivador que leve à construção do conceito. O uso da linguagem natural é mínima, prevalecendo sempre a linguagem matemática. Quanto à questão da visualização, percebemos uma preocupação do autor com a apresentação de gráficos e figuras que procuram justificar alguns resultados.
Embora o autor considere que a variedade de exercícios permite a utilização do livro em vários cursos, não percebemos realmente uma grande variedade no padrão de exercícios, mas sim uma grande quantidade de exercícios. Os exemplos realmente são explicados passo a passo, mas questionamos o fato do livro ser destinado a estudantes iniciantes. Em nosso entendimento, esse livro é uma grande obra no universo da Matemática, sendo uma referência para professores de Cálculo, ao utilizá-lo em seus estudos próprios ou como auxiliar na elaboração das aulas. Entretanto, como livro didático para estudantes, seu uso mais apropriado parece ser o de material de pesquisa para aprofundamento dos estudos.
Em relação à formação da imagem conceitual, acreditamos que o uso apenas dessa obra pode gerar uma imagem restrita do conceito de limite, uma vez que é muito direcionada para a definição formal desse conceito.
3.2.2. Cálculo – Thomas
Iniciaremos a análise dessa obra com a apresentação feita pelo próprio autor (THOMAS, 2009, p. ix):
Tentamos escrever o livro da maneira mais clara possível. Além disso, reestruturamos o conteúdo, para que se tornasse mais lógico e adequado ao currículo universitário padrão. A experiência nos ensinou muitas coisas, que nos ajudaram a criar um livro útil e atraente para os estudantes.[...] Ao terminar este livro, os alunos estarão familiarizados com a linguagem matemática – o suficiente para aplicar os conceitos de cálculo em inúmeros problemas da ciência e da engenharia.
Em relação ao nível de rigor, o próprio autor compara a edição (11ª edição) com as anteriores e afirma que esta é mais consistente ao longo de toda a obra e ainda diz que são oferecidas explicações formais e informais, salientando deixar claras as diferenças
entre ambas e que também foram incluídas nessa obra definições precisas e provas acessíveis aos estudantes (THOMAS, 2009).
Em relação ao conceito de limite, este é apresentado como uma ideia central que distingue o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria, sendo fundamental para calcular a tangente a uma curva ou a velocidade de um objeto. Acerca da abordagem do livro para o conceito, o autor afirma: “Desenvolveremos o conceito de limite, primeiro intuitivamente e depois formalmente”. (THOMAS, 2009, p. 66)
Aqui, o conceito de limite é apresentado no Capítulo 2, intitulado Limites e Continuidade, que está organizado nas seguintes seções:
2.1) Taxas de variação e limites
2.2) Como calcular limites usando as leis do limite 2.3) Definição precisa de limite
2.4) Limites laterais e limites envolvendo o infinito 2.5) Limites infinitos e assíntotas verticais
2.6) Continuidade
2.7) Retas tangentes e derivadas
Limitar-nos-emos a discutir a forma como o conceito de limite foi introduzido e também sua definição formal.
O autor introduz o conceito de limite de função utilizando problemas que levam à construção da ideia de limite, como cálculo de velocidade média, de velocidade instantânea e ainda taxas médias de variação e retas secantes. Uma qualidade peculiar desses problemas é que não se limitam apenas ao aspecto geométrico. Como exemplo, um dos problemas apresentados discute o crescimento de uma população laboratorial, uma população de moscas-da-fruta (Drosophila) num experimento de 50 dias ilustrado na figura 6 a seguir. Os problemas são ilustrados por meio de gráficos e tabelas.
Após esses problemas, o autor apresenta as taxas instantâneas como valores-limite das taxas médias e que taxas instantâneas e retas tangentes estão intimamente ligadas e aparecem em muitos outros conceitos e, pela primeira vez, aborda a necessidade de investigar o processo pelo qual esses valores-limite ou limites são determinados.
A seguir, apresenta uma definição informal de limite (THOMAS, 2009, p. 70):
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto
talvez em x0. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L (tão
próximo de L quanto quisermos), para todos os valores de x suficientemente próximo de x0, dizemos que f tem limite L quando x tende a x0e escrevemos lim → ( )= !.
Em seguida, o autor argumenta que essa definição é informal porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente próximo” são imprecisas, seu significado depende do contexto, e explica: “Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo pode significar alguns centésimos de milímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz”. THOMAS (2009, p. 70)
A partir daí, discute o comportamento da função ( ) = próximo de x = 1 e afirma que lim →1 2−1−1= 2, justificando esse resultado por meio de gráficos contidos nas figuras 7.1 e 7.2 a seguir e na tabela 3 a seguir:
Figura 6: Crescimento de uma população de moscas das frutas num experimento controlado
Mostra, em seguida, que o valor do limite não depende do modo como a função é definida em x0, discutindo alguns exemplos e sempre justificando graficamente. Segue uma lista de exercícios variados e o autor apresenta uma preocupação em inserir problemas cuja solução envolva um ambiente informatizado.
Na seção 2.3, o autor apresenta a definição precisa de limite depois de fazer uma discussão numérica para os valores de ( , usando a função ) = 2 − 1.
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto talvez
em x0. Dizemos que o limite de f(x), conforme x se aproxima de x0, é o
número L e escrevemos lim → ( )= ! se para cada número > existir um número correspondente > , tal que, para todos os valores de x, < − * < ⇒ ( ) − ! < . (THOMAS, 2009, p. 86):
Figuras 7.1 e 7.2: Gráfico de f idêntico ao da reta y= x + 1, exceto em x = 1 Fonte: Thomas (2009, p. 70)
Tabela 3: Mostra que quanto mais próximo x estiver de 1, mais próximo f(x) parece estar de 2 Fonte: Thomas (2009, p. 71)
Então, reforça a definição por meio de uma interpretação geométrica contida na figura 8 a seguir.
Em relação a esse livro, observamos que não há uma preocupação muito grande em demonstrar os resultados, mas apenas em enunciá-los e verificar a validade destes por meio de exemplos. Dos teoremas enunciados, num total de 10 (dez), apenas 2 (dois) foram demonstrados.
Quanto à linguagem utilizada, há uma forte presença da linguagem natural associada à linguagem matemática, sendo este talvez o ponto de maior destaque no capítulo.
Percebemos uma preocupação com a visualização, pois o livro é ricamente ilustrado e, ainda, há a presença de tipos variados de exercícios, inclusive com questões discursivas e, como já citamos, exercícios que envolvem o uso de tecnologias.
Acreditamos que esses aspectos do livro contribuem para a formação de uma imagem conceitual mais ampla e que incorpore elementos algébricos, geométricos e linguísticos.
3.2.3. Cálculo – Stewart
Figura 8: Relação entre e na definição de limite Fonte: Thomas (2009, p. 86)
Consideramos importante iniciarmos a análise desse livro apresentando a visão do autor sobre a sua obra e o objetivo principal que, segundo Stewart (2009, p. v), é a compreensão dos conceitos por parte dos alunos:
A ênfase aqui é na compreensão de conceitos. Creio que quase todos concordam que este deve ser o objetivo principal do ensino do cálculo. Na verdade, o ímpeto que norteia o atual movimento de reforma no ensino do cálculo vem da Conferência de Tulane de 1986, que teve como principal recomendação: Concentrar-se na compreensão de conceitos.Tentei atingir este objetivo por meio da chamada Regra dos Três: ”Os tópicos devem ser apresentados geométrica, numérica e algebricamente”. A visualização e as experiências numéricas e gráficas, entre outras ferramentas, alteraram fundamentalmente a forma como ensinamos os raciocínios conceituais. Mais recentemente a Regra dos Três expandiu-se em uma Regra dos Quatro, valorizando também o ponto de vista verbal (ou descritivo).
Antes de entrar propriamente no conteúdo do Cálculo, o autor fez o que chamou de “Uma Apresentação do Cálculo”, na qual inicia uma discussão a partir de problemas relacionados a cálculo de áreas, tangentes e velocidade, justificando o surgimento dos limites.
O Capitulo 2, intitulado Limites e Derivadas, está organizado nas seguintes seções:
2.1) Os Problemas da Tangente e da Velocidade 2.2) O Limite de uma Função
2.3) Cálculos usando as Propriedades dos Limites 2.4) A Definição Precisa de Limite
Em relação a essa seção 2.4, na apresentação do conteúdo do livro, o autor deixa claro se tratar de uma seção opcional, uma vez que traz a definição de limite por meio de
− .
O autor inicia retomando as ideias relacionadas à tangente, discutindo como seria possível tornar precisa essa ideia; em seguida, traz um exemplo sobre como encontrar uma equação da reta tangente à parábola ) = no ponto (1,1).
Esse exemplo traz uma série de ilustrações e o autor utiliza tabelas mostrando os valores de mpq para valores de x próximos de 1, sugerindo que a inclinação da reta
Ao fazer essa discussão, apresenta a inclinação da reta como sendo o limite das inclinações das retas secantes e expressa simbolicamente o limite pela primeira vez da seguinte maneira: mpq m P Qlim→ = e
2
1
1
lim
2 1−
=
−
→x
x
x , onde mpq é o valor da inclinação da reta
secante PQ e faz as ilustrações constantes na figura a seguir.
Em seguida apresenta um problema de ordem mais contextualizado que se refere ao flash de uma câmara fotográfica e ainda discute a questão da velocidade, o que consideramos importante, pois não restringe a ideia da tangente apenas ao contexto geométrico.
Figura 9: Relação entre secantes e tangentes
Fonte: Stewart (2009, p.73) Figura 10.1 e 10.2: Tabela mostrando os valores de mpq para valores de x próximos de 1
Fonte: Stewart (2009, p.73)
Figura 11: Q tende a P pela direita e pela esquerda Fonte: Stewart (2009, p.74)
Acreditamos que essa apresentação possibilita uma melhor formação da imagem conceitual, uma vez que não se restringe a uma única maneira de apresentação do conceito, mas como o próprio autor já se referiu no prefácio, há um cuidado em utilizar uma linguagem geométrica, numérica, algébrica e descritiva.
A seção 2.2 que trata especificamente do limite de uma função, inicia-se analisando o comportamento da função f definida por ( ) 2 2
+ −
=x x
x
f para valores próximos de 2, mas não iguais a 2. A análise é feita mediante uma tabela e um gráfico da função, mostrando que, quando x estiver próximo de 2 para valores maiores ou menores que 2, f(x) tenderá a 4. Stewart (2009, p. 78) afirma que:
De fato, parece que podemos tornar os valores de f(x) tão próximos de 4 quanto quisermos tornando x suficientemente próximo de 2. Expressamos isto dizendo que o limite da funçãof(x)=x2−x+2 quando x tende a 2 é 4. A notação para isso é: “lim → − + 2 = 4 ".
Em seguida, o autor apresenta a definição de limite (STEWART, 2009, p. 78):
Escrevemos lim → ( ) = ! e dizemos “o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L”, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a (grifos do autor).
O autor continua ressaltando a condição de x ≠a na definição de limite, mostrando que, ao procurar o limite de f(x) quando x tende a a, nunca consideraremos x = a e apresenta alguns gráficos mostrando que f(x) sequer precisa estar definida em a, ou seja, o que realmente importa são os valores próximos de a. Ilustra com os gráficos (a), (b) e (c) da figura 12, a seguir.
Figura 12: Gráficos (a), (b) e (c), mostrando lim → ( ) Fonte: Stewart, (2009, p.79)
Em seguida, apresenta uma série de exercícios resolvidos, sempre seguidos de tabelas e gráficos, o que permite uma melhor visualização do conceito e, consequentemente, uma condição mais adequada para a formação da imagem conceitual.
É importante ressaltar que o autor traz, em seguida, a definição de limites laterais já introduzidos em exemplos anteriores e também limites infinitos, trabalhando com afinco a questão das assíntotas verticais.
Logo após, segue uma lista de 42 (quarenta e dois) exercícios variados que fazem com que o aluno escreva o que entende por limite, faça análise de gráficos, inclusive em diferentes contextos, esboce gráficos que satisfaçam as condições de limites exigidas e exercícios que levem os alunos a estimarem o valor dos limites.
Cabe mencionar ainda a existência de atividades que requerem o uso de tecnologias. Consideramos esse vasto leque de atividades importante para o aluno e também para o professor, especialmente nas atividades que envolvem aplicações e o uso de tecnologias.
Em seguida, o autor apresenta as propriedades de limites, usando exemplos, deixando claro que as demonstrações se encontram em um dos apêndices do livro e que apenas uma delas será demonstrada na seção 2.4, quando apresenta a definição formal de limites via − , lembrando, mais uma vez, que se trata de uma seção opcional.
Segue, então, uma lista de 62 (sessenta e dois) exercícios nos quais aparecem os cálculos de limite mais usuais, mas não se resumindo a estes.
Consideramos importante para a nossa pesquisa registrar e analisar a maneira como o autor apresenta a seção 2.4 do livro.
Motivando a necessidade de uma definição mais precisa do conceito de limite para alguns propósitos, o autor questiona frases como “x está próximo de 2” e “f(x) aproxima-se cada vez mais de L” considerando-as vagas; daí a necessidade de tornar a definição do conceito mais precisa.
Apresentaremos a forma que o autor utilizou para chegar à definição formal via − . Stewart (2009, p. 97): inicia o assunto com a função ( ) = .2 − 1 /( ≠ 3
6 /( = 32 pontuando que:
É intuitivamente claro que quando x está próximo de 3, mas ≠ 3, então f(x) está próximo de 5 e, sendo assim, lim → ( ) = 5. Para obter informações mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x está próximo de 3, fazemos a seguinte pergunta: Quão próximo de 3 deverá estar
A distância de x a 3 é − 3 , e a distância de f(x) a 5 é ( ) − 5 , logo nosso problema é achar um número tal que ( ) − 5 < 0,1 se
− 3 < mas ≠ 3.
A partir desse ponto, o autor busca valores numéricos para em função de , chegando à conclusão de que =4. Esse exemplo também é apresentado graficamente.
Então, o autor define de forma precisa o conceito de limite (STEWART, 2009, p. 98):
Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e escrevemos lim → ( ) = ! se para número > 0 houver um número > 0 tal que se 0 < − $ < então
( ) − ! < . (grifo do autor)
Ainda existe uma preocupação com o ponto de vista verbal, pois o autor afirma que a definição de limite pode ser expressa em palavras da seguinte forma: “lim → ( ) = ! significa que a distância entre f(x) e L fica arbitrariamente pequena tomando-se a distância de x a a suficientemente pequena (mas não 0)” (STEWART, 2009, p. 99).
A definição de limite também é apresentada em termos de intervalo e enunciada da seguinte forma: “lim → ( ) = ! significa que para todo > 0 (não importa quão pequeno for ) podemos achar > 0, tal que se x estiver no intervalo aberto ($ − , $ +
( ≠$, então f(x) estará no intervalo !− ,!+ ” (STEWART, 2009, p. 99).
A definição também é interpretada geometricamente por meio do seguinte diagrama de flechas contido nas figuras 13 e 14 a seguir.
Figura 13: Diagrama de Flechas Fonte: Stewart (2009, p.99)
Figura 14: Diagrama de Flechas apresentando a relação − na definição de limite Fonte: Stewart (2009, p.99)
Em seguida, o autor reforça a definição por meio da interpretação geométrica em termos do gráfico de uma função, conforme ilustrado na figura 15 a seguir.
O autor apresenta uma série de exercícios resolvidos e define formalmente limites laterais; em seguida, demonstra a propriedade da soma de limites.
Resumindo, o autor utiliza 34 (trinta e quatro) páginas para a apresentação do conceito de limite, incluindo os exercícios, sendo que apenas 6 (seis) páginas são destinadas à formalização por meio de − e, nesse percurso, apenas um único teorema é demonstrado no corpo do texto, sendo os demais apresentados em apêndices.
Acreditamos que este tipo de apresentação permite que o aluno tenha acesso ao conceito de forma gradativa e que considere vários aspectos desse conceito favorecendo, portanto, a formação da imagem conceitual e, consequente, definição conceitual.