Funn fra kvantitative analyser av spørreskjemadata

Iniciaremos com um pequeno cenário de algumas pesquisas relacionadas ao ensino de limites.

Diante do que foi exposto até aqui, percebemos que houve um empenho de grandes matemáticos para que o conceito de limite fosse definido como hoje o é. Então, parece-nos natural pensar que, para nossos estudantes de Cálculo, não é fácil a compreensão / aprendizagem desse conceito.

De uma maneira geral, o estudo de limites de funções integra a ementa da disciplina de Cálculo I, a qual normalmente aparece nas estruturas curriculares de cursos como Matemática (Licenciatura e Bacharelado), Engenharias, Economia, dentre outros, nos primeiros períodos.

Uma das discussões presentes na literatura é a dificuldade de ensinar e aprender o conceito de limite, como mostra uma pesquisa de Bernard Cornu (1991), realizada em 1983, ao destacar a importância do conceito para o desenvolvimento de outros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral sendo um tipo de “pensamento necessário” para a construção de uma Matemática avançada.

Aqui, cabe destacar que acreditamos que o conceito de limite realmente é necessário para a construção de conceitos como derivada e integral, principalmente na forma como o Cálculo está hoje estruturado nos currículos públicos dos cursos de Ciências Exatas. Entretanto, há de se considerar que a própria História do Cálculo nos mostra que o surgimento desses conceitos se deu na ordem inversa: integral, derivada e limite. Talvez a formalização da estrutura matemática tenha contribuído para a ordem atual do ensino de Cálculo.

Cornu (1991) discute de forma rápida a questão relacionada ao conceito formal e a intuição, deixando claro que alguns aspectos relativos à manipulação algébrica do conceito de limite são privilegiados em relação ao próprio conceito em si. Apresenta ainda algumas outras noções ligadas à noção de limite e a obstáculos cognitivos para seu entendimento como proposto pelos matemáticos. Organiza-os em três tipos: obstáculos genéticos e psicológicos, obstáculos didáticos e obstáculos epistemológicos. E, finalmente, apresenta algumas estratégias para o ensino do conceito de limite, visando uma melhor compreensão pelos que o estudam pela primeira vez.

Para o pesquisador, o conceito de limite é de difícil apreensão e, consequentemente, traz dificuldades também para quem o ensina. É possível perceber que os alunos, de uma maneira geral, são capazes de realizar longas listas de atividades envolvendo tal assunto, sem que realmente tenham compreendido o conceito.

Cornu (1991) acredita que a dificuldade no ensino e na aprendizagem do conceito de limite não se restringe à riqueza e complexidade do assunto, mas também reside no fato de que os aspectos cognitivos envolvidos nesse processo não podem ser gerados apenas a partir da definição matemática. Há alguns aspectos do conceito de limite que apenas são compreendidos pela intuição, que é o caso do caráter dinâmico deste conceito. O fato é que, de uma maneira geral, os estudantes acabam não se apropriando do conceito formal de limite: “Lembrar a definição de limite é uma coisa, adquirir a concepção fundamental é outra” (CORNU, 1991, p. 153).

Outra questão que Cornu (1991) discutiu foi o que chamou de concepções espontâneas, descritas como concepções relacionadas a uma noção, que ocorrem antes de seu ensino formal. Os estudantes trazem as suas próprias ideias, intuições e imagens que vêm da própria experiência, anterior ao ensino formal de um tema ou conceito. Segundo Cornu (1991), para a maioria dos conceitos matemáticos, o ensino não começa em um território virgem. No caso dos limites, um agravante é a linguagem coloquial, na qual expressões como “tender a” e “limite” tem significados diferentes para os estudantes (TALL e SCHWARZENBERGER, 1978) e para os professores que a utilizam no contexto técnico da aula de Matemática.

Ainda segundo Cornu (1991), é ilusão acreditar que, diante de uma teoria formal, tais concepções espontâneas desaparecem; ao contrário, misturam-se à linguagem técnica dando origem a uma concepção pessoal acerca da ideia apresentada, que nem sempre corresponde à concepção como entendida pela comunidade dos matemáticos.

Outra noção importante para o ensino e aprendizagem, de uma forma geral, que o autor discute, é a noção de obstáculo cognitivo. Ele a considera relevante para identificar dificuldades encontradas pelos estudantes, no processo de aprendizagem e para ajudar a determinar estratégias mais apropriadas de ensino. Esses obstáculos foram classificados em três tipos: os obstáculos genéticos e psicológicos, os quais ocorrem como resultado do desenvolvimento pessoal do estudante; os obstáculos didáticos, os quais ocorrem como resultado do ensino e do professor; e os obstáculos epistemológicos, os quais ocorrem pela própria natureza dos conceitos matemáticos.

Este último tipo, obstáculos epistemológicos, foi introduzido por Gaston Bachelard (1983). Para o pesquisador, os obstáculos epistemológicos têm duas características principais:

1) Eles são inevitáveis e essenciais na constituição do conhecimento a ser adquirido;

2) Eles são encontrados, ao menos em parte, no desenvolvimento histórico do conceito.

Para Cornu (1991), em relação ao conceito de limite, existem quatro obstáculos epistemológicos na sua construção histórica:

1) A ausência de relações entre a geometria e os números;

2) A noção do infinitamente grande e do infinitamente pequeno;

3) O aspecto metafísico da noção de limite;

4) A dúvida se o limite pode ser atingido ou não.

Os dois primeiros obstáculos levaram muito tempo para serem superados e possibilitar a construção formal do conceito. Cornu (1991) avalia que tal questão, da falta de ligação da geometria com os números, impediu que o conceito de limite fosse formulado ainda pelos gregos, pelo método da exaustão. A ideia do infinitamente grande e infinitamente pequeno gerou conflitos entre grandes nomes da matemática, tais como Newton, conforme visto no capítulo anterior, ou D’Alembert, que se opôs ao uso dos infinitesimais e tentou removê-los do Cálculo Diferencial.

Quanto aos dois últimos obstáculos mencionados, estes geram conflitos entre os estudantes até hoje. De fato, a questão do aspecto metafísico do conceito de limite gera perguntas tais como: “isto realmente é Matemática?” E dúvidas quanto ao limite ser atingido ou não são objetos de pesquisa em nossas salas de aula, refletindo a dificuldade na construção e apropriação do conceito formal expresso na definição de limite.

O autor ainda ressalta que, certamente, existem outros obstáculos epistemológicos em relação à noção de limite e que uma maneira valiosa para localizá-los são os erros

cometidos pelos alunos, os quais, quando analisados, permitem encontrar melhores estratégias de ensino.

Cornu (1991) finaliza seu trabalho ressaltando a importância dos professores reconhecerem as dificuldades relacionadas ao conceito de limite e que apenas uma exposição clara das ideias não é suficiente para que os estudantes compreendam tal conceito.

Uma sugestão de Cornu (1991) para os professores é que, antes de começar a trabalhar com a noção de limite, os estudantes tenham a possibilidade de trabalhar com atividades adequadas para ajudá-los a tomar consciência das próprias concepções espontâneas, imagens, intuições e experiências que virão à tona quando se iniciar o processo de aprendizagem de limites; em particular, deve-se discutir os diferentes significados das palavras utilizadas dentro desse contexto.

Enfim, de uma maneira geral, é possível perceber, pelos argumentos do autor e de nossa própria experiência, que o ensino e a aprendizagem do conceito de limite é uma tarefa difícil, mas que não pode passar despercebida nos cursos de Cálculo, uma vez que a compreensão desse conceito pode contribuir para uma real compreensão de outros conceitos, como continuidade, derivada e integral, especialmente na perspectiva como o Cálculo está hoje estruturado nos currículos públicos.

Outra pesquisa que também busca reconhecer os obstáculos epistemológicos em relação ao conceito de limite foi realizada por Anna Sierpinska (1985). A pesquisadora constatou, numa investigação junto a quatro estudantes de Cálculo, divididos em grupos de dois, a existência de diversos tipos de obstáculos ligados à aprendizagem da noção de limites, assim classificados por ela:

1) Obstáculos relacionados a um certo horror ao infinito;

2) Obstáculos relacionados à noção de função;

3) Obstáculos relacionados a fundamentos geométricos;

4) Obstáculos relacionados a fundamentos de lógica;

Ao comentar sobre os obstáculos constatados por ela, afirma: “O conjunto de obstáculos que nos parece mais importante é o que resulta da recusa dos conjuntos infinitos. Trata-se de horror ao infinito” (SIERPINSKA, 1985, p. 39).

É interessante observar que Cornu (1991) discute os obstáculos acerca da construção histórica do conceito de limites e sua definição formal e Sierpinska (1985) discute os obstáculos relativos à aprendizagem do conceito de limite. Analisando ambos os conjuntos de obstáculos, percebemos que ambos estão presentes na sala de aula, mesmo os que se referem à construção histórica, uma vez que cada estudante deve construir a sua própria concepção acerca do conceito e, é claro, espera-se que esta esteja de acordo com a comunidade dos matemáticos. Em particular, o horror ao infinito se faz presente historicamente e, para Cornu (1991), foi superado a partir da construção formal do conceito, enquanto Sierpinska (1985) o reconhece como um dos mais importantes para a aprendizagem do conceito de limite.

Já Luc Trouche (1996) investiga a relação entre o processo de instrumentação e o processo de conceituação sobre a noção de limite de função em um ambiente em que se utiliza a calculadora gráfica como ferramenta para a aprendizagem; reúne os obstáculos relativos ao conceito de limite citados por Cornu (1983) e Sierpinska (1985) nos seguintes obstáculos:

1) Os obstáculos atomistas, que abrangem os obstáculos dos infinitamente pequenos de Cornu e os obstáculos relacionados à noção de funções de Sierpinska;

2) Os obstáculos geométricos, como uma curva tende a se aproximar de sua assíntota;

3) Os obstáculos cinemáticos-monótonos, como quando a ideia do limite é associada a uma aproximação numérica;

4) Os obstáculos algébricos, que se relacionam com a transferência automática dos métodos de álgebra das grandezas finitas às grandezas infinitas;

5) Os obstáculos lógicos, onde o controle da variável precede da função e é muito maior que a simples localização de eventuais quantificadores.

Essa pesquisa aponta para a necessidade de ferramentas de controle para uma aprendizagem eficaz. Três delas devem ser levadas em consideração, de acordo com Trouche (1996): a epistemológica que indica não se poder falar do conceito de limite, sem abordar o seu significado; a tecnológica, cuja integração das ferramentas computacionais é de responsabilidade do professor; uma análise cognitiva, pois, de acordo com o foco sobre os perfis dos estudantes, é uma condição indispensável para gerir a sala de aula, a mais necessária em uma atividade com instrumentos.

Diante dessas pesquisas e de nossa própria experiência como docente e discente de Cálculo, reafirmamos, mais uma vez, que a tarefa do ensino e aprendizagem de limites não é simples, mas complexa, e requer atenção especial dos professores e pesquisadores.

Dentro dessa perspectiva, Wanderley Rezende (1994) observou que, para alunos e professores de Cálculo, as dificuldades de aprendizagem relacionadas à operação de limite estão associadas muito mais às suas dificuldades em manipulações algébricas (fatoração de polinômios, relações trigonométricas, simplificações algébricas, produtos notáveis, etc) do que à sua interpretação analítica. Já o mesmo pesquisador, Rezende (2003, p. 14) afirma que:

Assim, no contexto do ensino de Cálculo, pode-se dizer que a noção de limite de funções está mais caracterizada, portanto, como uma operação algébrica do que como uma operação analítica. Esta “algebrização” exacerbada da operação de limite caracteriza bem o que queremos dizer com a “prevalência da técnica sobre o significado”. Exercícios de técnicas de derivação e integração também preponderam sobre os exercícios de natureza conceitual.

É importante observar que Rezende (2003) apresenta a opinião de alunos e professores em relação à operação de limite, ou seja, a forma como o conceito vem sendo trabalhado, leva alunos e professores a crerem que o maior problema reside na manipulação algébrica do que na apropriação do conceito em si. Isso demonstra claramente que há uma preocupação geral com o resultado do cálculo do limite e não com o significado em si.

Frente aos obstáculos no ensino e aprendizagem do conceito de limite e dada a sua importância para a compreensão conceitual de derivada e integral, outros pesquisadores vêm buscando formas de enfrentar este processo de significação do limite, apresentando trabalhos cujo objetivo principal é minimizar as dificuldades que surgem em sala de aula.

Ivanete Zuchi (2005) é uma dessas pesquisadoras e deixa clara a sua intenção quando parte da premissa da existência de um obstáculo no processo de ensino e aprendizagem do conceito de limite e pondera que o desenvolvimento de uma nova metodologia pode contribuir de maneira significativa para a compreensão desse conceito.

Nesse trabalho, Zuchi (2005) integra duas áreas, a saber: a Didática da Matemática e a Inteligência Artificial. A Teoria das Situações, proposta por Brousseau, foi o referencial teórico da concepção e aplicação de uma sequência didática do conceito de limite. Essa sequência foi desenvolvida, inicialmente, no ambiente lápis e papel e, logo após, num ambiente informatizado, utilizando-se os recursos da Inteligência Artificial.

A questão norteadora da pesquisa de Zuchi (2005) foi: Que situações didáticas podem ser criadas no sentido de favorecer o processo de ensino e aprendizagem do conceito de limite?

Para responder a tal questão, a pesquisadora fez um estudo sobre os obstáculos referentes ao ensino e aprendizagem do conceito de limite e propôs a sequência didática a partir do lápis e papel até a utilização da informática.

A utilização da informática aconteceu por meio de um sistema especialista que, segundo Zuchi (2005, p. 20), são programas de computador planejados para adquirir e disponibilizar o conhecimento operacional de um especialista humano:

São frutos de mais de vinte anos de pesquisa e seu uso tem se difundido por vários países e contemplando diversas áreas, entre as quais podemos citar interpretação de dados, simulação, diagnóstico, projeto, planejamento, monitoramento, reparo, instrução e controle.

Zuchi (2005) integra o Grupo de Estudos de Informática Aplicada a Matemática – GEIAM, grupo de pesquisa da Universidade Federal de Santa Catarina e, para a realização desse trabalho, ela criou o protótipo Horos que, em grego, quer dizer limite. De acordo com ela, a sequência didática implementada contempla três módulos:

1) Um pouco de história do Cálculo: esse módulo traz alguns problemas motivadores que envolvem a ideia intuitiva do conceito de limite;

2) Limite do ponto de vista cinemático: esse módulo contempla o limite do ponto de vista cinemático, apresentando a ideia intuitiva de sequência numérica e, após isso, trabalha com limite de funções de maneira intuitiva, por meio de animações em recursos gráficos;

3) Limite do ponto de vista de aproximação: o protótipo Horos permite uma navegação linear ou aleatória, que permite chegar à definição de limite, via épsilons e deltas, que é o que autora chama de limite do ponto de vista de aproximação.

O programa Horos foi implementado em quatro turmas da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I, no Centro Tecnológico da Universidade Estadual de Santa Catarina, em Joinville – SC. Em uma dessas turmas, o protótipo foi aplicado sem o prévio conhecimento sobre o conteúdo de limite e, nas outras, após os professores terem trabalhado, em sala de aula, a definição de limite, do ponto de vista de aproximação. A aplicação do protótipo teve como finalidade a verificação de aspectos ligados à interface, à avaliação do produto e do contexto.

Diante dos resultados da pesquisa, Zuchi (2005, p. 206) diz que:

Na observação realizada em classe identificaram-se várias dificuldades no processo de ensino aprendizagem do conceito de limite. Alguns desses obstáculos já tinham sido observados no contexto histórico, tal como a dificuldade de se trabalhar com grandezas infinitesimais e com a noção do infinito. Uma dificuldade bastante acentuada foi a relação entre epsilon e delta na definição de limite pelo ponto de vista de aproximação. Constatou-se que essa dificuldade de aprendizagem era gerada por vários fatores, dentre os quais pode-se destacar: o obstáculo da linguagem matemática, a falha em conteúdos básicos como funções e inequações e principalmente, o obstáculo presente na passagem da noção intuitiva, a qual utiliza-se do ponto de vista cinemático, diretamente para a definição de limite pelo ponto de vista de aproximação, de uma maneira direta e formalizada.

Essa discussão parece reforçar a nossa hipótese de que a definição de limites via épsilons e deltas deve ser repensada, em um curso de Cálculo, visão corroborada por Reis (2001, p. 64):

Baseando-nos, principalmente, em nossa própria experiência profissional na docência do Cálculo, reconhecemos que o ensino de limites tem demonstrado ser um ponto de grandes questionamentos em relação à sua abordagem excessivamente rigorosa, segundo a ortodoxia epsilônica. Também encontramos respaldo teórico por várias pesquisas relacionadas ao ensino de limites, realizadas em diversos países e cursos.

O pesquisador intensifica a sua preocupação com os níveis de rigor que devem ser utilizados, em qualquer assunto matemático que se esteja ensinando, lembrando a

importância de avaliarmos o perfil do nosso aluno e qual o objetivo daquele aprendizado. Reis (2001, p. 79) sustenta:

Portanto, cabe a nós, professores de Cálculo e Análise, a avaliação de qual nível de rigor é conveniente atingir sem que, com isso, percamos o sentido e a real compreensão das ideias matemáticas. Para isso, devemos levar em consideração, fundamentalmente, o perfil do nosso estudante no que se refere a sua formação matemática anterior e aos objetivos das disciplinas que ministramos para os diversos cursos da carreira universitária, os quais formam profissionais com os mais diferentes aspectos.

Ainda em relação ao conceito de limite e sua construção, destacamos o trabalho de Lira (2008), cuja visão é corroborada por todos os outros pesquisadores aqui estudados, no que diz respeito à dificuldade no aprendizado de limites.

Este realizou uma pesquisa acerca da natureza do conceito de limite; para isso, buscou pesquisar os mecanismos cognitivos que estão envolvidos quando um sujeito atua sobre um problema acerca de tal conceito e ainda buscou elementos históricos para o embasamento dessa compreensão. Paralelamente a esse trabalho, também foi feita uma pesquisa sobre objetos digitais interativos e as possibilidades de utilizá-los na investigação dos mecanismos cognitivos. A teoria escolhida para a análise epistemológica foi a Epistemologia Genética de Jean Piaget, mais especificamente, a teoria relativa às relações lógicas, infralógicas e ao pensamento formal.

A principal questão de investigação do trabalho dele foi: Que objetos digitais e como utilizá-los para investigar o desenvolvimento de mecanismos cognitivos presentes no processo de construção do conceito matemático de limite (de uma função com domínio e imagem no conjunto dos reais) em aprendizes?

Para responder a tal questão e atingir o objetivo principal da pesquisa, que era utilizar o computador para investigar os mecanismos cognitivos envolvidos na construção do conceito matemático de limite, Lira (2008) buscou critérios para a elaboração de objetos digitais voltados para a aprendizagem matemática. Realizou um estudo sobre a construção histórica do conceito de limites que buscasse evidenciar os obstáculos epistemológicos para tal construção e os aspectos cognitivos associados a ela e, ainda, elaborou uma metodologia referendada na teoria de Piaget que permitisse evidenciar os mecanismos cognitivos, na construção do conceito de limite.

Nesse trabalho, foi utilizada a programação em LOGO e foram construídos dois objetos digitais que o autor chamou de “experimento da fita”, que é uma retomada dos paradoxos de Zenão e o “experimento da raiz quadrada de dois”. Esses instrumentos foram aplicados para alunos desde o 8º ano do Ensino Fundamental ao 3ºano do Ensino Médio, em um total de 38 experimentos. A escolha desses alunos se justificou pelo fato de Piaget já ter estudado o conceito do contínuo e ponto com crianças até treze anos e porque o objetivo da pesquisa era a construção do conceito e não, a sua formalização. Entretanto, para a análise, foram utilizados os resultados dos experimentos realizados com os alunos do Ensino Médio, em um total de 28.

Lira (2008, p. 63) justifica seus instrumentos quando diz que:

O conceito de limite depende do contínuo numérico que possui relação com a continuidade da reta e o conceito de contínuo, por sua vez, depende da existência dos números irracionais. Os números irracionais

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