3. Resultater
3.3. Spørreundersøkelse om erfaring med APD under koronapandemien
3.3.2. Funn fra analyse av kvalitative fritekstbesvarelser
Para Dreyfus (1991), o Pensamento Matemático Avançado consiste numa grande série de processos que interagem entre si de forma complexa, como por exemplo, os processos de representar, visualizar, generalizar ou ainda outros, tais como classificar, conjecturar, induzir, analisar, sintetizar, abstrair ou formalizar. Entre estes processos, destacam-se a representação e abstração; esta, por sua vez, exige a capacidade de generalização e síntese.
De acordo com Dreyfus (1991), não há distinção nítida entre muitos dos processos envolvidos nos Pensamentos Matemáticos Elementar e Avançado, mesmo que a Matemática avançada seja mais centrada nos processos de abstração, de definição e de dedução. Muitos dos processos mentais da Matemática avançada estão já presentes no pensamento das crianças sobre conceitos elementares da Matemática; por exemplo, no conceito de número e valor de posição. Esta também é a visão de Tall (1991) quando ressalta as semelhanças entre os ciclos do pensamento elementar e avançado, conforme citamos na introdução deste trabalho.
Os processos mentais, de acordo com Dreyfus (1991), não são exclusivamente usados em Matemática avançada nem são exclusivamente usados na Matemática. Abstrações são feitas em Física, representações são usadas em Psicologia, análises são usadas em Economia e visualização em Arte.
É possível pensar em tópicos da Matemática avançada de uma forma elementar e há bastante de avançado em alguns temas elementares. Dreyfus (1991, p. 26) e ressalta:
Uma característica distintiva entre o pensamento avançado e pensamento elementar é a complexidade e como ela é tratada. Conceitos avançados, tais como anéis, é provável que sejam muito complexos. A distinção está na forma como essa complexidade é gerenciada. Os processos poderosos são aqueles que permitem fazer isso, em especial abstração e representação. Por meio de abstração e representação, pode-se passar de um nível de detalhe para o outro e, assim, gerenciar a complexidade. (tradução nossa)
Dentre os processos envolvidos na construção do Pensamento Matemático Avançado, Dreyfus (1991) destaca a abstração como o ponto chave e acredita que o aluno que adquiriu a habilidade de, conscientemente, fazer abstrações a partir de situações matemáticas, atingiu o nível de Pensamento Matemático Avançado. Para Dreyfus (1991, p. 37):
Abstrair é primeiramente um processo construtivo – a construção de estruturas mentais a partir de estruturas matemáticas, isto é a partir de propriedades e de relações entre objetos matemáticos. Este processo é dependente do isolamento de propriedades e relações apropriadas. Requer a habilidade de trocar atenção dos objetos em si para a estrutura de suas propriedades e relações. Essa atividade construtiva mental por parte de um aluno é fortemente dependente da atenção do aluno, devendo enfocar nas estruturas que formarão parte do conceito abstrato, desviando-se daqueles que são irrelevantes no contexto pretendidos; a estrutura se torna importante, enquanto detalhes irrelevantes estão sendo omitidos, deste modo reduzindo a complexidade da situação. (tradução nossa) Gray e outros (1999) afirmam que o termo Pensamento Matemático Avançado tem sido usado mais no sentido do pensamento criativo de matemáticos profissionais quando imaginam, conjecturam e provam teoremas. Acrescentam ainda, que esse termo também se aplica ao pensar dos estudantes quando lhes são apresentados definições e teoremas criados por outros. Ainda pontuam que as atividades cognitivas, envolvidas no Pensamento Matemático Avançado, podem diferir grandemente de um indivíduo para
outro, incluindo aqueles que constroem a partir de imagens e intuições e outros, mais voltadas para a dedução lógica simbólica.
Em relação aos Pensamentos Matemáticos Elementar e Avançado, Gray e outros (1999, p. 7) destacam a noção de “procepto”, como sendo a adjunção de um processo relacionado a um conceito, ao afirmarem:
Portanto, nós vemos que a Matemática elementar tem dois métodos distintos de desenvolvimento; um com foco nas propriedades dos objetos na direção da geometria e outro nas propriedades dos processos, representados simbolicamente como proceptos. A Matemática avançada toma a noção de propriedade como fundamental, usando propriedades nas definições de conceitos, a partir dos quais uma teoria formal sistemática é construída (tradução nossa).
Ainda em relação à transição do Pensamento Matemático Elementar para o Pensamento Matemático Avançado, Gray e outros (1999) dizem que o mover da construção objeto definição para a construção definição objeto é considerado uma parte essencial dessa transição. Esta construção definição objeto envolve selecionar e usar critérios para as definições de objetos e isso pode inverter as experiências anteriores de relações e envolve uma transposição da estrutura do conhecimento.
Para Tall (1991), algumas considerações psicológicas são pertinentes para o estudo do Pensamento Matemático Avançado e que servem de bases para melhor compreensão deste assunto. Ele considera a dificuldade acerca da discussão da natureza da psicologia do Pensamento Matemático Avançado, baseando-se em Hadamard (1945)1, o qual afirma que a dificuldade fundamental é esse assunto envolver duas disciplinas: a Psicologia e a Matemática e os representantes de ambas as áreas são suscetíveis de ver o assunto de maneiras diferentes.
O psicólogo procura estender as teorias psicológicas ligadas aos processos de pensamento, na tentativa de uma compreensão, de forma mais complexa, acerca do domínio do conhecimento, enquanto o matemático busca soluções para o processo de pensamento criativo, na tentativa, talvez, de contribuir para um avanço na qualidade do ensino ou da pesquisa.
Tall (1991) deixa claro que o foco do trabalho é o que chama de ciclo completo da atividade do Pensamento Matemático Avançado: a partir do ato criativo de considerar
1 HADAMARD, J. The Psychology of Invention in the Mathematical Field. Princeton:
um problema no contexto da investigação matemática, chegar à formulação de conjecturas para a fase final de refinamento e prova.
Dentre algumas considerações cognitivas, esse autor salienta a existência de diferentes formas de pensar matematicamente, fundamentando seu argumento no trabalho de Poincaré (1913)2 que analisou os trabalhos de vários matemáticos, dentre eles, Weiertrass e Riemann (1826-1866) e considerou a existência de dois tipos específicos de mentes matemáticas: o primeiro tipo são os que consideram a lógica como fundamento de seus trabalhos, como se cada avanço fosse sendo dado passo a passo, enquanto o segundo tipo é guiado pela intuição. Esses dois tipos de mente são divididos, então, de duas formas, a saber: os que pensam analiticamente e os que pensam geometricamente.
Por outro lado, para Tall (1991), não existem apenas dois tipos de mentes matemáticas, mas muitas; e essas maneiras distintas de ver a Matemática levaram ao desenvolvimento de várias e diferentes vertentes da filosofia matemática, no início do século XX, como a visão intuicionista de Kronecker (1823 – 1891), a formalista de Hilbert (1862 – 1943) e a logicista de Russel (1872 – 1970).
No entanto, ele destaca que prevaleceu, no final do século XX, uma mistura da visão formalista e lógica, com a criação de um grande número de sistemas formais baseados em deduções lógicas, formulados a partir de definições e axiomas formais, que prevalecem até os dias atuais.
Tall (1991) destaca que a discussão anterior tem como objetivo salientar que qualquer teoria da psicologia da aprendizagem matemática deve levar em consideração, não só o crescimento das concepções dos alunos, mas as concepções dos matemáticos experientes, como mostra a própria história. “A Matemática é uma cultura compartilhada e há aspectos que são dependentes do contexto” (TALL, 1991, p. 6).
Existem muitas teorias concorrentes na Psicologia, entre elas a teoria Behaviorista, construída a partir da observação externa de estímulo e resposta e que, conforme Tall (1991), tem uma aplicação limitada para a Matemática, pois se aplica apenas aos pensamentos matemáticos mecanizados, como os algoritmos de rotina.
Por outro lado, temos a teoria construtivista, cujo principal representante é o psicólogo suíço Jean Piaget, o qual discute como as ideias são criadas na mente de cada indivíduo. Piaget estudou o desenvolvimento da criança até tornar-se adulta e identificou quatro etapas principais: a sensório-motora, a fase pré-operacional, a fase das operações
concretas e, finalmente, a fase das operações formais, no início da adolescência, quando o tipo de hipotética “se... então” torna-se possível.
Conforme Tall (1991), a teoria dos estágios de Jean Piaget foi estendida para níveis mais elevados, para abranger o Pensamento Matemático Avançado. Como exemplo, temos Ellerton (1985)3que sugeriu ser as três primeiras fases do ciclo de Piaget o primeiro nível de uma espiral do desenvolvimento cognitivo, no qual o estágio formal é o início de outro ciclo do mesmo tipo, em maior nível de abstração. Ainda Biggs e Collis (1982)4 sugeriram a repetição das operações formais em níveis sucessivamente superiores.
No entanto, para Tall, há dificuldade para estender a teoria de Piaget para níveis mais elevados de aprendizagem, pois, muito provavelmente, a maioria dos estudantes universitários não é capaz de chegar ao nível abstrato das operações formais.
Tall (1991) salienta ainda que a teoria do estágio pode ser apenas uma visão simplista, linear, de um sistema muito mais complexo de mudança, quando se trata da transição do Pensamento Matemático Elementar para o Pensamento Matemático Avançado.
Mas para Tall há um aspecto interessante na teoria de Piaget, o processo de transição mental de um estágio para outro. Durante essa transição, é possível a existência de um comportamento instável, pois é possível haver conflito entre a experiência anterior e as novas informações. Piaget utiliza os termos “assimilação” para descrever o processo pelo qual o indivíduo leva em consideração as novas informações e “acomodação” para o processo pelo qual a estrutura cognitiva do indivíduo deve ser modificado. Ele vê a assimilação e acomodação como eventos complementares (TALL, 1991).
De acordo com Tall (1991), Skemp (1979)5 apresenta ideias semelhantes, distinguindo dois casos, a saber: o primeiro é quando, no processo de aprendizagem, é exigido apenas uma expansão da estrutura cognitiva do indivíduo; no segundo, quando existe conflito cognitivo e, então, há necessidade de uma reconstrução do pensamento.
É justamente nesse processo de reconstrução que ocorrem as dificuldades de transição de uma fase para outra: “Essas transições ocorrem frequentemente na Matemática
3 ELLERTON, N. F. The Development of Abstract Reasoning – Results from a large scale mathematics study in Australia and New Zealand, 1985.
4BIGGS, J.; COLLIS, K. Evaluating the Quality of Learning: the SOLO Taxonomy. New
York: Academic Press, 1982.
avançada quando o indivíduo se esforça com a estrutura do novo conhecimento. Conflito é um fenômeno bem conhecido para a mente matemática” (TALL, 1991, p. 9).
Para Tall, o problema mais grave no aprendizado de Matemática avançada ocorre quando as novas ideias não foram satisfatoriamente acomodadas e entram em conflito com o conhecimento já construído, podendo ou não gerar um novo conhecimento.
Tall (1991) também acredita que os processos de abstração e generalização são fatores cognitivos que dificultam ou impedem o aprendizado de matemática avançada. De acordo com ele, a abstração é um objeto mental muito distinto, que é definido por uma lista de axiomas. Enquanto a generalização simplesmente envolve uma extensão dos processos conhecidos, a abstração requer uma reorganização mental volumosa.
Tall (1991) considera ainda que questões como rigor e intuição devem ser levadas em consideração, quando se trata do processo de ensino e aprendizagem de conceitos que requerem pensamentos matemáticos mais elaborados, descartando a possibilidade de uma visão dicotômica entre rigor e intuição.
Coadunando com esse ponto de vista, Reis (2001, p. 75) faz uma comparação em relação ao ensino de Cálculo e Análise, destacando a importância da complementariedade entre o rigor e a intuição em ambos: “Rigor e intuição caminham juntos, tanto no Cálculo como na Análise e ambos têm papéis igualmente importantes e complementares na formação do pensamento / conhecimento diferencial, integral e analítico, tanto de um professor de Matemática quanto de um matemático.
Enfim, acerca da construção do Pensamento Matemático Avançado, dois aspectos são apontados como fundamentalmente complementares por Tall (1991) na elaboração de conceitos e resultados: a criatividade, ao se gerar novas ideias e conceitos, e o convencimento da validade de certo resultado, por meio da prova matemática.
Dentro dessa perspectiva, noções que devem ser levadas em consideração, quando se trata da construção do Pensamento Matemático Avançado são a imagem conceitual e a definição conceitual, sobre as quais passaremos, agora, a discorrer.