3. Resultater
3.2. Fokusgruppeintervjuer med deltakere i nye APD-aktiviteter
Foram necessários quase 2.500 anos de história para que o conceito de limite fosse estabelecido da forma como é hoje, desde os paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C), passando pela Aritmetização da Análise com Weierstrass, no século XIX quando, segundo Geraldo Ávila (2006), a definição de limite de Cauchy – correta, porém, ainda eivada da noção espúria de movimento – é substituída pela definição puramente numérica: f( x)tem limite L com x tendendo a
x
0 significa que dado qualquer ε >0, existeδ >0 tal que seε
δ
−
<
<
−
<
x
x
f(x)
L
0
0 .Zenão de Eléia foi um filósofo grego que entrou para a história por causa dos seus famosos dons de dialética, segundo Antônio Brolezzi (1996, p. 22):
Zeno dizia que a ideia de infinitésimos é totalmente absurda, pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá
compor uma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então uma quantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá também: aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro não o faz menor, é simplesmente nada.
Ainda segundo o pesquisador, mais famosos ainda que esses argumentos são seus quatro paradoxos sobre a impossibilidade do movimento. Na forma que chegaram a nós, por meio de Aristóteles (384 – 322 a.C.) e outros, os que causaram maior agitação foram: o da Dicotomia, o de Aquiles, o da Flecha e o do Estádio. Apenas para ilustrar suas ideias, embora o mais conhecido seja o de Aquiles, iremos apresentar o paradoxo da Dicotomia, assim descrito por Brolezzi (1996, p. 22):
Zeno nos coloca frente à aparente impossibilidade de percorrermos um número infinito de distâncias num tempo finito. Imaginemos uma pessoa que deve atravessar uma sala de um lado a outro. Antes de chegar à parede oposta, deve evidentemente chegar à metade da sala. Antes disso, porém, deve percorrer a metade da metade, ou um quarto da distância. E assim por diante, sempre dividindo a distância pela metade, indefinidamente. Desse modo, a pessoa nunca chegará ao outro lado, pois terá que percorrer um número infinito de espaços, ainda que pequenos, num tempo evidentemente finito.
De acordo com Carl Boyer (2002), os argumentos de Zeno parecem ter influenciado profundamente o desenvolvimento da Matemática grega, influência que se compara com a da descoberta dos incomensuráveis, com a qual talvez se relacione. As grandezas deixam de estar associadas a números e passam a estar associadas a segmentos de reta. É a passagem da ideia do discreto para o contínuo; ao menos em parte, o reino dos números continuava a ser discreto, mas o das grandezas passava a ser contínuo.
Essa separação do discreto e do contínuo é quase uma separação completa entre a Teoria dos Números e a Geometria, mas que teve uma contribuição interessante: a Álgebra Geométrica, que consistia, segundo Brolezzi (1996), em resolver problemas algébricos utilizando a ideia de grandezas contínuas.
Antônio Lira (2008) destaca que os gregos não desenvolveram o Cálculo por duas razões: o mal-estar diante do infinito – chamado horror infiniti – e o fato de que eles não possuíam a linguagem algébrica.
Como diz Boyer (1974, p. 30), “os próprios conceitos que deram nascimento ao Cálculo – aqueles de variação e continuidade, do infinito e do infinitesimal – foram
banidos da Matemática grega por esta razão, sendo o trabalho de Euclides (300 a.C.) um monumento a esta exclusão”.
A partir desse ponto, vamos dar ênfase ao trabalho de Eudoxo de Cnido (morreu por volta de 355 a.C.), aluno de Platão (427 – 347 a.C.) que propôs outra definição de proporção, de caráter mais geral, uma vez que o conceito de proporção dos pitagóricos, associando a razão entre dois segmentos de reta à razão entre números inteiros, não podia ser aplicada no caso das grandezas incomensuráveis. Conforme Brolezzi (1996), com a nova definição de Eudoxo, os quatro termos da proporção puderam ser todos grandezas geométricas, evitando por completo qualquer extensão à ideia pitagórica de número. Dessa forma, Eudoxo constrói um instrumento útil que podia ser manuseado sem haver misturas entre números e grandezas geométricas, isto é, sem ferir o modo de pensar grego. Podia-se já falar da "razão entre as áreas de dois círculos" como sendo equivalente à "razão entre os quadrados construídos sobre os diâmetros dos círculos".
Segundo Boyer (2002, p. 63), de posse dessa definição, Eudoxo forneceu o lema que hoje tem o nome de “Lema de Arquimedes” e serviu de base para o método da exaustão, que é o equivalente grego de cálculo integral:
Dadas duas grandezas diferentes (ambas não nulas), se da maior subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, e do que restou subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, repetindo esse processo continuamente, restará uma grandeza que será menor que a menor grandeza dada.
A partir do método da exaustão, Arquimedes de Alexandria (287 – 212 a.C.), ocupou-se intensamente com o cálculo de áreas e volume de diversas figuras geométricas, inclusive do círculo e da esfera. Segundo Ávila (2006), o método da exaustão consistia em exaurir a figura dada por meio de outras; dessa forma, Arquimedes provou que a área do círculo é exatamente 2
r ⋅
π e provou que a razão da circunferência para o diâmetro está compreendida entre 71 10 3 + e 70 10
3 + . Além disso, outro feito importante creditado a Arquimedes foi a quadratura da parábola, ou seja, o cálculo da área do segmento de parábola, chegando à conclusão de que esta é
3
4 da área do triângulo nele inscrito, antecipando-se assim em mais de dezessete séculos aos resultados do Cálculo Integral, como afirma Brolezzi (1996, p. 27):
A diferença entre o método de exaustão e o limite do Cálculo Diferencial e Integral reside apenas no fato de os gregos não realizarem essa passagem ao infinito, pois não tinham noção de um continuum aritmético. Mas o tipo de argumentação é o mesmo, tanto no caso do atual limite quanto no método de exaustão geométrico. Pode-se talvez dizer que a noção de limite tivesse sido vislumbrada pelos gregos.
Merece destaque também a obra de Fermat (1601 – 1665). Segundo Boyer (2002), é possível que desde 1629, Fermat já estivesse de posse da sua Geometria Analítica, pois nesse período, ele fez duas descobertas importantes que se relacionam com o seu trabalho sobre lugares geométricos. A mais importante foi o chamado “Método para achar máximos e mínimos” que lhe rendeu, nas palavras de Laplace (1749 – 1827), o título de descobridor do Cálculo Diferencial, bem como co-descobridor da Geometria Analítica. Boyer (2002, p. 240) descreve assim o método:
Fermat estivera considerando lugares dados (em notação moderna) por equações da forma
y =x
n; por isso elas são hoje frequentemente chamadas “parábolas de Fermat” se n é positivo ou “hipérboles de Fermat” se n é negativo. Aqui temos uma geometria analítica de curvas planas de grau superior; mas Fermat foi além. Para curvas polinomiais da forma y = f(x)ele notou um modo muito engenhoso para achar pontos em que a função assume um máximo ou mínimo. Ele comparou o valor de f(x) num ponto com o valor de f(x+E) num ponto vizinho. Em geral esses valores serão bem diferentes, mas num alto ou num baixo de uma curva lisa a variação será quase imperceptível. Portanto para achar os pontos de máximo e de mínimo Fermat igualava f(x) e f(x+E), percebendo que os valores, embora não exatamente iguais, são quase iguais. Quanto menor o intervalo E entre os dois pontos, mais perto chega a pseudo-equação de ser uma verdadeira equação; por isso Fermat, depois de dividir tudo por E fazia E = 0. Os resultados lhe davam as abscissas dos pontos de máximo e mínimo do polinômio. Aqui tem-se o processo hoje chamado de diferenciação pois o método de Fermat equivale a achar( ) E x f E x f E ) ( lim 0 − + →
e igualar isso a zero. [...] O processo de Fermat de mudar ligeiramente a variável e considerar valores vizinhos é a essência da análise infinitesimal (grifo do autor).
Boyer (2002) afirma que, de forma evidente, Fermat ainda não possuía em mãos, a definição formal de limite, mas podemos perceber que o seu método para achar máximos e mínimos se assemelha muito ao que utilizamos hoje no Cálculo. É importante citar que durante os anos em que Fermat estava desenvolvendo sua Geometria Analítica, ele descobriu também como achar a tangente a uma curva algébrica da forma y = f(x)usando seu processo de valores vizinhos.
Enfim, no século XVII surgem os trabalhos de Isaac Newton (1642 – 1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) que são considerados os inventores do Cálculo Diferencial e Integral. O percurso de “invenção” do Cálculo traçado por eles teve interessantes diferenças, assim descritas por Brolezzi (1996, p. 29):
Newton e Leibniz chegaram ao Cálculo através de caminhos diferentes. Não só é diferente a linguagem com que ambos expressaram as ideias fundamentais do Cálculo, mas também em termos de concepção pode-se verificar uma diferença grande entre os trabalhos destes homens. Tanto Newton quanto Leibniz podem ser considerados como os primeiros a expressar a ideia da reciprocidade entre a diferencial e a integral, que constitui o Teorema Fundamental do Cálculo. Mas a maneira de ver o Cálculo era distinta.
Newton se referia a seu Cálculo como o “Método das Fluxões”, sendo a fluxão uma velocidade finita, e não uma quantidade infinitamente pequena. As variáveis eram consideradas como quantidades fluentes. Os conceitos mecânicos e cinemáticos eram usados como variáveis, o que equivale a considerá-las funções do tempo. Para Newton, o conceito fundamental do Cálculo é eminentemente cinemático e a ideia central é a de fluxão x, vetor velocidade de x, ou taxa de mudança da variável. “Trata-se da decomposição no eixo x do vetor velocidade do ponto” (BROLEZZI, 1996, p. 30). De acordo com Boyer (2002), Newton tentou definir o limite de uma função.
Já para Leibniz, a visualização do Cálculo se dá de forma estática, de acordo com Margaret Baron e Henry Bos (1985, p. 70). Ele considerava as variáveis como percorrendo sequências de valores infinitamente próximos. No seu Cálculo, há pouco uso de conceitos de movimento.
De acordo com Ávila (2006), uma das ideias fundamentais na criação do Cálculo de Leibniz é a de “triângulos característicos”. Dada uma curva qualquer, o triângulo característico num ponto qualquer P da curva é um triângulo retângulo formado pelos elementos infinitesimais dx, dy e ds; mediante este triângulo e outros semelhantes, ele obtém resultados importantes de quadratura, como mostra a figura abaixo:
De acordo com Ávila (2006), o cálculo de Leibniz, na sua origem, é mais complicado que o de Newton. No entanto, a sua grande vantagem é a notação, os símbolos “d” para derivada e “ ” para a integral, utilizados até hoje, foram introduzidos por Leibniz em 1675, e ainda as notações dx, dy, ds para elementos infinitesimais tem a grande conveniência de “sugerir” os próprios resultados.
Brolezzi (1996, p. 30) também compara os estilos de cada um, da seguinte forma:
Podemos dizer assim que, em termos de tendência, ou estilo, Newton teria chegado ao Cálculo pela via do contínuo, e Leibniz, pela via do discreto. Ambas as maneiras de abordar o problema mostraram-se igualmente úteis, pois, enquanto não estava estabelecida a noção de limites, as ideias de movimento contínuo e de infinitésimos discretos surgiram como tentativas de esquematizar as impressões sensíveis a respeito da variação (grifo nosso).
Entretanto, em ambos os Cálculos faltavam os fundamentos; tanto Newton como Leibniz tinham problemas com os infinitesimais, visto por ambos de maneiras diferentes, mas que operavam de maneiras parecidas, pois esses infinitesimais às vezes eram cancelados como fatores diferentes de zero, outras eram desprezados como se realmente fossem zero. “Essas operações contraditórias dominaram o Cálculo por muito tempo, até que surgissem trabalhos decisivos para a fundamentação lógica da disciplina no começo do século XIX” (ÁVILA, 2006, p. 191).
Destacaremos agora, os trabalhos de dois matemáticos que foram fundamentais na busca de uma construção rigorosa dos fundamentos do Cálculo e, portanto, para o
Figura 1 – Triângulos característicos Fonte: Ávila (2006, p. 189)
movimento que ficou conhecido como Aritmetização da Análise: Cauchy (1789 – 1875) e Weierstrass (1815 – 1897).
O processo de Aritmetização da Análise foi uma busca pela fundamentação do Cálculo não mais de maneira geométrica, mas sim por meio dos números. Segundo Ávila (2006), esse processo era, de certo modo, uma volta a Pitágoras.
Uma das principais contribuições de Cauchy para a Análise foi a definição quase tão precisa de limite como a que utilizamos hoje: “Quando valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a acabar diferindo dele tão pouco quanto se queira, este último chama-se o limite dos outros dados” (CAUCHY, 1829 apud BOYER, 2002, p. 355).
No entanto, segundo Reis (2001), talvez a maior contribuição de Cauchy não esteja no rigor da definição de limite, mas sim na concepção de infinitésimo como uma variável dependente: “Diz-se que uma quantidade variável se torna infinitamente pequena quando seu valor numérico decresce indefinidamente de modo a convergir para o limite zero” (CAUCHY, 1829 apud BOYER, 2002, p. 355).
A partir desse conceito de limite, Cauchy desenvolveu os conceitos de continuidade, diferenciabilidade e integral, cujas definições são, em sua essência, as utilizadas até hoje.
Porém, a busca pelo rigor levava a uma questão: a fundamentação do sistema de números reais, uma vez que a teoria de limites de Cauchy estava baseada apenas em uma noção intuitiva desses números.
A partir de então, segundo Reis (2001), Weierstrass defendeu a necessidade de que o sistema de números reais fosse tornado rigoroso, o que se concretizou no final do século XIX, com os trabalhos de Dedekind (1831 – 1916) e Peano (1851 – 1932) que mostraram como o sistema dos números reais pode ser deduzido de um conjunto de postulados para o sistema dos números naturais, conhecidos como “Axiomas de Peano” e “Cortes de Dedekind”, os quais permitiram a demonstração rigorosa dos teoremas fundamentais sobre limites sem utilizar recursos geométricos, criando dessa forma, uma nova forma de lógica matemática.
Assim, com Heine (1821 – 1881), aluno de Weierstrass na Universidade de Berlim, chegamos ao ponto onde começamos esta história: a definição formal de limite, formulada em 1872 e que foi apresentada no início do presente capítulo.