A localização de pontos no plano cartesiano precisa ser bem entendida para que um sujeito aprenda a ler os gráficos de funções como um subconjunto desse plano. Esta leitura, no entanto, precisa ser dinâmica, isto é, de forma global, de tal modo que permita ao sujeito visualizar, no sentido de Duval (1999), o que ocorre no
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todo e não somente em alguns pontos escolhidos pela associação de um par de coordenadas ao ponto correspondente. Como uma forma de desenvolver essa
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vviiisssuuuaaallliiizzzaaaçççãããooo entre alunos de primeiro ano da formação inicial em Matemática, elaboramos esta atividade, explorando a conversão entre o registro gráfico, o da língua natural e o algébrico, para ser desenvolvida individualmente, sem intervenção, durante 100 minutos, no laboratório de informática e utilizando o software Cabri-géomètre II. Ver as razões para estas escolhas no parágrafo IV.1.4, página 74).
Antes de aplicarmos esta primeira atividade, os alunos tiveram contato com o software e já havíamos discutido, em sala de aula, a necessidade de entendermos em que universo estamos trabalhando, em termos de número de coordenadas para localizar um ponto e em termos do registro algébrico que se nos apresenta para identificar um ponto. Além disso, pusemos em discussão a importância de usar bem os registros de que dispomos para expressar nossas idéias por escrito, seja para uso próprio, seja para comunicar a outros essas idéias, o que certamente passa pelo uso cuidadoso e criterioso dos registros do tipo simbólico e, sempre que necessário, pelo registro sempre válido da língua natural.
Ao desenvolvermos a primeira atividade da seqüência, optamos por utilizar uma abordagem “dinâmica” para localizar as duas coordenadas de um ponto, a primeira representando uma variável que “corre” no eixo horizontal e a segunda, uma variável que “corre” no eixo vertical. O sujeito lança o olhar sobre o plano cartesiano e precisa aprender a focar sobre os pontos do gráfico escolhido, que pode ser unidimensional num ambiente bi-dimensional. Para este olhar focado, o indivíduo precisa permutar (no sentido matemático da palavra, isto é, em qualquer ordem) três movimentos: um sobre o eixo horizontal (avaliação da primeira coordenada variável), um sobre o eixo vertical (avaliação da segunda coordenada variável) e um sobre o gráfico, combinando os dois primeiros.
Para explorar esses movimentos, nesta primeira atividade, decidimos trabalhar a localização de pontos no plano cartesiano a partir de retas horizontais e verticais, estendendo-a às regiões determinadas por uma reta horizontal e ainda com ênfase no registro da língua natural, muito mais abrangente, pois o indivíduo é convidado a descrever as duas coordenadas dos pontos do plano, enquanto que com o registro algébrico, em geral, omitimos uma das coordenadas: no caso da
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equação de uma reta vertical x=k, admite-se implicitamente a existência da coordenada y; para uma reta horizontal y=m, pressupõe-se a coordenada x; para uma função, podemos dizer que temos ainda mais problemas, pois a notação f(x) esconde completamente quem é quem e a notação y= ... só dá indicações explícitas sobre a coordenada y, ficando a coordenada x completamente mascarada.
O movimento vertical citado, que ocorre na direção do eixo vertical, é explorado nas questões 2, 3, 4, 5 e 6, que trazem à discussão a vvviiisssuuuaaallliiizzzaaaçççãããooo do comportamento dos pontos do plano que pertencem a uma reta vertical. Quando a reta está “parada”, o dinamismo do software pode ajudar o sujeito a perceber que a primeira coordenada dos pontos dessa reta será sempre a mesma e igual ao valor da coordenada horizontal do ponto no qual a reta corta o eixo das abscissas (que chamamos de “abscissa” da reta). Explorando o dinamismo do Cabri, isto é, movimentando bastante os pontos sobre as retas e também as retas, pode-se perceber que, quando a reta “desliza” ao longo do eixo horizontal, o valor da primeira coordenada dos pontos que estão sobre essa reta acompanha o valor da “abscissa” da reta. A conversão entre o registro gráfico e dinâmico e o registro na língua natural parece-nos essencial para que o indivíduo chegue à compreensão do registro algébrico x= k, no qual a variável y é omitida, mas está muito presente, pois significa que não há condição sobre y, portanto y pode assumir qualquer valor real.
O movimento horizontal, que ocorre na direção do eixo horizontal, é trabalhado nas questões 7, 8, 9, 10 e 11, que exploram o comportamento dos pontos sobre uma reta horizontal. Utilizando o dinamismo do software Cabri-géomètre II, isto é, movimentando o ponto sobre as retas e depois movimentando as retas, o sujeito poderá perceber que a segunda coordenada permanece constante quando fixamos uma reta e que o valor desta coordenada é o mesmo da coordenada vertical do ponto no qual a reta corta o eixo das ordenadas. A conversão entre o registro gráfico e o registro na língua natural, neste caso, parece-nos essencial para o entendimento do registro algébrico y=m, no qual a variável x é omitida, mas está matematicamente presente, pois significa que não há condição sobre x e que, portanto, x pode assumir qualquer valor real.
A conjunção do movimento horizontal com o movimento vertical é explorada nas questões 12, 13, 14, 15 e 16, no caso de retas horizontais e para pontos que ficam “acima” ou “abaixo” dessas retas. A escolha pelas retas horizontais foi feita
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para direcionarmos a discussão para a localização de pontos sobre gráficos de funções e a opção pelas regiões se deveu ao fato de acreditarmos que, para uma visualização global de um gráfico de função e, portanto, para a permutação dos três movimentos do olhar citados por nós, focando este olhar sobre uma curva no plano cartesiano, o indivíduo precisa passar os olhos pelo ambiente bi-dimensional antes de fixar o olhar no unidimensional.
Ao movimentar livremente o ponto “acima” da reta horizontal, o aluno poderá observar as coordenadas que acompanham o ponto e concluir que a primeira coordenada pode assumir qualquer valor real, enquanto a segunda fica limitada inferiormente pela “ordenada” da reta escolhida. Ao utilizar um registro algébrico para expressar o que acontece, o sujeito precisará, de alguma forma, indicar que x é qualquer e y é maior do que a “ordenada” escolhida. Analogamente, ao explorar o comportamento dos pontos que ficam “abaixo” da reta horizontal fixada.
A opção pelo trabalho individual, sem intervenção externa, se deve ao fato de acreditarmos que cada indivíduo precisa desenvolver sua capacidade de expressar as idéias no registro da língua natural para depois utilizar bem o registro algébrico, com seus signos e significados próprios e pré-estabelecidos. Além disso, o aluno tem a liberdade de interpretar o texto que se apresenta, dando sugestões para a melhoria deste.
O uso do software Cabri-géomètre II nos pareceu adequado para a exploração dinâmica que pretendíamos, além de trazer em seu bojo o gosto pela novidade do trabalho com o computador.
Após a realização da atividade e na aula seguinte, o pesquisador deverá fazer uma institucionalização, trazendo à discussão os resultados observados nos protocolos dos alunos, chamando a atenção para a necessidade de uma leitura e de um uso cuidadosos dos registros que nos são apresentados, como uma forma eficaz de evitar idéias mal colocadas, bem como falsas interpretações. A necessidade do uso de vários registros, com seus respectivos tratamentos e conversões, também precisa ser focada e pode-se aproveitar o contexto para discutir com os alunos como e com o que cada um dos registros contribui para o entendimento de um problema. Só assim, no nosso entender, o sujeito vai conseguir inter-relacionar os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos do assunto.
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O pesquisador deve discutir também com seus alunos a leitura e a interpretação do registro algébrico y>N2, bem como do registro y<N2 quando estamos nos referindo a pontos do plano cartesiano, porque a coordenada x fica “escondida”, mas está muito presente porque ela pode assumir qualquer valor real, destacando ainda que os pontos que estão acima da reta y=N2 são todos os pontos que satisfazem y>N2, o que significa que os demais pontos do plano cartesiano têm y≤N2 e ocorre situação análoga para y<N2. Da mesma forma, o registro x=N1 representa todos os pontos da reta vertical que intercepta o eixo horizontal no valor dado por N1, o que significa que todos os demais pontos do plano cartesiano têm x≠N1. E que vale resultado similar para a reta horizontal y=N2.
Como não se pede a exploração de regiões entre duas retas horizontais (escolha nossa, devido ao tempo de aplicação), pode-se, na institucionalização fazer o questionamento “E se tivéssemos duas retas horizontais, como descrever os pontos que ficam entre as duas?”.