Para resolver uma equação ou uma inequação, em geral, precisamos substituí-la por uma outra equivalente, que nos forneça todas as soluções da original. Para obter essa equivalência, as transformações algébricas que efetivamos precisam ser corretas e é por esta razão que, para conseguir sucesso na resolução de uma equação ou inequação, o sujeito precisa aprender a “ler” o que está expresso na frase algébrica e também conhecer quais são as principais regras algébricas que gerenciam os procedimentos permitidos. Podemos dizer que existem pelo menos dois princípios que são muito importantes para a resolução algébrica de uma inequação em IR (aspectos formais): (1) o Princípio Aditivo das Desigualdades:
c b c a então IR, c e b a
se < ∈ + < + e (2) o Princípio Multiplicativo das
Desigualdades: se a < b e c ∈ IR++, então ac<bc e se a < b e c ∈ IR-*
, então ac>bc, que são conhecidos entre a maioria dos alunos como “passar para o outro lado trocando o sinal” e “multiplicar em cruz”, respectivamente. O entendimento dos aspectos algorítmicos deste último princípio parece apresentar algumas dificuldades, uma vez que não se aplica às equações e tem duas frases
Capítulo V - A seqüência didática 161
condicionais. Além disso, não é tratado devidamente nos livros didáticos, em geral, onde o assunto inequações é abordado de forma superficial, como um complemento ao estudo das equações ou como uma lista de procedimentos algébricos que devem ser seguidos para obter a solução. Se utilizarmos uma abordagem baseada em aparatos físicos e olharmos uma inequação como uma gangorra em desequilíbrio, podemos dizer que, para obter uma inequação equivalente, não basta manter o desequilíbrio, também precisamos manter constante a diferença entre os dois lados da gangorra e esta não parece ser nem uma idéia comum nem intuitiva e que, portanto, tem que ser trabalhada de várias formas para o aluno compreendê-la.
Para elaborar esta atividade 4, partimos de um fato que consideramos básico, qual seja, o sujeito precisa saber que “resolver uma equação ou uma inequação em IR” significa determinar todos os valores reais que satisfazem a frase dada e que não basta que ele “vislumbre” algumas das respostas. Daí vem a necessidade que vimos de escrever alguma coisa, no início da atividade, sobre o significado da resolução e da necessidade de substituir uma frase algébrica por uma outra equivalente.
Na questão 1, apresentamos uma resolução feita por um aluno fictício, que
utilizou a multiplicação em cruz para resolver a inequação 1
1 - x
1
< , que havia sido a
última questão da atividade 3. Esperávamos que os sujeitos se lembrassem da situação anterior e fossem capazes de perceber o erro e o porquê deste, justificando cada uma das passagens referentes à equivalência das frases obtidas pelo aluno fictício.
Na questão 2 são apresentados os gráficos das funções definidas por
f(x) = 1
x -1 e g(x) = x -1 para que os sujeitos determinem as soluções das inequações f(x)<1 e g(x)>1 pelo gráfico e percebam que as frases f(x)<1 e g(x)>1 não são equivalentes, porque não dão o mesmo conjunto de respostas.
Nas questões 3 e 4, os sujeitos são convidados a justificar a não equivalência das frases algébricas e qual o erro algébrico que acarretou esta não equivalência. Esperávamos que os sujeitos, com a ajuda do registro gráfico, refletissem sobre a técnica “multiplicar em cruz”.
Capítulo V - A seqüência didática 162
Nas questões 5 e 6, a discussão gira em torno da inequação –2x>0. O obstáculo algébrico aqui é o coeficiente –2, que aparece multiplicando a incógnita x; por esta razão, esperávamos que os sujeitos respondessem que a solução é x>0, ou porque multiplicaram em cruz sem levar em conta o sinal negativo do coeficiente ou porque “passaram o –2 para o outro lado” e ele “ficou +2”. Com a ajuda do registro gráfico, acreditamos que alguns possam perceber que a resposta não pode ser x>0. Imaginamos ainda que, por se tratar de uma frase simples, alguns ainda pudessem se utilizar da língua natural para chegar à solução algébrica correta (tipo “-2 vezes x só dá positivo se o x for negativo”), deixando que aspectos intuitivos auxiliem a resolução do problema.
Com as questões 7 e 8, a discussão gira em torno da solução gráfica da
equação 0 3 - 1 - x g(x) 2 =
= e subseqüentemente da inequação g(x)<0, podendo aí ser
associada a solução da equação à da inequação, por se tratar de um gráfico de uma função contínua. No caso de alunos de Cálculo do primeiro ano do Ensino Superior, podemos explorar os teoremas sobre as funções contínuas para chegar à solução e eventualmente a uma discussão sobre as técnicas algébricas.
Nas questões 9 e 10, a proposta é a resolução gráfica da inequação 0 2 x 1 - x > + ,
para posterior discussão da validade da multiplicação da inequação pelo fator x+2, solicitando sempre uma justificativa do sujeito, para forçar a discussão dos fundamentos sobre os quais se baseiam os dois princípios, o da “adição de uma parcela” e o da “multiplicação por um fator” qualquer a uma inequação.
Optamos pela resolução individual, porque é um assunto que consideramos básico para aqueles que pretendem lecionar Matemática e, portanto, cada um deve refletir sobre os próprios erros e dificuldades e fazer uma análise completa, inclusive didática, do tema inequações e da resolução gráfica tanto de uma equação como de uma inequação. É muito importante o retorno na aula seguinte e antes da resolução da próxima atividade, porque se trata de um encadeamento de idéias, o que implica numa institucionalização “local”, com ênfase na importância do significado de inequações equivalentes e porque isto implica no entendimento do texto proposto. O Princípio Multiplicativo apresenta duas condições “se c>0, então...” e “se c<0, então...”, o que normalmente é uma dificuldade para os alunos, pois é preciso
Capítulo V - A seqüência didática 163
“separar” as duas situações e trabalhar em cada uma delas para depois “unir” as soluções. Já vimos caso em que um aluno, ao resolver uma situação deste tipo, com x>2 por exemplo, não consegue entender porque a solução x=0 não pode fazer parte da resposta, uma vez que ela aparece no desenvolvimento da frase algébrica (equação ou inequação).
V.3.4.5. COMPONENTES GERAIS ESPERADAS
Na atividade 4, as componentes mais esperadas são, como na atividade 3, os tratamentos e as conversões entre os registros gráfico, algébrico e da lingua natural. Começamos a atividade com uma resolução algébrica, porque gostaríamos que os sujeitos não só percebessem que ela não está correta, como também que a resolução gráfica pode dar indicativos do erro, como é sugerido nos itens 1 a 6. Em quase todos os itens pedimos algum tipo de justificativa ou de conjectura, porque acreditamos que, ao responder questões desse tipo, o sujeito tem que organizar as idéias e, com isso, é estimulado a inter-relacionar os aspectos formais com os demais. Este é o caso, por exemplo, nos itens 6 e 10.
Para uma explicação mais detalhada do que entendemos por componentes gerais esperadas, ver o início do parágrafo V.3, página 121.
Capítulo V - A seqüência didática 164 TABELA 14: COMPONENTES GERAIS ESPERADAS NA ATIVIDADE 4
Capítulo V - A seqüência didática 165