Para resolver uma equação e/ou uma inequação, em geral, o sujeito precisa substituí-la por uma equivalente, isto é, que dê o mesmo conjunto de soluções. Para tanto, ele precisa ter muito claro o significado da frase algébrica inicial. Ora, da nossa experiência com os alunos (e também com os professores) a igualdade
2 2x =x está muito longe de ser entendida ou até mesmo discutida. Um dos livros
didáticos que passaram por nossas mãos, dentre os utilizados pelos professores no Ensino Fundamental, ao tratar do módulo de um número, coloca frases do tipo “quando o número dentro das barras é positivo, basta tirar as barras” e “quando o número dentro das barras é negativo, basta tirar as barras, colocando o sinal de menos na frente do número”. Também não me parece suficientemente discutido e analisado o significado da função módulo, porque ela aparece, em geral, com sua definição algébrica, que é constituída de duas sentenças do tipo “se ... então” e muito raramente aparece a definição geométrica, envolvendo distância que, no nosso entender, poderia ajudar na inter-relação entre os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos envolvidos na função módulo ou até mesmo no módulo de um número.
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A partir dessas considerações, decidimos, nesta atividade, usar o registro gráfico e o dinamismo do software Cabri-géomètre II como uma forma de abrir a
discussão da equivalência entre 2 2x e x . Quem sabe a vviviisssuuuaaallliiizzzaaaçççãããooo dos dois
gráficos poderia ajudar os alunos a perceberem essa igualdade?
A questão 1 foi colocada como uma forma de ligar as atividades anteriores a esta, reforçando a discussão sobre a necessidade de trabalharmos o entendimento das frase algébricas.
Com a questão 2, os sujeitos têm acesso ao gráfico da função f(x)=x2 junto com o da função g(x)=3. Sobre a parábola existem três pontos marcados: X (ponto livre sobre o gráfico, portanto genérico), P de coordenadas (3,9) e Q de coordenadas (-3,9) (portanto, P e Q são as intersecções da reta com a parábola).
Nas questões 3 e 4, os sujeitos são convidados a conjecturar sobre a relação entre os pontos P, Q e X com os gráficos presentes no sistema de coordenadas. É importante que o professor estimule seus alunos para a leitura dos gráficos como um todo e não só ponto a ponto, ajudando-os a superar uma dificuldade que está quase sempre presente na leitura e na compreensão de pontos genéricos.
As questões 5 e 6 foram colocadas para aproveitar o dinamismo do software Cabri-géomètre II para a leitura e a interpretação das coordenadas dos pontos X do gráfico da parábola, em comparação com os pontos P e Q de intersecção com a reta: se X(x,x2) está “acima” de P(3,9) ou de Q(-3,9), então podemos escrever no registro algébrico algo do tipo x2>9, porque a segunda coordenada de X é maior do que a segunda coordenada dos pontos sobre a reta y=9. À medida que o ponto X permanece “abaixo” dos pontos P e Q, então acontece o contrário e podemos escrever com o registro algébrico que x2<9. Esta leitura e a conseqüente interpretação sobre as coordenadas não é trivial e deve ser sempre estimulada pelo professor para que os alunos possam superar as dificuldades inerentes ao registro gráfico.
Com a questão 7, queremos que os alunos resolvam a inequação dada usando o registro gráfico como apoio para o registro algébrico e percebam que a solução da inequação é “os valores de x que estão entre –3 e 3” e que, portanto, o registro algébrico correspondente é −3≤x≤3 (gostaríamos de observar que
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algébrica, talvez porque tenhamos o hábito de lê-la a partir do x e nunca interpretá- la como “-3 está à esquerda de x, que por sua vez está à esquerda de 3”).
A questão 8 pede uma análise da solução errada do aluno fictício, tentando compará-la com a solução obtida graficamente. Por que será que há discrepância entre as duas? O que está errado no raciocínio do aluno fictício, que é o da maioria dos alunos que realizaram o teste diagnóstico?
A questão 9 traz à discussão uma frase típica (que nos parece uma “regra” dentre as muitas que são aprendidas e não compreendidas) “Extraindo a raiz quadrada dos dois lados ...”, tentando focar a atenção dos alunos para os passos da resolução errada apresentada, a fim de entender o erro.
Para ajudar nesta discussão, nas questões 10 e 11 pedimos aos sujeitos que obtenham os gráficos das duas funções para que percebam que são iguais,
x ) x (
j = e h(x)=2x2 , agora usando o software GRAPHMATICA, que é mais
amigável e mais rápido se o objetivo é só a obtenção dos gráficos. De posse dos
dois gráficos, os sujeitos poderão perceber que são iguais e que, portanto, 2 2x =
x e não é verdade que 2 2x =x simplesmente. Com esta questão, abre-se uma
discussão posterior, em sala de aula, sobre o significado não trivial de 2 2x .
Finalmente, encerrando a seqüência, colocamos a questão 12, que pede aos sujeitos que analisem a solução errada do aluno fictício e esperamos que, com a ajuda do registro gráfico que esteve fortemente presente nesta atividade, eles possam perceber onde está o erro e porque ele apareceu.
Elaboramos esta atividade para que ela seja resolvida individualmente, sem interferência do professor, no ambiente informático e ainda sem a preocupação com certos e errados, porque achamos importante que cada aluno da formação inicial, como um futuro professor de Matemática e cada professor aprenda: a trabalhar com o registro gráfico; a desenvolver suas próprias idéias, escrevendo-as quer seja no registro algébrico, quer seja no da língua natural; a aceitar que nem sempre é só certo ou errado. Acreditamos fortemente que o registro gráfico, embora traga dificuldades inerentes a ele, precisa ser trabalhado na Educação Básica desde
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muito cedo, para que permita, à maioria dos alunos e não só àqueles que gostam de Matemática, que superem essas dificuldades.
É importante que o professor, na aula seguinte e depois de ler os protocolos dos alunos, faça uma institucionalização da atividade e da seqüência como um todo, trazendo à discussão pontos importantes, tais como: o significado de frases equivalentes na resolução de equações e/ou inequações; a necessidade do trabalho com a leitura e a interpretação das frases algébricas; a contribuição que o registro gráfico pode trazer para a aprendizagem; a importância do trabalho com o tratamento e a conversão de registros; a leitura e a interpretação globais das coordenadas dos pontos sobre um gráfico; a desmistificação do registro numérico estrito como solucionador de problemas globais; a importância do entendimento correto e formal dos registros, como por exemplo a falta de significado do registro algébrico x≤±3 em Matemática.
V.3.5.5. COMPONENTES GERAIS ESPERADAS
Na atividade 5, o uso dos registros gráfico, algébrico e da língua natural, com os respectivos tratamentos e conversões é estimulado, na expectativa de reforçar os aspectos formais da resolução funcional gráfica, no caso particular da inequação
x2 ≤ 9. Esperávamos que os sujeitos percebessem que a resolução gráfica é equivalente à algébrica e que, portanto, para resolver essa inequação o melhor procedimento não é simplesmente extrair a raiz quadrada dos dois lados, a menos
que saibamos lidar com o aspecto formal envolvido na definição de x2 , que é entender que
x2 = x . E uma das formas de “ver” isto é pela conversão entre os registros gráfico e algébrico das funções definidas por
h x
( )
= x2 e p x
( )
= x.Como é a última atividade da nossa seqüência, gostaríamos que os sujeitos tivessem feito inter-relações entre os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos da resolução funcional gráfica genérica de inequações com uma incógnita real e que relacionassem esta última com a resolução algébrica. A partir disso, refletissem
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sobre a possibilidade de desenvolver um trabalho diferenciado nas salas de aula da Educação Básica.
Para uma explicação mais detalhada do que entendemos por componentes gerais esperadas, ver o início do parágrafo V.3, página 121.
Capítulo V - A seqüência didática 172 TABELA 15: COMPONENTES GERAIS ESPERADAS NA ATIVIDADE 5
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