No trabalho com as funções afins (do tipo f(x)=mx+n=y), não importa em que registro, o da língua natural, o gráfico ou o algébrico, é necessário que o aluno aprenda a perceber o papel que cada um dos parâmetros, m (chamado coeficiente angular, inclinação ou declividade) ou n (conhecido como coeficiente linear), desempenha no registro algébrico da função afim. No caso do trabalho com o registro gráfico, por exemplo, duas retas com inclinações diferentes, não importa a posição no plano cartesiano, sempre vão ter uma única intersecção e, portanto, vão dividir o plano em quatro regiões. Uma forma de descrever os pontos que ficam, por exemplo, numa das regiões delimitadas à direita da intersecção, é por meio de uma inequação do tipo ax+b<y<mx+n, pela qual estamos identificando, na verdade, uma coisa muito mais complexa, porque fica subentendido que precisamos determinar os valores de x para os quais ax+b<mx+n e depois combinar esses valores de x com os de y que satisfazem ax+b<y<mx+n. Ao lançar o olhar sobre o gráfico, o sujeito
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precisa identificar as duas retas (bi-dimensional para unidimensional), a intersecção delas (bi-dimensional para zero-dimensional), a região que corresponde à inequação dada (bi-dimensional para bi-dimensional), a projeção desses pontos sobre o eixo horizontal (bi-dimensional para unidimensional, mas não só, por causa da projeção) e, finalmente, os valores de x que respondem à questão dada. Acreditamos que um trabalho intenso de tratamento e de conversão entre registros pode fazer o aluno comum ser capaz de realizar essa tarefa, ajudando-o a inter- relacionar os aspectos formais, algoritmicos e intuitivos.
Ao elaborarmos a atividade 2, para ser realizada individualmente, durante 100 minutos, no laboratório de informática com o software GRAPHMATICA, tínhamos em mente um trabalho com os registros algébrico, gráfico e da língua natural, dando bastante ênfase a este último, porque o registro algébrico, mais comum entre os alunos, é muito conciso e pressupõe uma leitura interpretada de seu significado: quando escrevemos y=2x+1, por exemplo, queremos que o aluno entenda que 2x+1 é o valor da segunda coordenada dos pontos que interessam e que os valores de x ficam subentendidos como sendo aqueles que tornam a expressão possível. Vale a pena observar que, para a maioria dos alunos que participaram da nossa seqüência, mesmo depois de um estudo sobre funções na disciplina Cálculo 1, ainda não estava muito claro o significado de “domínio” de uma função como sendo “os valores para os quais é possível calcular 2x+1”.
As questões 2, 3 e 4 enfocam retas com o mesmo coeficiente angular positivo e que, portanto, não se encontram; mesmo assim, podemos comparar os pontos com algo do tipo “os pontos da reta tal ficam todos acima dos pontos da reta tal”. Para uma frase deste tipo, o sujeito tem que, mesmo sem o perceber, lançar o olhar sobre o gráfico, identificar a mesma inclinação e perceber que todos os pontos de uma das retas ficam acima (ou abaixo) dos da outra, se considerarmos a coordenada vertical.
As questões 5, 6 e 7 foram elaboradas para trazer à discussão uma reta com inclinação negativa e depois compará-la com uma de inclinação positiva, no que se refere à intersecção das duas e depois na comparação. No exemplo escolhido, a intersecção ocorre num ponto que fica no primeiro quadrante, porém não de fácil reconhecimento pelo próprio gráfico, porque gostaríamos que os alunos tivessem a
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idéia de recorrer ao registro algébrico para determinar o valor exato das coordenadas desse ponto.
Nas questões 9, 10 e 11 temos duas retas com inclinações opostas (uma negativa e outra positiva), porém com intersecção sobre o eixo vertical, para facilitar a determinação gráfica das coordenadas da intersecção. A insistência no pedido para uma comparação, primeiro para x>0 e depois para x<0, na língua natural e depois na algébrica, dos pontos de duas retas vinha de acreditarmos que, para comparar esses pontos, o estudante seria obrigado a pensar na coordenada x e dizer algo do tipo “para cada valor de x >0, os pontos que estão sobre a reta tal ficam acima dos pontos que estão sobre a reta tal” e analogamente para x<0. Ao passar para o registro algébrico (do tipo (x, y) ou x>0 e y alguma coisa), o aluno teria que se referir à coordenada y para comparar os pontos e dizer algo do tipo “pontos que satisfazem x>0 e y=3x+1 ficam acima (ou abaixo) dos pontos que satisfazem x>0 e y=-2x+1”. Com isto, esperávamos que alguns alunos começassem a ficar preocupados em encontrar uma forma mais concisa, portanto mais algébrica simbólica, para escrever a frase no registro algébrico.
As questões 12, 13 e 14 foram colocadas para encerrar a atividade com questionamentos que fizessem o aluno refletir sobre a conversão entre o registro algébrico da inequação e o registro gráfico das funções envolvidas nas inequações. Esperávamos que alguns alunos percebessem que uma possível leitura para 3x+1=-2x+1 é “o ponto de intersecção das duas retas tem que ter as mesmas coordenadas; o valor de y sobre a reta y=3x+1 que é igual ao valor de y sobre a reta y=-2x+1 vai dar um valor para x que será o valor da primeira coordenada da intersecção”. A partir do entendimento e da determinação das coordenadas do ponto de intersecção, acreditamos que seria mais fácil determinar as soluções das inequações correspondentes.
Como um sub-produto deste estudo, poderíamos esperar que os alunos percebessem que, para duas retas com inclinações opostas, à direita da intersecção a reta com inclinação positiva fica acima da reta com inclinação negativa e à esquerda ocorre o contrário; portanto, para resolver uma inequação do tipo ax+b<mx+n, basta resolvermos a equação correspondente e estudarmos as inclinações.
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Vale a pena ressaltar ainda que, utilizando um teorema sobre “a continuidade das funções afins”, seria muito tranqüilo estudar o valor destas duas funções em cada um dos intervalos determinados pelo valor x do ponto de intersecção para deduzir qual dos intervalos oferece a resposta procurada.
A opção pelo trabalho individual, sem intervenção externa, foi feita por acreditarmos que cada indivíduo traz um conhecimento a priori que precisa ser lapidado, para a compreensão do tratamento e da conversão de registros, principalmente quando um dos registros é o algébrico simbólico. A insistência no uso do registro na língua natural vem do fato de acreditarmos que, em Matemática, a maioria dos fracassos, na resolução de problemas e/ou na modelação, vem do fato de não sabermos interpretar o texto que se coloca diante de nós. Na tendência mais moderna das teorias de ensino e de aprendizagem, na qual se acredita que o indivíduo aprende quando colocado diante de situações-problema, o uso dos registros algébricos corretos para cada situação é precedido pelo entendimento do texto em língua natural.
Usamos o software GRAPHMATICA porque ele agiliza a confecção dos gráficos e tem uma interface amigável. Para esta atividade, os alunos não precisariam ter uma experiência anterior com o software, porque só se fazia necessária a digitação das expressões algébricas na forma y=... na linha de comando, para obter os gráficos desejados (ver parágrafo IV.1.4 página 74 para mais detalhes para esta escolha).
Após a atividade e na aula seguinte, o professor deve fazer uma institucionalização, depois de ter lido os protocolos dos alunos, trazendo para discussão as respostas que podem contribuir para o entendimento dos registros e para a necessidade de expressar com cuidado as idéias que queremos que outros leiam e entendam. Com isto, acreditamos que o professor estará contribuindo para que cada indivíduo inter-relacione os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos do assunto.
No caso desta atividade, ainda é possivel ressaltar, graficamente, a intersecção de duas retas, contribuindo para a distinção entre “resolver a equação ...” e “resolver a inequação”, como sugerem Kieran (2004) e Radford (2004). Com isto, podemos dizer ainda que a aprendizagem obtida com a utilização dos gráficos pode contribuir para a algébrica, de certa forma tentando responder questões
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colocadas por Sackur (2004). A vvviiisssuuuaaallliiizzzaaaçççãããooo dos gráficos, de forma geral, precisa retornar à discussão, para que os alunos compreendam a resolução gráfica e possam entender como convertê-la para o registro algébrico. A comparação de pontos pode e deve ser explorada, do ponto de vista da necessidade de tomarmos algum ponto de referência, como por exemplo o valor de x, quando queremos comparar esses pontos. Frases como “para x=5, por exemplo, o ponto correspondente na reta tal fica abaixo (ou acima) do correspondente ponto na reta tal” podem contribuir para que o aluno “escorregue” seu olhar para os valores de x que estão no eixo horizontal quando olha algum ponto sobre um gráfico no plano cartesiano.
V.3.2.5. COMPONENTES GERAIS ESPERADAS
Na atividade 2, as componentes mais esperadas são as conversões, principalmente entre os registros da língua natural e os demais (algébrico e gráfico), porque estamos, num certo sentido, “forçando a linguagem” para estimular os sujeitos a pensarem num significado para “comparação de pontos”, como é o caso nos itens 7, 10 e 11 ou para a relação entre uma inequação do tipo ax+b<cx+d e os gráficos das funções definidas por f(x)=ax+b e g(x)=cx+d, como é o caso nos itens 13 e 14.
Gostaríamos que os sujeitos visualizassem os gráficos (DUVAL, 1993) e vissem que a abscissa do ponto de intersecção de duas retas (solução de uma equação) divide o eixo horizontal em duas semi-retas, cada uma delas solução de uma inequação. Se isto acontecer, esses sujeitos terão feito inter-relações entre aspectos formais, algorítmicos e intuitivos, por meio do uso de vários registros.
Para uma explicação mais detalhada do que entendemos por componentes gerais esperadas, ver o início do parágrafo V.3, página 121.
Capítulo V - A seqüência didática 140 TABELA 12: COMPONENTES GERAIS ESPERADAS NA ATIVIDADE 2
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