Com relação aos aspectos da percepção visual, no transcorrer desse estudo preliminar, levantamos as questões (pág.54):
a) Será que a posição das paralelas em qualquer uma das configurações interfere
na percepção e aplicação do teorema de Thales? E a posição das transversais, também interfere?
b) Em que medida e por quais meios, ao ensiná-lo, consegue-se trabalhar com
esses aspectos perceptivos?
Visando responder essas questões, aplicamos um teste diagnóstico, em 1998, para verificar a concepção de alguns alunos após já terem estudado o teorema de Thales. Constatamos que o índice de acertos variou segundo a posição das paralelas, a posição da intersecção das transversais com relação às paralelas, se eram fornecidas ou não as configurações nas situações-problema, se era pedido para calcular a medida dos segmentos formados nas transversais ou nas paralelas. Diante destas constatações fizemos um levantamento de algumas pesquisas já elaboradas nesta direção e destacamos a de Cordier e a de Charalambos.
Cordier, ao analisar a aplicação do teorema de Thales no quadro da tipicalidade, detectou que a fonte dos desvios cognitivos está relacionada com a propriedade da tipicalidade das representações cognitivas. Uma representação típica pode ser criada como um modelo pelo sujeito e o problema está relacionado, muitas vezes, no fato de que, diante de um modelo, os alunos se atêm mais nas múltiplas propriedades
figurativas dessas configurações do que na abstração das propriedades estritamente necessárias à aplicação do teorema. Por meio das suas experimentações, constatou que as representações típicas com relação ao teorema de Thales são instaladas durante a fase de aquisição desta propriedade e estão ligadas, de um lado, às figuras geométricas e, de outro lado, às projeções. No âmbito das projeções, encontram sua justificativa na classificação dos erros, salientando como representação típica aquelas pelas quais as projeções se fazem sempre no mesmo sentido, da esquerda para a direita. Quanto às figuras geométricas, verificou-se que as propriedades ligadas à especificação do ângulo (agudo, obtuso) é verdadeiramente não-pertinente comparando com o número e a posição das paralelas. As configurações mais representativas observadas são, com relação à posição das paralelas, aquelas que estão na posição horizontal. Em seguida, com bem menos destaque, as de posição vertical. Com relação à intersecção das transversais e ao número de paralelas, a mais representativa é aquela em que as transversais se interceptam acima das paralelas. Nesse caso o número de paralelas não interfere. Já, quando as transversais se interceptam entre as paralelas, a representatividade é maior ao apresentar três paralelas do que duas.
Charalambos, constatou por meio do teste inicial para a avaliação das pré- aquisições de alguns alunos do 1o ano do Ensino Médio, que a aquisição do teorema de Thales era limitada a uma única situação figurativa (triângulos sobrepostos). Após uma experimentação em que se procurou trabalhar com a variedade das configurações homotéticas e com a articulação entre o registro numérico e o registro figurativo visando o ensino da homotetia, constatou-se uma melhora nos percentuais com relação à aplicação do teorema de Thales, porém ainda persistem as diferenças entre os percentuais de acertos, em ordem decrescente, com relação às situações figurativas dos triângulos sobrepostos ou não e em relação ao cálculo dos lados oblíquos ou do terceiro lado.
Diante deste panorama, colocamos os seguintes problemas:
1) A maneira como se tem ensinado o teorema de Thales e a forma como esta propriedade vem sendo apresentada nos livros didáticos tem proporcionado aos alunos a aquisição de uma concepção limitada, bem como, a formação de configurações prototípicas ocasionando a não-percepção da aplicação dessa noção em outras configurações ditas não típicas.
2) Como, então, proporcionar um ensino que leve os alunos a fazer um reconhecimento e/ou apreender que diferentes configurações topológicas articulam o mesmo significado?
Com relação aos aspectos da significação, no transcorrer desse estudo preliminar foram expostas algumas proposições sintagmáticas relativas ao teorema de Thales que, em nível sintático, implicam a articulação dos significantes mantendo uma relação de proporcionalidade e, em nível semântico, implicam as significações que estão implícitas em cada proposição com relação aos pontos de vista (conservação das abscissas, conservação da relação de projeção e dilatação). Entendendo que o objeto de estudo em questão na sua significação global é o teorema de Thales sob três pontos de vista (Guy Brosseau), levantamos outros problemas:
3) Como fazer com que o ensino do teorema de Thales e sua aplicabilidade conduzam à apreensão dessa globalidade sintático-semântica?
4) Em que medida e por que meios consegue-se organizar os três pontos de vista?
Com relação ao aspecto do contexto, estamos pensando tanto em como o teorema de Thales está relacionado com os outros conceitos afins na produção deste saber, como em relação às suas aplicações pelos alunos após a sua apreensão. Foi visto que os conceitos como a homotetia, a semelhança, o teorema de Thales e a trigonometria, implícita ou explicitamente, tratam de proporcionalidade e de paralelismo. Sendo assim, podemos formar várias seqüências de ensino por meio de várias redes sintagmáticas articulando todos esses conceitos. Nesse sentido, expomos outros problemas:
5) Observando a forma com que se tem ensinado essas noções e, mesmo, como vem sendo apresentadas nos livros didáticos, percebemos que esses conteúdos são trabalhados de forma estanque, sem nenhuma articulação explícita entre eles, fazendo com que, no contexto de determinadas situações-problema, o aluno, na busca de uma estratégia de resolução, nem sempre perceba as aplicações que sejam mais ou menos pertinentes, ou talvez, aceda a uma determinada noção não percebendo a aplicação de outras, nem a pertinência da utilização desta ou de outra noção na resolução do problema, simplesmente por ter uma concepção limitada desses conceitos.
6) A apreensão visual, muitas vezes, interfere condicionando a apreensão operatória. Constatamos, no teste diagnóstico, uma dificuldade muito grande nos alunos em perceber a aplicação do teorema de Thales em situações em que não se forneciam as configurações. O fato de se dar um destaque maior à produção desse saber com situações-problema fornecendo as configurações, talvez, seja um dos motivos desta associação e da não-percepção em outras. Como
minimizar a influência da apreensão visual relacionada à imagem prototípica da aplicação do teorema de Thales em prol da aquisição da apreensão operatória?
3.2 – Problemática
Uma vez detectado (via teste diagnóstico, pesquisas, teses de mestrado, palestras, congressos) que a maioria dos alunos hoje em dia tem uma concepção limitada do teorema de Thales, ocasionada por uma prática de ensino e reforçada pelos livros didáticos, e que talvez sejam esses os motivos que levaram muitos alunos, após o ensino dessa noção, a não perceber a aplicação dela em qualquer configuração ou em situações em que as configurações não sejam fornecidas, ou, mesmo quando percebida sua aplicação, a não montar a proporção adequadamente, os problemas se resumem em:
“Como produzir uma seqüência de ensino, que proporcione ao aluno a apreensão da noção do teorema de Thales, observando todos os aspectos acima descritos quanto à percepção visual, às significações e ao contexto?”
3.3 - Hipóteses da problemática
1) Como, na maioria dos seres humanos, com relação aos órgãos do sentido, a visão é o que mais se tem desenvolvido, e, com relação às formas de expressão, a apreensão da figura é mais fácil de ser fixada em comparação a um discurso em língua natural, e em se tratando da produção de um saber plurissêmico, acreditamos que devemos iniciar propondo situações-problema em língua natural para que o aluno produza suas configurações sem que se imponha uma imagem prototípica.
2) Pensamos que diferentes configurações topológicas podem gerar o mesmo significado desde que o sujeito esteja familiarizado com estas variabilidades perceptivas. Acreditamos que, utilizando o software Cabri-géomètre I, por se tratar de um programa que proporciona trabalhar a geometria de forma dinâmica, poderemos, em uma mesma situação-problema, estar trabalhando com estas variabilidades perceptivas, bem como, pela observação e experimentação, os sujeitos poderão levantar conjecturas de fenômenos variantes e invariantes, para posterior comprovação e generalização.
3) Pelo fato de o plano de expressão, em relação ao teorema de Thales, não dar
conta de apreender o plano de conteúdo e, como foi exposto na análise do objeto matemático, segundo Duval (1995, p.69), toda representação ser cognitivamente incompleta em relação ao que ela representa e os registros de representação semiótica não apresentarem os mesmos aspectos de um
mesmo conteúdo conceitual, portanto, para o aluno apreender a noção do teorema de Thales em sua globalidade perceptiva ou mesmo semântica sintática faz-se necessário diversificar os registros de representação semiótica, explorando as conversões implícitas ou explícitas, além de explorar as possibilidades de transformação dadas pelas regras de tratamento de cada registro em questão.
4) Segundo Duval, podemos obter uma produtividade cognitiva de articulação de registros, utilizando uma rede semântica (articulação entre registro de rede e registro de língua). Com isso, acreditamos que por meio da rede semântica podemos organizar os três pontos de vista relacionados com essa noção, bem como, fazer a articulação com os outros conceitos implícitos e explícitos com as noções afins.
5) Trabalhando com algumas situações-problema de aplicações do teorema de Thales, acreditamos que esta propriedade passa a ter um maior significado para o aluno induzindo ou possibilitando a utilização desse como estratégia de resolução em outras situações afins.