Del II Offentlig støtte til barne-
3.3 Fordeling og ulikhet
Nesta secção são apresentados dois casos de teste típicos que compreendem a evolução do escoamento MHD resistivo, viscoso e incompressivel em canais retangulares. Estes problemas possuem soluções analíticas, obtidas por Shercliff (1953) e por Hunt (1965), e como tal são frequentemente utilizados para efeitos de validação de algoritmos MHD a operar no regime incompressivel.
5.2.1.1 Solução de Shercliff
O primeiro caso de teste que vai ser analisado é conhecido como o problema de Shercliff. Este problema consiste no escoamento de um uido com resistividade elétrica nita, movido por um gradiente de pressão constante, dentro de um canal de secção quadrada. O escoamento é depois sujeito a um campo magnético de valor uniforme e invariável no tempo, que é im- posto na direção perpendicular ao sentido do movimento. Todas as paredes sólidas do canal encontram-se eletricamente isoladas e aí a velocidade assume uma condição de fronteira de não-escorregamento. Esta con guração vai gerar um escoamento uni-direcional na direção per- pendicular ao campo magnético imposto. Como tal, a única componente do campo magnético induzida pela velocidade será a componente paralela à direção do escoamento, no nosso caso a componente Bx.
A secção do canal é quadrada com largura igual a 2b e altura igual a 2a, em que se assume a = b = 1. O campo magnético é imposto na direção paralela à parede 2a (segundo oz) e, como já foi referido, o escoamento desenvolve-se na direção paralela ao eixo ox, veja-se a Fig. 5.12a.
Apesar de as paredes sólidas possuírem condições de fronteira idênticas vamos classi cá-las de maneira diferente. Esta distinção vai ser útil, uma vez que a espessura da camada limite em cada uma das paredes vai ser diferente. As diferentes espessuras da camada limite são um resultado direto da imposição do campo magnético na direção transversal ao escoamento, o qual irá gerar uma força de Lorentz (j × B) que se opõe ao sentido do movimento e faz diminuir a espessura da camada limite. Este fenómeno foi descrito na secção 2.5.1 e é tratado em qualquer livro de introdução à teoria MHD, por exemplo o capítulo 5 de Davidson (2001). Assim, a parede localizada em z = ±1 vai ser denominada parede de Hartmann e a parede localizada em y = ±1 vai ser denominada parede de Shercliff.
Este problema pode ser facilmente convertido num caso bidimensional restringido à secção transversal do canal, se impusermos condições de fronteira periódicas na direção do escoa- mento. Seguindo a mesma abordagem de Ni et al. (2007b), optou-se por um número de Hart- mann igual a Ha= 1000e por um número de Reynolds igual a Re= 10. O caudal mássico deverá
(a) -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 (b) -1 -0.995 -0.99 -0.985 -0.98 -0.975 -1 -0.995 -0.99 -0.985 -0.98 -0.975 (c)
Figura 5.12: a) Geometria utilizada para a solução de Shercliff e de Hunt. Vista global (b) e detalhe (c)
da malha utilizada.
ser igual a 4, desta forma deverá ser imposto um gradiente de pressão de valor constante (ob- tido através da solução analítica de Shercliff) igual a −102, 88. Para o cálculo numérico da solução de Shercliff utilizou-se uma malha N × N, com N = 46, mostrada na Fig. 5.12b. A Fig. 5.12c mostra um pormenor relativo ao canto inferior esquerdo da malha. Note-se que a malha não possui um espaçamento uniforme devido às diferentes espessuras das camadas limites. A camada limite de Hartmann necessita de mais pontos pois a sua espessura é proporcional a H−1a , comparativamente à camada limite de Shercliff, que possui uma espessura proporcional a H−1/2
a .
Na Fig. 5.13 apresenta-se uma comparação entre os resultados numéricos obtidos e a solução analítica exata, obtida a partir das equações dadas por Ni et al. (2007a). Como podemos observar, o novo algoritmo, apesar de se basear numa formulação compressível das equações MHD, consegue calcular com precisão a espessura das duas camadas limites. Na Fig. 5.14 está representada a distribuição do campo de velocidade na respetiva secção transversal do canal, a) mostra a distribuição 3D da velocidade e b) as respetivas isolinhas em 2D. Note-se como a espessura da camada limite de Hartmann é consideravelmente inferior à espessura da camada limite de Shercliff. Podemos observar, através da Fig. 5.14c, que as linhas de corrente elétrica são perpendiculares ao campo magnético imposto na camada limite de Hartmann, mas são paralelas ao mesmo campo imposto na camada limite de Shercliff. Esta é a principal razão da diferença entre as duas espessuras de camada limite. Na Fig 5.14d apresentamos uma distribuição do campo magnético Bx induzido pelo campo de velocidade. Veri car-se que
esta componente do campo magnético atinge o seu valor máximo na região junto às paredes perpendiculares ao campo magnético imposto, Bz. Nestas paredes a espessura da camada
z -1 -0.998 -0.996 -0.994 -0.992 -0.99 0.4 0.6 0.8 1 Ux (a) z -1 -0.5 0 0.5 1 0.4 0.6 0.8 1 Ux (b) y -1 -0.95 -0.9 -0.85 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ux (c) y -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ux (d)
Figura 5.13: Resultados obtidos para o caso de Shercliff. a) Comparação entre os resultados numéricos e
a solução analítica exata de Shercliff para a camada limite de Hartmann. b) Per l de velocidade calculado no plano paralelo à direção do campo magnético imposto. c) Comparação entre os resultados numéricos e a solução exata para a camada limite de Shercliff. d) Per l de velocidade calculado no plano perpendicular à direção do campo magnético imposto.
−Bzjy, atinge o seu valor mais elevado.
5.2.1.2 Solução de Hunt
O segundo caso de teste sobre o qual nos vamos debruçar é também, como o problema de
Shercliff da secção anterior, um escoamento sujeito a um campo magnético imposto que se
desenvolve num canal de secção retangular. A única diferença entre o problema de Hunt e de
Shercliff resulta de uma modi cação nas condições de fronteira das paredes sólidas perpen-
diculares ao campo magnético imposto. No problema de Hunt agora considerado (Fig. 5.15) assume-se que essas paredes são condutoras de eletricidade absorvendo por isso uma parte da corrente elétrica a que estão sujeitas. Esta modi cação vai resultar em alguns fenómenos físicos diferentes dos relativos ao problema de Shercliff. Na região central do canal a corrente elétrica é induzida na direção transversal ao campo magnético imposto, desta forma a força eletromagnética resultante tende a contrabalançar com o gradiente de pressão que move o es-
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y -1 -0.5 0 0.5 1 z -1 -0.5 0 0.5 1 Ux (a)
z
-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1y
0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 1 0.1 0.15 0.2 0.75 0.8 0.85 0.9 -1 -0.95 -0.9 -0.85 (b) z -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 y B0 (c) z -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 y (d)Figura 5.14: a) Grá co tridimensional da distribuição de velocidade no canal. b) Isolinhas relativas ao
campo de velocidade, onde se destaca a espessura das duas camadas limites. c) Representação das linhas de corrente elétrica. d) Distribuição do campo magnético induzido pela velocidade do escoamento, como esperado a sua intensidade é maior junto às paredes prependiculares à direção do campo magnético imposto.
Figura 5.15: Distribuição tridimensional da velocidade axial calculada numa secção do canal.
coamento, veja-se a Fig. 5.16a. Por seu lado, nas paredes isoladas a corrente induzida assume uma direção paralela ao campo imposto, o que vai reduzir a força de Lorentz nesta região. Assim, nesta região do escoamento a única oposição ao gradiente de pressão vem dada pelas forças de origem viscosa, o que vai resultar na criação de dois jatos de uido, como mostrado na Fig. 5.15.
Neste caso de teste optou-se por um número de Reynolds idêntico ao problema de Shercliff (Re = 10) e por um número de Hartmann inferior (Ha = 300). Foi imposto um gradiente de
pressão uniforme de valor igual a −300 e utilizou-se novamente a malha representada na Fig. 5.12. Nas paredes condutoras foi assumida uma condutância igual a 0, 1.
Nas Figs. 5.16b e 5.16c estão representados os resultados analíticos e numéricos calculados para o per l de velocidades na secção transversal do canal ao longo de z = 0. Como podemos veri car, existe um bom acordo entre os resultados analíticos e numéricos. A única exceção é na transição entre a camada limite e o escoamento desenvolvido. No entanto, repare-se que nessa zona de transição o número de pontos da malha é consideravelmente reduzido. Isto porque a malha aqui utilizada foi desenvolvida para o problema de Shercliff com um número de Ha três
vezes superior. Na Fig. 5.16d está presente uma comparação entre os resultados numéricos e analíticos calculados para a camada limite de Hartmann isto é, o per l de velocidade na direção perpendicular à anterior, com y = 0. Mais uma vez, a camada limite consegue ser calculada com relativa precisão. Curiosamente, é na região central da secção do canal que encontramos alguns problemas de convergência, veja-se a Fig. 5.16e.