pectiva truncatura em processo: refas especificamente de aproximadamente ar uma proposta de r um pequeno texto s mesmas, que foi reformular o trabalho
• Entrega do relatório e
• Apresentação oral sist
4.1.3 - Terceira Fase
Já no segundo período, e ficha de trabalho (Anexo VI), fundamentalmente nas secçõ nomeadamente o cubo e o tet planificação do sólido obtido resultantes, com a inclusão de da aresta do poliedro regular teve como objectivo obter aprendizagens adquiridas e da processo.
4.1.4 - Quarta Fase
No terceiro período, foi a que contemplou a determinaç plano de corte, a identificação dos novos sólidos obtidos, planificação de um dos sólid problema a questão da demo dos sólidos resultantes do cort Nesta última fase do estu o processo de resolução da fic
5 - Caracterização da Amostr
O estudo foi realizado nu A turma inicialmente era lectivo veio a sofrer algumas a de alunos no final de Outubro eram rapazes, sendo que a ma
e consequente avaliação deste;
istematizando o conjunto das tarefas realiz
, e mais especificamente no final de Janei I), realizada fora de sala de aula, cujo cções produzidas por truncaturas em p tetraedro, assim como a representação de
ido, cálculo de perímetros, áreas e vo de demonstrações, já que em alguns prob ar era dada por uma letra específica. A rea r um primeiro termo de comparação das competências desenvolvidas pelos alu
i aplicada, em sala de aula, uma ficha de tr nação de secções produzidas no cubo po ão e o desenho dessa secção, a identificaç
, assim como o desenho em verdad lidos resultantes. Foi igualmente contem
onstração associada ao cálculo de áreas orte.
studo foram efectuadas algumas entrevista ficha de trabalho.
stra
uma turma do 10º ano de escolaridade de ra constituída por 29 alunos, contudo logo a
s alterações na sua composição, tendo est ro, e ficando este nos 27, dos quais 14 e maioria tinha 15 anos de idade no arranque
lizadas.
eiro, foi aplicada uma jo conteúdo assentou poliedros regulares, dessas secções e da volumes das figuras roblemas a dimensão realização desta ficha ão e avaliação das alunos ao longo deste
trabalho (Anexo VIII) por um determinado ação e caracterização adeira grandeza da mplada num terceiro eas e volumes de um istas a alunos durante
de Matemática A. o após o inicio do ano estabilizado o número eram raparigas e 13 que do ano lectivo.
6 - Análise dos Dados Recol
Recordando que as princ
• perceber a dificuldade espacial e construção regulares e consequen
• analisar quais as dificu de um dos sólidos resu
• analisar as dificuldade dos novos sólidos obtid E tendo em conta que as técn definidos, destinados a produz da informação recolhida duran
Relativamente ao tratame e qualitativa. Os resultados resultados qualitativos são de que de certa forma traduzem raciocínio, e de uma forma ge uma das fases do projecto.
6.1 - Dados da primeira
No decorrer das aulas e estudo, tinha vindo a ser lecci subtemas dos poliedros regul pedagógicos: • manual adoptado co propostos; • modelos geométricos • construção de sólidos • determinação de secçõ a sua visualização; • utilização da aplicação olhidos
incipais questões colocadas na realização d de que os alunos demonstram nos problem ão geométrica, relacionados com trunca entemente a obtenção de novos sólidos; iculdades que os alunos revelam na realiza esultantes do corte;
des no cálculo de áreas e de volumes dos btidos.
cnicas de investigação são conjuntos de p duzir um conjunto de resultados, procedi e
ante a realização das diferentes etapas pro mento da informação, esta foi traduzida de os quantitativos são apresentados de fo demonstrados através de excertos das res aspectos particulares ou mais gerais do geral foi feita uma avaliação dos resultado
ira fase
s e até ao momento da realização desta ccionado na unidade de geometria do plan gulares e das secções, com recurso aos
com consequente resolução de exercí em acrílico;
s regulares através de polydrons;
cções nos sólidos construídos com o auxíl ão interactiva “secções no cubo” do CD da
o deste estudo são: lemas de visualização caturas em poliedros lização da planificação s sólidos de partida e e procedimentos bem i então ao tratamento propostas aos alunos.
de forma quantitativa forma gráfica e os respostas dos alunos, do seu pensamento e ados obtidos em cada
sta primeira etapa do lano e do espaço, os s seguintes materiais rcícios e problemas
xílio de elásticos para da ASA.
As aulas leccionadas co assim como, permitiam aos alu
Nesta primeira etapa os trabalho, de diagnóstico (ane problemas, nos quais o sólido existia um plano de corte, sen um dos sólidos resultantes do relacionadas com cálculo de p
Após a realização e con resultados obtidos foram n aproximadamente 6,8 valores, realizaram esta actividade, ap resultado não foi além dos 14, obteve resultados inferiores à um total de 13 alunos, ou seja, O gráfico seguinte dem quantitativa desta primeira etap
Gráfico n.º 1
contemplavam um misto de exposição teó alunos a experimentação dos conteúdos em
os alunos foram submetidos à realização nexo II), efectuada em sala de aula, c lido de partida foi sempre o cubo, e nas d
endo solicitado aos alunos a identificação do corte, a realização de uma planificaçã perímetros, áreas e volumes.
onsequente avaliação desta actividade co na realidade fracos, sendo a classi
, numa escala de 0 a 20 valores. Num tot apenas seis obtiveram resultados positiv
4,25 valores. Destaca-se igualmente o núm à média, que por si só já é bastante baix ja, 50 % da amostra.
emonstra a realidade obtida nos resulta tapa do estudo.
1 – Classificação da ficha de diagnóstico – 1ª
teórica dos conceitos, em causa.
ção de uma ficha de , constituída por três s diferentes questões o e caracterização de ção deste e questões constatou-se que os ssificação média de total de 26 alunos que itivos, onde o melhor número de alunos que aixa, perfazendo este ultados da avaliação
Fazendo agora uma an quantitativo e qualitativo, focan capacidade de resolução das q se encontra ilustrado no gráfico
Sendo esta ficha de diagn que em seis delas, 50 % ou completamente errada.
Em termos de desempen mais de 40 % têm metade o Nestas duas perguntas, era so pelo plano de corte em causa assim como o cálculo do volum Relativamente às quest começo por destacar a ques planificação da pirâmide trian corte num cubo, como se ilustr
Gráfico n.º 2 –
análise mais detalhada dos resultados o cando com maior pormenor o desempenho s questões propostas nesta actividade, des fico seguinte.
agnóstico composta por um total de doze q ou mais, os alunos não resolvem ou a enho aceitável destaco as questões P1b) e ou mais da cotação ou a cotação tota solicitado aos alunos que identificassem a usa e efectuassem o respectivo cálculo de
lume do cubo truncado.
estões nas quais os alunos revelaram estão P1c3) na qual se pedia para o al angular [IJKE] que resultava da intersecçã
stra na figura seguinte.
– Desempenho dos alunos por questão – 1ª fa
obtidos, de carácter ho dos alunos, na sua desempenho este que
e questões, verifica-se a sua resposta está b) e P1c2) nas quais otal, respectivamente. m a secção produzida de perímetro e área, m pior desempenho, aluno desenhar uma cção de um plano de
Nas resoluções propost diferentes, relativamente às pl se alguns exemplos. Figura n.º Figura n.º 7 – pr Figura n.º 8 – p Figura n.º 9 –
stas pelos alunos surgem situações, nã planificações idealizadas por estes. Em se
.º 6 – Imagem da questão P1c3 da ficha de diagnós
proposta de resolução do aluno n.º 7 à questão P1
proposta de resolução do aluno n.º 15 à questão P
– proposta de resolução do aluno n.º 9 à questão
não correctas, muito seguida apresentam-
nóstico
P1c3)
o P1c3)
Constatou-se que vários em perspectiva da pirâmide em de uma planificação de um te trabalhado durante as aulas. A pirâmide, havendo outro grup correcta, contudo não conside Os alunos revelaram imensa transpõem esse raciocínio para
Relativamente às questõe a secção produzida num cubo resultantes, e ainda o cálculo d seguinte.
Figura n.º 10 – pro
Figura n.º 11 – p
os alunos interpretaram a planificação com em causa, outros desenharam uma espé
tetraedro, possivelmente porque este só . Apenas um aluno desenhou correctamen upo de alunos que se aproximou de uma ideraram a face triangular [IJK] como um t sa dificuldade no raciocínio visual-espacia
ara o desenho no plano.
tões P2b) e P2c) nas quais se pedia ao alu bo por um determinado plano de corte e id lo do volume dos respectivos sólidos, como
proposta de resolução do aluno n.º 27 à questão P1
proposta de resolução do aluno n.º 8 à questão P
omo que um desenho pécie de aproximação sólido foi estudado e ente a planificação da a planificação quase triângulo equilátero. cial e na forma como aluno para determinar identificar os sólidos mo se ilustra na figura
P1c3)
Como a secção [IJLM], d é paralela à aresta [DE] do cub deles, um prisma triangular [IJD
A maioria dos alunos re identificação dos sólidos, o ce triangular”, “cubo sem o prisma
No que diz respeito aos de fórmulas, pois muitos alun pirâmide â
prisma
resultados obtidos nestas ques Mesmo até aqueles que não o conseguiram fazer para para o cálculo da área da base de um polígono regular
também alguns alunos foram pentagonal pela diferença entr
Relativamente ao aprove quase nulo dado que quase questões, talvez devido ao fac Como primeira fase do e alunos revelaram bastantes
Figura n.º 12 – Im
determinada no cubo pelo plano de corte cubo, então os sólidos resultantes são dois [IJDELM] e o outro, um prisma pentagonal realmente construiu a secção correctame
cenário já foi diferente, aparecendo respos ma”, “prisma rectangular” e “é um trapézio” volumes, revelaram erros de cálculo e i lunos aplicaram a expressão do cálculo
e não a expressão do cálculo , factor este que influenciou de form uestões.
ue calcularam correctamente o volume do ra o cálculo do volume do prisma pentago ase do prisma pentagonal a expressão de c ó , e o pentágono em causa é ram mais expeditos e determinaram o ntre o volume do cubo e o volume do prism
veitamento e desempenho nas questões P se a totalidade dos alunos já não respon
actor “falta de tempo”.
o estudo, através dos resultados obtidos, s dificuldades na visualização espacial
Imagem da questão P2b) e P2c) da ficha de diagnó
rte, é um rectângulo e ois prismas, sendo um
al [AIJCBGHMLF]. mente, mas quanto à
ostas como “pirâmide io”. e incorrecta aplicação lo do volume de uma lo do volume de um forma significativa os do prisma triangular, gonal, pois utilizaram e cálculo de uma área é irregular. Contudo o volume do prisma sma triangular.
s P3c) e P3d) este foi pondeu a estas duas s, verificou-se que os ial, assim como na
construção geométrica. Na procedimentos, que deveriam
6.2 - Dados da segunda
Esta segunda fase do estruturada de forma a que os e onde a própria resolução de A actividade denomina implementada na última parte que se podem agrupar em três 1ª etapa) Construção geo
de um poliedro regu determinassem qual o Posteriormente, e atrib os cálculos necessário novo sólido;
2ª etapa) Cálculo de áre capacidades de dem dimensão da aresta d estes foram solicitado volumes, dos dois sólid 3ª etapa) Relatório – nes
que contemplasse a tarefas a que foram su Analisando de forma qua estudo, verificou-se que cont tarefas propostas, quer de int relacionado com questões algé termos de avaliação, nesta seg
a parte algébrica foi notório o défice m ser pré-requisitos apreendidos durante o
da fase
o estudo contemplou um processo ma os alunos realizassem trabalho dentro e fo de um conjunto de tarefas propostas foi igua inada “Vamos Descobrir Novos Polie rte do primeiro período, contemplou um c rês etapas distintas:
geométrica – inicialmente foi solicitado aos gular, e de acordo com determinados l o sólido que se iria obter, fazendo a s tribuindo um valor à aresta do sólido de p rios e procediam à realização da planificaç áreas e volumes – nesta fase, com o int monstração, exigiu-se aos alunos que do poliedro regular de partida uma letra dos a determinar a razão entre as áreas ólidos;
esta última etapa, os alunos tiveram que e a descrição de todo o processo efectua sujeitos.
uantitativa e qualitativa os resultados obt ntinuaram a surgir enormes dificuldades interpretação e construção geométrica, qu lgébricas. O gráfico seguinte ilustra os res segunda fase do projecto de investigação.
fice de conceitos e o ensino básico.
ais elaborado e foi fora da sala de aula, gualmente faseada.
liedros” (anexo V), conjunto de tarefas os alunos que a partir os planos de corte, a sua caracterização. e partida, efectuariam ação e construção do intuito de analisar as e utilizassem para a tra, por exemplo a, e eas, assim como dos entregar um relatório tuado nas diferentes
obtidos nesta fase do es na resolução das quer no desempenho esultados obtidos, em
De um total de 26 aluno resultados positivos, dos qu classificação média de aprox Houve ainda 11 alunos que nã mesmo resultados muito baixo começaram a existir flutuações aluna n.º 7, que na realidade t disciplina de Matemática.
Para entender melhor desempenho dos alunos face actividade.
Gráfico n.º 3
unos que realizaram esta segunda activid quais 4 com um desempenho de Mui oximadamente 10 valores, numa escala não conseguiram atingir resultados positiv
ixos, ou seja, abaixo dos 6 valores. Aliás, ões na composição da turma e uma desistê
e tinha vindo a demonstrar um aproveitam r os resultados obtidos, o seguinte gr e aos critérios de avaliação previstos para
º 3 – Classificação da Actividade “vdnp” – 2ª fas
ividade, 15 obtiveram uito Bom, sendo a la de 0 a 20 valores. itivos, dos quais 7 têm s, foi nesta altura que stência imediata foi da mento muito fraco na gráfico demonstra o ara a classificação da
Dos critérios de avaliação construção do sólido e a capac Esta actividade foi estrutu partir de um dado poliedro r determinassem o sólido resu construção, quando, por exem
• Uma face pelo seu pon
• Um vértice por um plan
• Uma aresta pelo seu p Posteriormente a esta ta relativas à relação entre área resultante, atribuindo uma letr partida.
Na primeira etapa, relativ aluno concluir sobre o assunto de partida, e posteriormente e
Gráfico n.º 4 – Des
ção definidos para esta actividade, as tarefa pacidade de demonstração eram as que tin
uturada de forma a que inicialmente a taref regular, e de acordo com determinado esultante, assim como elaborassem a
mplo, se substitui: onto central; lano;
u ponto médio.
tarefa, os alunos foram solicitados a efect reas, assim como de volumes entre o só etra (a, b ou c) à dimensão da aresta do ativa à investigação e ao estudo do sólido nto, teria que atribuir uma dimensão exacta e efectuar os cálculos necessários para qu
esempenho dos alunos na Actividade “vdnp” –
refas de planificação e tinham maior peso.
refa dos alunos era, a dos planos de corte, a sua planificação e
ectuar demonstrações sólido de partida e o do poliedro regular de ido resultante, após o cta à aresta do sólido que determinasse as
dimensões das arestas do construção. Contudo, verificou seja, após descobrirem qual e sua aresta e procederam desta
Nas actividades proposta
Figur
Figur
Figura
o novo sólido, de forma a efectuar a cou-se que muitos dos alunos optaram p
l era o novo sólido, atribuíram um valor exa sta forma à sua planificação e construção stas, os sólidos de partida e de chegada era
gura n.º 13 – sólidos da actividade n.º 1 “vdnp” Cubo Dodecaedro rômbico
gura n.º 14 – sólidos da actividade n.º 2 “vdnp” Cubo Cuboctaedro
ura n.º 15 – sólidos da actividade n.º 3 “vdnp” Octaedro Cuboctaedro
a sua planificação e pela via inversa, ou exacto à dimensão da
geométrica. eram os seguintes.
Durante a realização d dúvidas, nomeadamente no q resultantes, quer ao nível do n das próprias faces, havendo planificar e construir o sólido cuboctaedro, houve alguns a
Figur
Figu
Figu
desta primeira etapa os alunos evide que diz respeito à identificação e caracte o número de vértices e dimensões das are mesmo alunos que não conseguiram n ido respectivo. Nas actividades cujo sólid
alunos que construíram um sólido, que
ura n.º 16 – sólidos da actividade n.º 4 “vdnp” Tetraedro Tetraedro truncado
igura n.º 17 – sólidos da actividade n.º 5 “vdnp” Tetraedro Octaedro
igura n.º 18 – sólidos da actividade n.º 6 “vdnp” Cubo Tetraedro
idenciaram bastantes cterização dos sólidos restas, como a forma nesta primeira fase ólido resultante era o ue realmente tinha o
número de faces correcto, n havendo rectângulos e triângu No decorrer desta fase pequeno parágrafo sobre as d tal, apresentam-se de seguida
“Não sei como construir o são as diagonais faciais do cu terão a dimensão √6 6 √
“No inicio não percebi be aresta do cubo”, achei um pou
“Eu senti a dificuldade d consegui aperceber-me disso”
“Senti mais dificuldade em vértice no octaedro vai dar o s
“Tive dificuldade em cons
“Durante a realização da o sólido pois era difícil fazer e
no entanto as faces não eram todas, p gulos isósceles pelo meio.
e da actividade pediu-se aos alunos que dificuldades que sentiram na realização d da alguns desses relatos.
ir o tetraedro a partir do cubo, sei que as a cubo, se o cubo tiver 6 cm de aresta, as a
√72 cm. Como construir um sólido com ra
Alun
bem o exercício porque não sabia para qu ouco confuso”.
Alun
de haver 3 triângulos iguais e um diferen so”.
Aluno
em entender como é que se eu substituir o sólido que está no lado direito”.
Aluno
onstruir o sólido, esqueci-me de tapar os bu
Aluno
das 2 tarefas o que para mim me atrapalho e cortar bem as linhas com as medidas ce
Aluno
polígonos regulares, que escrevessem um destas tarefas, como
s arestas do tetraedro s arestas do tetraedro
raízes?”.
uno n.º 1, Actividade 6
que servia “o valor da
uno n.º 8, Actividade 6
rente e só mais tarde
no n.º 13, Actividade 6
uir cada aresta por um
no n.º 14, Actividade 3
buracos”.
no n.º 24, Actividade 2
lhou mais foi construir certas”.
Como o trabalho foi rea alunos terem a oportunidade d cálculos necessários e constr estão ilustrados nas figuras se
Figura n.º 19 – Foto
Figura n.º 20 – Foto c
realizado faseadamente, e fazia parte d e de corrigir as suas falhas, então estes vol struir novamente os seus sólidos, sendo seguintes.
to com sólidos produzidos pelos alunos na actividad
to com sólidos produzidos pelos alunos na actividad
do procedimento os voltaram a efectuar os do que alguns deles
dade “vdnp”
Relativamente ao cálculo à capacidade de demonstraç revelaram imensas dificuldade exactidão a dimensão das semelhança de figuras, dific cometeram erros graves de c com radicais, erros na aplicaç
Apresentam-se de seguid do cálculo algébrico.
Figura n.º 21 – Foto c
Figura n.º 22 – pr
ulo algébrico e a sua relação com a interpr ração e uso adequado da linguagem sim
des em interpretar correctamente as figura s arestas, evidenciaram falta de base ificuldade em trabalhar com letras em conceitos e procedimentos, principalmen ação do Teorema de Pitágoras e resolução
uida alguns exemplos que evidenciam est
to com sólidos produzidos pelos alunos na actividad
proposta de resolução do aluno n.º 2 à questão 2 (
rpretação geométrica, simbólica, os alunos ras e determinar com ses no conceito de m vez de números, ente erros ao operar ão de equações.
stas lacunas ao nível
ade “vdnp”
Na realidade a maioria d nas seguintes questões da act
3. Construiu um sólido situação qualquer em que a existe entre a área da superfíc
Figura n.º 24 – Figura n.º 23 –
a dos alunos não conseguiu superar o qu actividade:
o com dimensões específicas. Agora ge a aresta do sólido de partida é a. Determ
rfície do sólido de partida e a área do sólido
proposta de resolução do aluno n.º 15 à questão – proposta de resolução do aluno n.º 5 à questão 2
que lhes foi proposto
generalize para uma ermine a relação que ido obtido.
ão 3 (A5) o 2 (A1)
4. Determine a relação en
Também nesta segunda parágrafo, as dificuldades sen “vamos descobrir novos polie dessas citações.
“Não consegui determina como não consegui determin resolver cálculos intermédios”.
“Não consegui fazer corr volume da pirâmide e compa sólido, depois de o construir d aresta do cubo, por isso está m
“Fiquei confuso no ex. pesquisei na wikipédia) e não impressão de que os volumes
6.3 - Dados da terceira f
Devo aqui realçar que es termo de comparação e aval desenvolvidas pelos alunos ao A ficha de trabalho (ane problemas que incidiam nov solicitado aos alunos, identif planificação, cálculo de áreas e
entre os volumes do sólido de partida e do
a etapa foi pedido aos alunos que relatas entidas durante a realização das questões liedros”, e como tal, são apresentadas d
inar a relação entre as superfícies do cubo inar a relação dos volumes, porque ten s”.
Alun
orrectamente o ex. 2 e 3, pois tive dificuld pará-lo devidamente com o volume do cu ir descobri que altura de cada pirâmide dev
á mal construído”.
Alun
x. 3, usei umas expressões para calcu