A análise dos erros que os alunos cometem ao resolverem exercícios e ou problemas de Matemática têm sido objeto de muitas pesquisas, tanto nos âmbito nacional como internacional. As pesquisas são organizadas, de acordo com objetivo que se pretende alcançar e inserem-se em diferentes linhas de pesquisas.
Rico (1995) considera como principais, quatro polos de linhas de pesquisa sobre análise de erros:
Primeiro: estudos relativos à análise de erros, causas que os produzem ou elementos que os explicam e taxonomias e classificações de erros detectados.
Segundo: estudos dedicados ao tratamento curricular dos erros de aprendizagem em matemática.
Terceiro: são considerados os estudos dedicados a determinar o que é importante aos professores em formação aprenderem em relação aos erros que os alunos cometem. Quarto: incluímos neste polo aqueles trabalhos de caráter técnico que implementam e mantém uma determinada classe de análise sobre erros. (p. 85)
Cury (2007, p. 1) também trata dessa variedade de estudos sobre erros. De acordo com pesquisadora, “os estudos sobre erros cometidos por estudantes de Matemática têm apresentado enfoques variados, dependendo dos objetivos com que professores e pesquisadores se debruçam sobre as produções dos alunos”.
Essa diversidade de modos pelos quais é possível analisar os erros dos alunos é de fundamental importância, pois o erro revela as concepções que os alunos possuem ou não a respeito de determinados objetos do conhecimento.
Nesse sentido, a análise de erro pode se tornar um importante instrumento para o professor, por possibilitar a identificação do que o aluno tem conseguido aprender, de que maneira que essa aprendizagem vem se dando e quais estratégias pedagógicas são possíveis de serem utilizadas com o intuito de ajudar o aluno a avançar.
Para Cury (2007)
Qualquer produção, seja aquela que apenas repete uma resolução-modelo, seja a que indica a criatividade do estudante, tem características que permitem detectar as maneiras como o aluno pensa e, mesmo, que influências ele traz de sua aprendizagem anterior, formal ou informal. Assim, analisar as produções é uma atividade que traz para o professor e para os alunos, a possibilidade de entender, mais de perto, como se dá a apropriação do saber pelos estudantes. (p.13)
Com base nessa análise da produção dos alunos, conforme recomenda Cury (2007) é possível perceber as regularidades de certos erros, as concepções equivocadas dos alunos, os possíveis obstáculos que são partes do próprio conhecimento que está impedindo o aluno de aprender. É possível ainda fazer uma reflexão sobre os resultados de determinadas metodologias adotadas e a pertinência do currículo.
Tendo em vista que o objetivo de nossa pesquisa é analisar as estratégias utilizadas com foco na identificação dos erros dos alunos em questões de Álgebra do Saresp, passaremos a apresentar as classificações de erros propostas por Radatz (1979) e Movshovitz- Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987), destacando o fato de que, para nossa pesquisa, utilizamos essa última proposta de classificação por conta das categorias presentes nesse estudo.
Iniciamos por Radatz (1979) que realizou uma classificação de erros em cinco categorias:
1. Erros em razão das dificuldades de linguagem
Nesta categoria, estão erros relacionados aos conceitos, símbolos e vocabulário matemáticos. O pesquisador afirma que, para alguns alunos aprenderem a linguagem Matemática é tão complexo como aprender um idioma. A falta de compreensão semântica dos textos matemáticos é fonte de erro para muitos alunos;
2. Erros em razão das dificuldades para obter informação espacial
Alguns alunos têm dificuldade para obter informação visual ou espacial na execução de uma tarefa matemática;
3. Erros em razão de uma aprendizagem deficiente de dados, habilidades e conceitos prévios Os erros incluídos nesta categoria são aqueles que aparecem, quando os alunos necessitam de conhecimentos anteriores para a realização da tarefa;
4. Erros em razão das associações incorretas ou da rigidez de pensamento
As experiências com problemas anteriores podem ser uma causa dos erros à medida que o aluno consegue perceber que se trata de nova situação. Dentro desta categoria, encontram-se os seguintes erros: erros por perseverança, erros de associação, erros de interferência, erros de assimilação e erros de transferência; e
5. Erros em razão da aplicação de regras ou estratégias irrelevantes
Erros deste tipo ocorrem, quando se aplicam regras ou estratégias similares em áreas de conteúdos diferentes.
Os pesquisadores Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) com base na constatação a respeito do baixo desempenho dos alunos da escola secundária de Israel em um exame daquele país, determinaram seis categorias para os erros mais comuns apresentados. As categorias propostas são as seguintes:
1. Dados mal utilizados
Esta categoria inclui os erros que podem ser identificados, quando ocorre discrepância entre os dados fornecidos na questão e como o aluno os interpreta. Esse tipo de erro pode ocorrer, tanto no início da resolução de uma situação como durante o processo. Dentro desta categoria encontram-se os casos em que: o aluno acrescenta dados estranhos, despreza dados fornecidos que são necessários à resolução e compensa a falta de informação com dados irrelevantes; admite certas exigências que não são explícitas no problema, atribui a um elemento um significado inconsistente com o texto, utiliza um valor numérico de uma variável para outra variável e faz uma leitura errada do enunciado;
2. Interpretação incorreta de linguagem
Nesta categoria, enquadram-se os erros caracterizados pela tradução de uma linguagem para outra. Estes erros ocorrem, quando a tradução de uma expressão que está na
linguagem natural em um termo matemático ou equação não representa a situação quando, esta é descrita verbalmente; quando se utilizam símbolos para realizar uma operação, mas opera-se como se a situação fosse outra e a interpretação é incorreta dos símbolos gráficos. Como exemplo do último aspecto, os pesquisadores mostram a combinação incorreta de um par ordenado com um ponto de interseção de duas retas representadas graficamente;
3. Inferências logicamente inválidas
Nesta categoria de erros, estão aqueles que se relacionam muito mais a um raciocínio falacioso sobre as informações do que necessariamente a conteúdos específicos.
Para Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987)
A: Concluir a partir de uma instrução condicional (se p, então q) a conservar tanto em sua forma positiva (se q, então p) ou em sua forma contrapositiva (se não p, então não q).
B: Considerações a partir de uma instrução condicional (se p, então q) e da sua consequente q que o antecedente p é válido, ou concluir a partir de uma instrução condicional e a negação de seu antecedente (não p) que a negação de seu consequente (não q) é válida.
C: Concluir que p implica q quando q não segue necessariamente a partir de p. D: Utilizar quantificadores lógicos como "todos", "não existe", ou "pelo menos" no lugar errado.
E: Fazer um salto injustificado em uma inferência lógica, ou seja, afirmando que q segue de p sem fornecer a sequência necessária de argumentos principais de p para q, ou fornecer argumentos errôneos. (p. 10-11, tradução nossa).
4. Teoremas ou definições distorcidos
Nesta categoria estão os erros relacionados à distorção de um princípio identificável, uma regra, um teorema ou definição.
São elementos dessa categoria:
A: Aplicar um teorema fora de suas condições (por exemplo, a aplicação da lei dos senos, a b
sen α sen β, onde a e α não pertencem ao mesmo triângulo como b e β). B. Aplicar a propriedade distributiva para uma função ou operação não distributiva (por exemplo, s en (α β ) sen α sen β ; logalog a
b log b, n n n
( a b ) a b ) C: Uma citação imprecisa de uma definição reconhecível, teorema, ou fórmula (em uma parábola, o valor mínimo é de min
b x a em vez de min b x 2a;
( a b )² a² 2ab b²) (MOVSHOVITZ-HADAR, ZASLAVSKY e INBAR , 1987, p. 11-12, tradução nossa).
5. Falta de verificação da solução
Nesta categoria, estão os erros que se caracterizam quando o aluno segue todos os passos para resolver o problema corretamente, mas o resultado final não está de acordo com a pergunta inicialmente proposta. No entanto, se ele verificasse sua resposta levando em conta o enunciado do problema, o erro cometido poderia ser evitado;
6. Erros técnicos
Nesta categoria incluem-se os erros de cálculo, erros na extração de dados de tabelas, erros na manipulação de símbolos algébricos e outros erros de algoritmos que são estudados na matemática.
A classificação construída por Movshovitz-Hada, Zaslavsky e Inbar (1987) mostrou-se interessante a nossos objetivos, sobretudo, por conter as categorias: dados mal utilizados, interpretação incorreta da linguagem, falta de verificação da solução e erros técnicos. Em razão do fato de que o instrumento de coleta de dados que elaboramos ser composto por situações-problema, expressões a serem manipuladas algebricamente e também representações gráficas e algébricas, é que entendemos que esse referencial serve a nossos propósitos.
As categorias de erros apresentadas mostram os caminhos percorridos por diferentes pesquisadores que buscaram compreender, interpretar e classificar, com base na produção dos alunos, os erros mais recorrentes. Nesse sentido, a análise dos erros cometidos pelos alunos, especialmente, nas questões relacionadas à Álgebra, pode revelar a maneira como os alunos pensam e agem em relação aos conhecimentos algébricos.
Deter-se nas causas dos erros, buscando interpretá-los no sentido de se encontrar sua causa ou origem pode contribuir com o professor na organização do ensino e no modo como interpreta os erros dos alunos.
Concordamos com Socas et al. (1996), ao comentarem que a análise dos erros: tem um duplo interesse: de uma parte, serve para ajudar os professores a conduzir melhor o ensino-aprendizagem da álgebra, dando ênfase nos aspectos em que os alunos cometem erros e de outra, contribui para uma melhor preparação de estratégias para a correção dos mesmos. (p.109)
A percepção da importância de se utilizar a análise dos erros é confirmada por Rico (1995) que enfatiza o uso dos erros pelo professor como modo de levar o aluno a compreender mais profundamente a Matemática. Conforme esse pesquisador:
Utilizar os erros como motivação e meio para interrogar sobre a natureza das matemáticas pode melhorar a compreensão das matemáticas como disciplina por parte dos estudantes. Compreender uma matéria implica muito mais simplesmente “aprender como compreensão” seu conteúdo básico. Também inclui compreender sua filosofia, a metodologia empregada, o alcance e as limitações da disciplina; deve incluir o desenvolvimento de atitudes positivas para a disciplina. (p.95).
Cabe citar ainda a contribuição de Bisognin, Cury e Fioreze (2005, p. 32) ao afirmarem que “Conhecer as concepções dos alunos sobre algum conceito, analisar como ele pensa ao resolver um problema são elementos que podem fazer da análise de erros uma forma de pesquisar a própria prática pedagógica”.
Desse modo, a nossa pesquisa fundamenta-se nesses pressupostos ao propor a análise de estratégias com foco nos erros que os alunos cometem ao resolverem questões de Álgebra baseadas no Saresp. Para isso, analisaremos as resoluções dos alunos em um instrumento de coleta de dados que elaboramos a partir das questões que estão nos relatórios do Saresp de 2008 a 2011, buscando destacar as estratégias utilizadas pelos alunos e identificando os erros cometidos e classificando-os, de acordo com as categorias propostas por Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) que são as seguintes: dados mal utilizados, interpretação incorreta de linguagem, inferências logicamente inválidas, teoremas ou definições distorcidos, falta de verificação da solução e erros técnicos.
Entendemos, que desta forma, compreenderemos melhor as estratégias que os alunos, sujeitos de nossa pesquisa, utilizam e os erros que cometem ao resolverem questões de Álgebra do Saresp e assim, poderemos contribuir para reflexão sobre esses aspectos.