Análise dos Dados
Neste capítulo, apresentamos as análises que realizamos das estratégias utilizadas pelos alunos ao resolverem as questões do instrumento de coleta de dados que elaboramos, com foco nos erros cometidos por eles. Para a classificação dos erros, baseamo-nos nas categorias propostas por Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) quais sejam: dados mal utilizados, interpretação incorreta de linguagem, inferências logicamente inválidas, teoremas ou definições distorcidos, falta de verificação da solução e erros técnicos.
Após a coleta de dados, iniciamos o processo de correção e análise das resoluções dos alunos às questões propostas. Nessa etapa, nosso olhar voltou-se paras as diferentes estratégias utilizadas, para as dificuldades encontradas e para os erros que os alunos cometiam buscando elementos que pudessem nos auxiliar na interpretação das estratégias, na identificação das dificuldades e na classificação de tais erros. Consideramos como resoluções corretas aquelas a que os alunos chegaram a uma resposta, de acordo com a que prevíamos na análise a priori.
Para cada questão organizamos uma tabela com o número de resoluções corretas, erradas e em branco, pois, desta forma, torna-se mais fácil visualizar o desempenho dos alunos.
Questão 1 - Carla está calculando o custo de uma viagem de carro. Ela sabe que, para andar 120 km, seu carro consome 15 litros de combustível, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Quanto Carla gastará em uma viagem de 960 km?
Resoluções corretas Resoluções erradas Em branco
8 6 1
O aluno poderia resolver esta questão por meio de uma regra de três e desta forma equacionar o problema. Dentre os que acertaram, quatro optaram em resolver por meio de uma equação. Apresentamos a resolução do aluno 7 como exemplo dessa estratégia. Na análise a priori que fizemos, prevíamos essa estratégia de resolução.
Figura 2 - Protocolo do aluno 7 - Questão 1
Também é possível resolver a questão, utilizando outras estratégias, conforme podemos constatar na resolução do aluno 12. Inferimos que a estratégia escolhida foi encontrar a quantidade de litros de gasolina que se gasta para percorrer 960 km de distância. Para isso, ele dividiu 960 por 120, encontrando o número 8 e, em seguida, multiplicou esse número por 15, encontrando, assim, 120, que era a quantidade de litros para se percorrer 960 km e, por fim, multiplicou 120 pelo valor do litro de combustível, que é de R$ 2,00, determinando corretamente o custo da viagem.
Figura 3 - Protocolo do aluno 12 - Questão 1
O número 8 calculado pelo aluno 12 representa a quantidade de quilômetros que se percorre com um litro de combustível. Além desse aluno, os alunos 4, 9 e 10 também
utilizaram estratégias com base no uso desse número, conforme podemos constatar nos protocolos a seguir.
Figura 4 - Protocolo do aluno 10 - Questão 1
No caso do aluno 9, ele efetuou todas as operações corretamente e até escreveu o que significava cada resultado encontrado, mas errou ao colocar a vírgula no número 240. Consideramos que se trata mais de uma falta de atenção à pergunta do problema, uma vez que a estratégia de resolução estava correta. Nesse caso podemos classificar esse tipo de erro como pertencente à categoria falta de verificação na solução, que ocorre quando todos os passos estão corretos, mas o resultado final não está de acordo com o que foi perguntado no problema.
Figura 5- Protocolo do aluno 9 - Questão 1
O aluno 4 também utilizou uma estratégia correta na resolução da questão, mas a resposta apresentada não estava de acordo com a pergunta do problema. Este erro também pode ser categorizado, como falta de verificação na solução.
Figura 6 - Protocolo do aluno 4 - Questão 1
Apresentamos mais um exemplo de resolução em que o aluno utilizou outra estratégia. O interessante na resolução desse aluno foi o fato de que ele não chegou ao resultado por um caminho direto, mas persistiu até conseguir resolver o problema. Dentre essas tentativas, está a percepção por parte do aluno da existência de proporcionalidade entre a quantidade de combustível e a distância que se percorreu. Cabe destacar que para registrar essa proporcionalidade, ele utilizou o sinal de igualdade, o que revelou uma inadequação na utilização da simbologia matemática.
Figura 7 - Protocolo do aluno 14 - Questão 1
A seguir, apresentamos as resoluções das quais as estratégias utilizadas não levaram o aluno à resposta correta.
Na resolução do aluno 5, entendemos, que a estratégias utilizada revelou um erro que pode ser classificado de acordo com a primeira categoria de erros proposta por Movshovitz- Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) que se caracteriza, quando os dados do problema são mal
utilizados. Esse aluno determinou a quantidade de litros gastos na viagem de 960 km de distância, mas cometeu um erro, quando interpretou que 15 litros de litros de combustível custavam R$ 2,00 e não que cada litro custava esse valor.
Figura 8 - Protocolo do aluno 5 - Questão 1
O aluno 11 apresentou os cálculos com os dados apresentados no problema, mas todos eles não faziam com que conseguisse resolver o problema corretamente. O aluno não conseguiu articular corretamente os dados do problema e acabou fazendo cálculos que não o levara à resposta correta. Este tipo de erro também pode ser classificado na categoria de dados mal utilizados.
Na estratégia apresentada pelo aluno 15, podemos notar que ele efetuou uma multiplicação, usando o número 120, que é a quantidade de quilômetros que se percorre com 15 litros de combustível e o número 2, que é o valor de cada litro de combustível. Este erro pode ser classificado como dados mal utilizados, pois houve incompatibilidade na maneira como os dados foram relacionados pelo aluno. Por outro lado, ele também multiplica 15 por 2 que nos leva a supor que pensou em calcular o valor gasto para percorrer o percurso de 120 km e foi o resultado dessa operação que ele escreveu como resposta para o problema.
Figura 10 - Protocolo do aluno 15 - Questão 1
O aluno 2, cujo protocolo apresentamos a seguir, realiza uma série de cálculos, mas efetivamente não deu uma resposta correta ao problema. Em sua resolução, havia cálculos corretos, e a maior dificuldade do aluno estava em coordenar os resultados e interpretar o que cada um significava. Entendemos que, nesse caso, os erros cometidos podem ser classificados como falta de verificação na solução, pois se o aluno tivesse conseguido refletir sobre os resultados que chegou e comparando-os ao questionamento feito no problema, ele poderia ter chegado à resposta correta.
Figura 11 - Protocolo do aluno 2 - Questão 1
Na parte da resolução destacada a seguir podemos perceber que ele organizou corretamente os dados do problema, utilizando as letras m para representar a quantidade de litros que se consome para percorrer 960 km e x para representar o valor que gasta para percorrer essa distância.
Figura 12 - Protocolo do aluno 2 - Questão 1
No entanto, o aluno efetuou uma série de cálculos e chegou a resultados dos quais não tinha certeza sobre seu significado. Por exemplo, quando calculou a quantidade de litros de combustível que é gasto para percorrer 960 km, risca os cálculos que fez.
Figura 13 - Protocolo do aluno 2 - Questão 1
Há anotações que mostram que aluno calculou a despesa com combustível para percorrer 960 km, mas não sabia o que significa o valor encontrado, uma vez que não usou esse valor para dar a resposta ao problema.
Figura 14 - Protocolo do aluno 2 - Questão 1
Para finalizarmos as análises referentes à Questão 1, apresentamos o protocolo do aluno 1 que escreveu os dados apresentados pelo problema, realizou alguns cálculos, mas efetivamente não chegou a resultados concretos nem escreveu a resposta para o problema.
Figura 15 - Protocolo do aluno 1 - Questão 1
Comentários a respeito do desempenho dos alunos na Questão 1
Mais da metade do número dos sujeitos de nossa pesquisa conseguiu resolver corretamente esta questão, seja usando a estratégia de equacionar o problema ou por outras estratégias. De fato, o problema possibilitou formas diferenciadas de resolução. Interessante foi notar que os alunos conseguem resolver os problemas de diferentes modos desde que se dê abertura para que o façam. Foi desta forma que agiram ao resolver o instrumento de coleta de dados de nossa pesquisa.
No que diz respeito aos erros revelados nas resoluções, constatamos a maior ocorrência do tipo de erros, cujos dados são mal utilizados, por exemplo, ao se considerar que 15 litros de combustível custavam R$ 2,00 e não que esse era o valor de um único litro. A interpretação correta dos dados de um problema e a forma como são organizados, ajuda o aluno a operar corretamente. No caso dos alunos que erraram, a principal causa foi exatamente por não conseguirem utilizar corretamente os dados do problema.
Questão 2 - O sistema 3x y 2
x y 2
é representado geometricamente pelo gráfico:
Quais são as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas?
Resoluções corretas Resoluções erradas Em branco
2 5 8
Nesta questão, o número de protocolos em branco revelou a dificuldade dos alunos com relação à representação gráfica da solução de um sistema de equações. O fato de termos retirado as alternativas da questão impossibilitou que os alunos utilizassem a estratégia de substituir os valores fornecidos nas incógnitas e verificar se eram ou não solução do sistema. Assim, por se tratar de um problema que não oferece diferentes maneiras de resolução, acreditamos que a dificuldade para resolvê-lo foi maior.
Dois alunos resolveram corretamente o sistema de equações utilizando o método da substituição, mas não podemos afirmar que eles compreendiam que os valores encontrados representavam as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas. Apresentamos a seguir o protocolo de um desses alunos.
Figura 16 - Protocolo do aluno 12 - Questão 2
Dentre os cinco alunos que erraram a resolução desta questão, três optaram por resolver o sistema pelo método da substituição. Classificamos os erros cometidos como técnicos, dos quais os alunos se confundem na manipulação de símbolos algébricos e falta de verificação da solução, pois todos os passos foram seguidos corretamente, mas a resposta não estava de acordo com o que se questionava no problema.
O aluno 3 isolou a incógnita x corretamente na segunda equação - x - y = - 2 e substituiu a expressão encontrada também de maneira correta na primeira equação 3x - y = 2. Mas, equivocou-se ao aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração: 3(2 - y) = 6 - 6y. Classificamos esse erro como falta de verificação na solução, uma vez que todos os passos estavam corretos, mas a solução não. Caso o aluno tivesse verificado a solução encontrada, poderia ter notado que ela não estava correta e retomado o processo de resolução.
Figura 17 - Protocolo do aluno 3 - Questão 2
Os erros que os alunos cometeram nas duas resoluções apresentadas a seguir são do mesmo tipo, eles adicionaram número com incógnita e incógnitas diferentes. O aluno 5 fez 2 + y = 2y e - x - y = -xy e o aluno 6 faz - 2 + y = - 2y. Nesse caso, trata-se de erros técnicos, pois manipularam os símbolos algébricos de maneira errada. Pelos registros desses alunos, podemos notar que a concepção que eles têm a respeito da adição é que ela deve ser compreendida em termos de uma ação a ser realizada, assim como apontam Kieran (1981) e Booth (1995).
Figura 19 - Protocolo do aluno 6 - Questão 2
Por outro lado, o aluno 10 utiliza a estratégia de substituir a incógnita de uma equação por um número e calcular o valor da outra incógnita na mesma equação. Fez isso na primeira equação substituindo x pelo número 2, calculou y = 2. Em seguida substituiu y por 2 na outra equação para determinar o valor de x = 0. Este aluno parece ter confundido o modo de resolver sistemas de equações do 1º grau com os procedimentos para se determinar a solução de uma equação do 1º grau com duas incógnitas. Nesse sentido, entendemos que os erros cometidos podem ser classificados como técnicos.
Na resolução a seguir, o aluno 9 utilizou o método da adição para resolver o sistema. O procedimento adotado por esse aluno foi o seguinte: adicionou o termo que contém x da primeira equação com o termo que contém x da segunda e adiciona também os termos independentes; adicionou o termo que contém y da primeira equação com o termo que contém y da segunda e também adicionou os termos independentes. Na estratégia adotada por esse aluno está presente a ideia de adicionar as equações, mas sem fazer qualquer tipo de alteração em uma ou na outra equação de maneira que se fique somente com uma incógnita. Nesse caso há um erro técnico relacionado ao algoritmo de resolução de sistema pelo método da adição, além de erros como: 3x - x = 2x²; 2x² 0 x² 2 x 2; - y - y = 2y;
2y 0 y 0,que se referem a não manipulação correta dos símbolos algébricos. Figura 21 - Protocolo do aluno 9 - Questão 2
Comentários a respeito do desempenho dos alunos na Questão 2
Só dois alunos conseguiram resolver corretamente a Questão 2, o que revela a dificuldade que encontraram com relação a esse tipo de tema. Mas ainda assim, não podemos afirmar que estes dois alunos sabem que a solução de um sistema de equações é o ponto de intersecção entre duas retas representadas graficamente.
Embora, cinco alunos, dentre os que apresentaram alguma estratégia de resolução, tenham errado, eles revelaram conhecimento sobre os procedimentos de resolução de sistemas de equações do 1º grau pelos métodos da adição e da substituição. Os erros que cometeram, podem ser classificados como técnicos, pois notamos a ocorrência de erros em que se confundiram ao aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, erros em adicionaram número com letra e erros nos passos para se resolver o sistema de equações
do 1º grau. Estes alunos talvez precisem de algumas dicas e encaminhamentos para firmarem o conhecimento que têm em relação à resolução de sistemas de equações do 1º grau, haja visto que possuem alguma noção sobre as etapas de resolução.
Questão 3 - Cristina vai fazer um armário para guardar os produtos de limpeza e utensílios domésticos. Percebeu que para ocupar melhor o espaço deve organizar as prateleiras internas em três alturas diferentes: a segunda prateleira terá o dobro da altura da primeira, e a terceira, o triplo da altura da primeira. A altura total do armário é 1,80 m.
Qual é a altura da primeira, segunda e terceira prateleiras?
Resoluções corretas Resoluções erradas Em branco
9 5 1
A habilidade relacionada a esta questão procura avaliar se o aluno aplica o Teorema de Tales para resolvê-la. No entanto, não se trata de uma questão em que se possa usar esse teorema.
De acordo com a definição de Teorema de Tales apresentada por Dolce e Pompeo (2005, p. 185) “se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra” podemos perceber que não há elementos tanto no enunciado da questão como na figura que possibilitem a aplicação desse teorema.
Acreditamos que, ao se propor essa questão, levou-se em consideração que as prateleiras representariam o feixe de retas paralelas, e que as laterais, as retas transversais e acreditou-se na possibilidade de aplicação do Teorema de Tales pelo fato das alturas das prateleiras serem proporcionais. No problema, não foram fornecidos valores da altura de alguma prateleira, para que fossem interpretados como medida dos segmentos de maneira que
se estabelecesse a proporção entre as medidas dos segmentos e, se caso fossem fornecidos, não fariam sentido, pois as transversais também são paralelas, o que implica que um segmento de um lado é igual ao outro.
Dentre as resoluções corretas, seis alunos resolveram o problema por meio de uma equação do 1º grau e outros três resolveram usando outras estratégias. A seguir, apresentamos a resolução de um aluno que optou por equacionar o problema.
Figura 22 - Protocolo do aluno 10 - Questão 3
Destacamos ainda o fato desse aluno conferir sua resposta ao validar o resultado encontrado de acordo com as condições do problema, que é a de que a altura da segunda prateleira é o dobro da primeira e de que a altura terceira prateleira é o triplo da segunda e, ainda, que a soma das três da alturas é igual a 1,80 m. Na Figura 23, destacamos esse fato. Assim, além de resolver corretamente, ele domina também essa forma de conferência do resultado.
Figura 23 - Protocolo do aluno 10 - Questão 3
Três alunos apresentaram estratégias diferentes na resolução do problema proposto. Em comum, os alunos determinaram a altura da primeira prateleira e em seguida calcularam a altura das demais sem deixar de considerar que as altura das três prateleiras juntas eram de 1,80 m.
Figura 24 - Protocolo do aluno 1 - Questão 3
Na resolução do aluno 4, destacamos o modo como fez uso do sinal de igualdade, mostrando uma inadequação com relação a esse símbolo.
Figura 25 - Protocolo do aluno 4 - Questão 3
O aluno 9 tem a prática de escrever, o que representam os resultados encontrados. Figura 26 - Protocolo do aluno 9 - Questão 3
Passamos à análise das resoluções dos alunos que não chegaram às respostas corretas de acordo com a análise a priori que realizamos.
Para resolver o problema, o aluno 6 fez muitas tentativas. Dentre estas diferentes tentativas, notamos que existem resultados em que ele leva em conta a condição de proporcionalidade entre as alturas das prateleiras e altura total dessas quando calcula: 9 + 1,80 + 2,70 = 13,50. O aluno chega a resultados próximos aos esperados, mas confundiu-se em relação à vírgula quando calculou 1,80 : 3 = 6,0 e isso ocorreu novamente ao efetuar 1,80 : 2 = 9,0. Como ele continuou dividindo o nove, supomos que se nesse momento ele soubesse realizar a divisão com número decimal, teria chegado ao resultado correto, pois ele apresentou o cálculo: 3,00 + 6,00 + 9,00 = 1,80. Há também uma confusão em relação à unidade de medida. Na figura que representa as prateleiras ele apontou setas com os valores de 3 m, 6 m e 9 m. Nesse caso, entendemos que os erros cometidos configuram-se como erros técnicos de acordo com a classificação proposta por Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987).
A seguir, a resolução que apresentamos pode ser classificada na categoria de erros proposta por Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987), cujos dados são mal utilizados que ocorrem, entre outras razões, quando há discrepância entre os dados fornecidos na questão e como o aluno os interpreta.
Pela resolução, notamos que ao dividir 1,80 por 3, o aluno considerou que a altura entre as três prateleiras é igual. Nesse caso, não leva em conta a informação de que a altura da segunda é o dobro da primeira e que a altura da terceira é o triplo da primeira. No entanto, ao multiplicar 0,60 por 2 e por 3, parece-nos que considerou a proporcionalidade entre as prateleiras. Ou seja, a condição de proporcionalidade está presente, mas foi utilizada com valores inadequados.
Figura 28 - Protocolo do aluno 8 - Questão 3
A resolução a seguir é bastante semelhante a anterior e nesse sentido, compreendemos que também pode ser classificada na categoria de dados mal utilzados.
No próximo protocolo, notamos que o aluno realizou todos os cálculos corretamente, mas não respondeu a pergunta do problema sobre a medida da altura das três prateleiras e limitou-se a responder somente a altura da primeira. Dessa forma, houve uma falta de atenção do aluno em relação ao enunciando do problema e não, propriamente, erros nos cálculos realizados. É importante observar que o aluno não utilizou a unidade de medida, simplesmente escreveu 90. Nesse caso, houve uma desconsideração em relação ao emprego correto da notação da unidade de medida.
Figura 30 - Protocolo do aluno 14 - Questão 3
Por fim, apresentamos o protocolo do aluno 15 que resolveu o problema considerando que a altura da prateleira era de 1,80 m, multiplicou esse número por 2 e o resultado por 3 chegando ao valor de 10,80. Consideramos que esta resolução enquadra-se na categoria de dados mal utilizados, pois o aluno considerou que a medida de 1,80 m era da primeira prateleira e não a soma das três prateleiras, além de não levar em consideração a proporcionalidade entre a altura das prateleiras.
Comentários a respeito do desempenho dos alunos na Questão 3
A maior parte dos alunos conseguiu resolver corretamente a Questão 3. Dentre as estratégias mais utilizadas, estão aquelas em que o aluno equacionou o problema. Dos nove alunos que conseguiriam acertar, seis optaram por resolver desse modo. Os outros alunos resolveram o problema por meio de outras estratégias que se mostraram interessantes.
Com relação às resoluções não corretas, os tipos de erros que verificamos foram os erros técnicos e os erros ocorridos, quando os dados são mal utilizados. A predominância dos erros classificados como dados mal utilizados revela a dificuldade de alguns alunos para extrair as informações importantes do enunciado. No caso da Questão 3, era preciso levar em consideração duas informações importantes. Uma delas dava conta da proporcionalidade entre as alturas das prateleiras e a outra é sobre a altura total destas. Alguns alunos determinaram valores proporcionais para a altura, mas que ultrapassavam a altura máxima das prateleiras.
Questão 4 - Numa gincana de Matemática, Hélio calculou mentalmente dois números de