Para a construção do instrumento de coleta de dados de nossa pesquisa optamos por escolher questões de Álgebra que estão nos relatórios pedagógicos do Saresp dos anos de 2008 a 2011. Essa escolha deveu-se ao fato de que, a partir do ano de 2008, algumas mudanças foram implantadas no modelo de avaliação que até então estava em curso. No documento intitulado Matriz de Referência para Avaliação, elaborado pela Secretaria de Educação estão apontadas quais foram essas mudanças:
Os itens das provas foram pré-testados, o que resultou em instrumentos dotados de mais qualidade métrica. Houve também a adequação das habilidades avaliadas no Saresp às do Sistema de Avaliação da Educação Básica Saeb/Prova Brasil, para a quarta e oitava séries e terceira série do Ensino Médio. Finalmente, os resultados do Saresp foram colocados na escala do Saeb (SÃO PAULO, 2009, p. 7).
Escolhidos os relatórios, passamos à etapa de seleção das questões de Álgebra. Para essa escolha apoiamo-nos na classificação de atividade algébrica proposta por Kieran (2004), conforme já descrevemos no capítulo 2. Nos quadros a seguir, apresentamos o número de cada questão que se encontra nos relatórios pedagógicos com as respectivas habilidades.
Quadro 2 - Relação das questões e habilidades do relatório pedagógico de 2008
Número da
questão Habilidades
1 H42 Resolver problemas que envolvam informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
2 H35 Aplicar o Teorema de Tales, como uma forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos.
3 H44 Resolver problemas que envolvam processos de contagem; princípio multiplicativo. 4 H06 Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema.
5 H20 Resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau.
6 H34 Calcular a área e o volume de um cilindro.
7 H07 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau. 8 H28 Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas
cartesianas e equações lineares.
9 H35 Aplicar o Teorema de Tales, como uma forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos.
Quadro 3 - Relação das questões e habilidades do relatório pedagógico de 2009
Número da
questão Habilidades
1 H43 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa. 2 H06 Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema.
3 H12 Realizar operações simples com polinômios.
4 H40 Resolver problemas que envolvam noções de volume.
5 H33 Utilizar a razão pi no cálculo do perímetro e da área da circunferência.
6 H23 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações.
7 H29 Resolver problemas que utilizam propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos) internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares.
8 H31 Calcular áreas de polígonos de diferentes tipos, com destaque para os polígonos regulares.
9 H44 Resolver problemas que envolvam processos de contagem; princípio multiplicativo.
10 H29 Resolver problemas que utilizam propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos) internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares.
11 H07 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau. 12 H39 Resolver problemas que envolvam o cálculo de área de figuras planas.
13 H13 Simplificar expressões algébricas que envolvam produtos notáveis e fatoração.
14 H11 Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.
15 H15 Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).
16 H18 Resolver sistemas lineares (métodos da adição e da substituição).
17 H27 Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.
18 H16 Resolver problemas que envolvam porcentagem.
19 H41 Resolver problemas que utilizam relações entre diferentes unidades de medida.
20 H12 Realizar operações simples com polinômios.
21 H37 Resolver problemas em diferentes contextos, a partir da aplicação das razões trigonométricas dos ângulos agudos. 22 H35 Aplicar o Teorema de Tales como uma forma de ocorrência da ideia de
proporcionalidade, em diferentes contextos.
23 H10 Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação – expoentes inteiros e radiciação). 24 H28 Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas
cartesianas e equações lineares.
26 H33 Utilizar a razão pi no cálculo do perímetro e da área da circunferência.
27 H30 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam triângulos semelhantes. 28 H28 Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas
cartesianas e equações lineares.
29 H45 Resolver problemas que envolvam ideias básicas de probabilidade.
Fonte: Elaborado pelo pesquisador a partir do relatório pedagógico do Saresp/2009
Quadro 4 - Relação das questões e habilidades do relatório pedagógico de 2010
Número da
questão Habilidades
1 H01 Reconhecer as diferentes representações de um número racional. 2 H30 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam triângulos semelhantes. 3 H16 Resolver problemas que envolvam porcentagem.
4 H16 Resolver problemas que envolvam porcentagem.
5 H15 Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). 6 H28 Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares. 7 H27 Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações. 8 H11 Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.
9 H09 Utilizar a notação científica como forma de representação adequada para números muito grandes ou muitos pequenos. 10 H36 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam as relações métricas dos triângulos retângulos. (Teorema de Pitágoras).
11
H29 Resolver problemas que utilizam propriedades dos polígonos (soma de seus
ângulos) internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares.
12 H06 Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema. 13 H44 Resolver problemas que envolvam processos de contagem; princípio multiplicativo.
Questões abertas
Questão 1 H20 Resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau. Questão 2 H32 Calcular o volume de prismas em diferentes contextos.
Questão 3 H15 Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Questão 4 H42 Resolver problemas que envolvam informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. Questão 5 H30 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam triângulos semelhantes.
Quadro 5 - Relação das questões e habilidades do relatório pedagógico de 2011
Número da
questão Habilidades
1 H42 Resolver problemas que envolvam informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
2 H04 Representar os números reais geometricamente na reta numerada.
3 H38 Resolver problemas que envolvam o cálculo de perímetro de figuras planas. 4 H42 Resolver problemas que envolvam informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. 5 H15 Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). 6 H02 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. 7 H39 Resolver problemas que envolvam o cálculo de área de figuras planas.
8 H15 Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). 9 H12 Realizar operações simples com polinômios.
10 H01 Reconhecer as diferentes representações de um número racional. 11 H34 Calcular a área e o volume de um cilindro.
12 H32 Calcular o volume de prismas em diferentes contextos. 13 H12 Realizar operações simples com polinômios.
14 H19 Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau.
15 H20 Resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau. 16 H30 Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam triângulos semelhantes. 17 H17 Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais.
18
H29 Resolver problemas que utilizam propriedades dos polígonos (soma de seus
ângulos) internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares.
Fonte: Elaborado pelo pesquisador a partir do relatório pedagógico do Saresp/2011
Para a escolha de acordo com a classificação de atividade algébrica proposta por Kieran (2004), em alguns casos, não bastava analisar a habilidade, foi preciso também resolver a questão para conseguir classificá-la. Por exemplo, a habilidade relacionada à Questão 5 do relatório de 2008 é a seguinte: H20-Resolver problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau.
Nas definições apresentadas por Kieran (2004), não encontramos termos como proporcionalidade ou mesmo funções do 1º grau. No entanto, ao resolver a questão notamos que se tratava de uma situação-problema quantitativa, pois havia uma variável quantitativa a
ser determinada. Assim, entendemos que essa questão enquadra-se na classificação da pesquisadora com uma atividade geracional.
Outro exemplo foi o da Questão 2, também do relatório de 2008, na qual a habilidade proposta referia-se à aplicação do Teorema de Tales para a resolução de uma situação- problema que envolve proporcionalidade quando na realidade não é um problema que pode ser resolvido por esse teorema. Foi possível equacionar e determinar o valor desconhecido chegando à conclusão de que se trata de um problema que pode ser classificado como uma atividade geracional.
Já em outros casos foi possível classificar a questão somente pela leitura da habilidade. Por exemplo, a Questão 20 do relatório de 2009, e a Questões 9 e 13 do relatório de 2011, trazem como habilidade a realização de operação simples com polinômios. A definição de atividade transformacional apresenta termos relacionados à operação com polinômios.
Para classificar as questões como sendo do tipo meta-nível/global escolhemos as que apresentavam um problema no qual a Álgebra deveria ser utilizada, como ferramenta em sua resolução. Algumas questões podiam ser resolvidas sem que, necessariamente. se utilizem elementos da Álgebra. Esse foi o caso da Questão 5 do relatório pedagógico de 2008, em que se podia equacionar o problema ou resolvê-lo de outro modo, conforme fizemos na análise a priori. Outros, porém, necessitavam da Álgebra para serem resolvidos, como foi o caso da Questão 2 do relatório de 2009, em que foi preciso representar o problema por meio de um sistema de equações do 1º grau.
É importante esclarecer que ao analisarmos cada uma das questões, tivemos o cuidado em não escolher aquelas que o aluno ainda não tivesse aprendido o conteúdo. Para isso apoiamo-nos na grade de conteúdos da Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo para nos auxiliar nessa escolha. Por exemplo, no momento quando iríamos aplicar as questões de nosso instrumento de coleta de dados, os alunos ainda não tinham aprendido a resolver equação do 2º grau. Assim, não poderíamos, por exemplo, utilizar a Questão 14 do relatório de 2011, pois a habilidade a ser verificada nessa questão era resolver problemas que envolvessem equações do 2º grau.
Nos dados do quadro a seguir, estão relacionadas as questões que compõem o nosso instrumento de coleta de dados que escolhemos, de acordo com a classificação de atividade
algébrica proposta por Kieran (2004). No entanto, salientamos que a escolha que fizemos não é a única forma de classificação. Uma mesma questão pode ser classificada como sendo pertencente a mais de um tipo de atividade algébrica. Em nosso caso, buscamos classificar as questões como pertencentes a um único tipo.
Quadro 6 - Classificação das questões do instrumento de coleta de dados
Tipo de atividade Habilidades Nº da questão
Geracional
H20 – Resolver problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau.
Questão 1
H28 – Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares. (encontrar a equação a partir do gráfico)
Questão 8
H30 – Resolver problemas em diferentes
contextos que envolvem triângulos semelhantes. Questões 7 e 10 H35 – Aplicar o Teorema de Tales como uma
forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos.
Questão 3
Transformacional
H07 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau.
Questão 2
H18 - Resolver sistemas lineares (métodos da
adição e da subtração) Questão 5
H12 – Realizar operações simples com
polinômios. Questões 6, 11 e 12
Meta-nível/global
H06 – Identificar um sistema de equação do 1º
grau que expressa um problema. Questão 4 H36 – Resolver problemas em diferentes
contextos, envolvendo as relações métricas dos triângulos retângulos. (Teorema de Pitágoras)
Questão 9
H17 – Resolver problemas que envolvam
equações com coeficientes racionais. Questão 13 Fonte: Elaborado pelo pesquisador
Nos dados do quadro a seguir, estão organizadas as questões escolhidas por relatório. Quadro 7 - Questões do instrumento de coleta de dados organizadas por relatório
Habilidades avaliadas 2008 2009 2010 2011 H06 – Identificar um sistema de equação do 1º
grau que expressa um problema.
Questão 2 H07 – Identificar a relação entre as representações
algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau.
Questão 7
H12 – Realizar operações simples com
polinômios. Questão 20 Questão 9 Questão 13 H17 – Resolver problemas que envolvam
equações com coeficientes racionais.
Questão 17 H18 - Resolver sistemas lineares (métodos da
adição e da subtração)
Questão 16 H20 – Resolver problemas que envolvam relações
de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau.
Questão 5 H28 – Usar o plano cartesiano para representação
de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares. (encontrar a equação a partir do gráfico)
Questão 28 H30 – Resolver problemas em diferentes
contextos que envolvem triângulos semelhantes.
Questão 27
Questão 2 H35 – Aplicar o Teorema de Tales como uma
forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos.
Questão 2 H36 – Resolver problemas em diferentes
contextos, envolvendo as relações métricas dos triângulos retângulos. (Teorema de Pitágoras)
Questão 10 Fonte: Elaborado pelo pesquisador
Por fim, é importante destacar que optamos por retirar as alternativas das questões e propor o enunciado em forma de pergunta, sem, no entanto mudar os dados do problema, por entendermos que, desta forma, o aluno apresentaria suas estratégias de resolução, pois nosso interesse reside exatamente nessas estratégias, tendo como foco os erros cometidos.
A seguir, apresentamos a sequência de questões que escolhemos para compor nosso instrumento e análise a priori que fizemos.