Vern og utvikling av byens form

Tarski reconhece uma terceira complicação no sistema axiomático precedente:

[p.174]-3 Alguns dos axiomas acima têm um pronunciado caráter existencial e envol- vem consequências adicionais da mesma espécie.

113 Na base do problema existencial detonado pelos axiomas está o principio mate-

mático denominado Axioma da Escolha. Sem nos determos muito nisso, o Axioma da Escolha consiste em dizer que é possível criar um conjunto – o conjunto de escolha – que contenha um objeto de cada conjunto, e apenas um objeto de cada conjunto, de uma coleção infinita deles disjuntos dois-a-dois, sem estabelecer uma regra para a escolha desse objeto (a escolha é arbitrária).

Por exemplo, o Axioma 1 de Tarski é um conjunto de escolha: as expressões ng,

sm, un e in foram escolhidas arbitrariamente e no entanto são distintas entre si. Onde está garantida essa distinção? Do fato de que antes eram objetos pertencentes, cada um, a conjuntos disjuntos dois-a-dois. O problema está em estabelecer, primeiro, a existên- cia desses conjuntos disjuntos anteriores ao Axioma 1 e verificar que o conjunto {ng,

sm, um, in} não está entre eles (pois foi arbitrariamente – e não dedutivamente – obti- do). Fraenkel, Bar-Hillel e Lévy (FRAENKEL, A., BAR-HILLEL, Y. E LÉVY, A.; [1973],

pp. 67-68) discutem assim esse problema:

“(...) a maioria dos ataques ao axioma da escolha deriva da insuficiente apreciação de seu caráter puramente existencial. De fato, o axioma não garante a possibilidade (com os recursos científi- cos atuais ou em qualquer futuro) de construir um conjunto de escolha; quer dizer, de providen- ciar uma regra pela qual em cada membro s de t um certo membro de s pode ser nomeado. Pelo contrário, providenciar tal regra significaria obter o respectivo subconjunto t pelo axioma dos subconjuntos, sem envolver o axioma da escolha. Este último garante a existência de um conjun- to de escolha, i.e. a não-vacuidade [impossibilidade de ser vazio] do exterior do produto πt [con- junto potência de t, que é o conjunto de todos os subconjuntos de t] (cuja existência [do produto

πt] é garantida sem nosso axioma [da escolha]). Em outras palavras, o axioma garante que, (...), não está ausente entre os subconjuntos de t aqueles subconjuntos que contém um membro co- mum a todo membro de t. Pouquíssima atenção foi devida a este ponto fundamental durante as primeiras décadas do presente século [século XX] e por isso causou-se muitas discussões esté- reis.”

A consequência problemática que Tarski prefere usar como exemplo é a que se- gue:

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Tarski se refere à classe infinita em [p.171]-1 para dizer que há uma classe com um número infinito de expressões. De fato, os axiomas permitem construir uma quanti- dade infinita de proposições e, lembrando das propriedades de concatenação de expres- sões simples em complexas, sempre enumerável mesmo no nível dos símbolos compo- nentes da expressão. A respeito da natureza daquilo que denominamos enumerabilidade nada há de especial que se discutir88.

Que não é intuitivo que o número de expressões seja infinito, isso parece bem claro. Por exemplo, entre as infinitas expressões deveriam constar a soma lógica de to- das as infinitas expressões e a negação dessa soma lógica, o que fica difícil de conceber, pois se tem contraintuitivamente estabelecido já qual seria a última expressão (a nega- ção da soma lógica de todas as infinitas expressões) de infinitas expressões. Mas sendo essa negação também uma expressão, ela deve ser menor em comprimento do que ela própria, o que é paradoxal.

A crítica principal seria que não há razão para se assumir que as expressões se- jam em número infinito, apesar de que nada impede que sejam, ficando assim indefinido se a classe de todas as expressões é ou não infinita, apesar de enumerável. A situação é que se as expressões sentenciais existem para se referir a outros objetos, só existiriam expressões infinitas se as expressões fossem objetos delas próprias (o que permitiria pa- radoxos como expressões menores que elas próprias) e não apenas os objetos do univer-

88 _{Um conjunto não vazio se diz enumerável se for possível designá-lo por meio de uma sequência infinita} x0, x1, x2,... (isto é, um conjunto não vazio é imagem sobrejetiva do conjunto dos números naturais); to-

do conjunto finito também é enumerável; a união de dois conjuntos enumeráveis também é enumerável; se X é um conjunto enumerável e f é uma função sobrejetiva tal que f: X → Y, então Y é enumerável; o conjunto-união de todos os conjuntos enumeráveis também é enumerável (daí que a união de apenas al- guns conjuntos enumeráveis é, obviamente, enumerável); o produto cartesiano de enumeráveis é enume- rável.

[p.174]-4 Notável entre essas consequências é a asserção de que a classe de todas as expressões é infinita (para ser mais exato, enu- merável). Do ponto de vista intuitivo isso pode parecer duvidoso e dificilmente evi- dente, e nessas condições o sistema axiomático inteiro pode estar sujeito a ser seria- mente criticado.

115 so físico. Mas isso ocorreria em situação de não se trabalhar com a metalinguagem e

termos a auto-referência como natureza indefectível da linguagem.

Essa “infinitude” que parece acompanhar a formalização da linguagem parece ser culpa dos axiomas 2 e 3, segundo Tarski:

Em [p.174]-3 vimos os problemas por trás do Axioma 1, envolvendo o Axioma da Escolha. Já o Axioma 2 deixa bem claro a natureza infinitária da classe das expres- sões metalingüísticas: vk é uma expressão só se k ≠ 0 e k ≠ l, permitindo existir um vl distinto de qualquer vk. Assim sempre existirá uma expressão distinta de qualquer outra já existente, fornecendo caráter infinitário à classe de expressões metalingüísticas. Que fazer a esse respeito? Tarski desiste de continuar a discussão, pois ela não se encerraria sem desviar totalmente o objetivo do trabalho pretendido:

O que Tarski faz aqui na nota de rodapé 2 é apenas metaforicamente dar outra natureza para o conceito de ‘expressão’, mostrando como uma solução envolvendo ou- tra ciência dedutiva (que não a lógica) permite soluções e problemas novos. De fato, podemos dizer que cada forma e cada dimensão distinta de cada entidade física do uni- verso é uma expressão distinta. Nesse caso haveria infinitas expressões, pois sempre é possível – dados os conceitos próprios da topologia – mudar a forma e tamanho de

[p.174]-6 Não persistirei nesse difícil pro- blema além daqui.²

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² Por exemplo, os seguintes pontos verdadeiramente sutis são levantados. Normalmente, as expressões são consideradas como produtos da atividade humana (ou como classes de tais produtos). Desse ponto de vista, a suposição de que há infinitamente muitas expressões pa- rece ser obviamente sem sentido. Mas uma outra interpretação possível do termo ‘expressão’ se apresenta: poderíamos considerar todos os corpos físicos de uma forma e um tamanho particulares como expressões. O cerne do problema seria então transferido para o domínio da física. A asserção de infinidade do número de expressões então não mais parece absurda, embora ela possa não se conformar às teorias físicas e cosmológicas modernas.

[p.174]-5 Uma análise mais próxima restringiria as críticas inteiramente aos Axiomas 2 e 3 como as fontes essenciais desse caráter infinito da metateoria.

116 qualquer ser. Não é mais absurda, pois teríamos um número finito de entidades que têm

infinitas formas e tamanhos. Isso é concebível, apesar de se chocar destrutivamente contra as teorias físicas modernas a respeito da natureza do tempo, do espaço e da maté- ria.

No caso da lógica, porém, segundo Tarski, a solução passaria por restringir o componente existencial dos axiomas:

Isto é, se permitíssemos aos axiomas apenas valer para um número finito de ex- pressões, evitar-se-ia supor as infinidades causadoras dos problemas descritos. Tarski encerra como segue a problemática existencial a respeito dos axiomas metalingüísticos 1-5.

Todos esses axiomas (os axiomas da linguagem e os axiomas da metalinguagem) permitirão à metalinguagem estabelecer o modo como a linguagem deve ser escrita e o modo como ela deve ser interpretada (o modo como se fala dela) para se evitar o equí- voco de saber como escrever a linguagem, mas falar de outra linguagem que não a que se sabe escrever.

O trabalho seguinte a isto, agora, é definir as expressões da linguagem, determi- ná-las, estabelecê-las, para podermos apontar quais sentenças da linguagem são verda- deiras. Mas a linguagem não pode se autodefinir. As definições são tarefa da metalin- guagem, que começaremos a ver no próximo capítulo. [p.175]-1

M as um fato que deve ser tomado em consideração é que a eliminação ou enfraqueci- mento desses axiomas, que garantem a existência de todas as expressões possíveis, consideravelmente aumentaria as dificuldades de construção da metateoria, faria im- possível uma série das mais úteis consequências e, assim, introduziria mais compli- cações na formulação das definições e teoremas. Como veremos mais tarde, isso virá a se tornar claro mesmo nas presentes investigações. Por essas razões, parece dese- jável, ao menos provisoriamente, basear nosso trabalho no sistema axiomático dado acima em sua não-enfraquecida forma inicial.

[pp.174-175] As conseqüências mencionadas poderiam ser naturalmente evitadas se os axiomas fossem libertados em um grau suficiente de suas suposições existenciais.

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