O segundo tipo de expressões dentro da metalinguagem é descrito por Tarski como segue:
Tarski está apontando que assim como um nome descritivo-estrutural impede a ambiguidade a respeito de um termo na linguagem, a descrição-estrutural faz o mesmo na metalinguagem. Só para retornar a um exemplo antigo, a palavra ‘NEVE’ pode ser estruturalmente descrita como ‘letra ene, seguida da letra e, seguida da letra ve, segui-
da da letra e’. Esse tipo de descrição permite que o símbolo ou expressão da linguagem sejam referidos pela metalinguagem sem risco de ambigüidade.
[p.172]-4 Em contraste ao primeiro tipo de expressão, as do segundo tipo são termos
específicos da metalinguagem de caráter descritivo-estrutural, e, assim, nomes de símbolos ou expressões concretos da linguagem do cálculo de classes.
[p.172]-3 Em particular, uma sequência cujos termos todos são classes que estão in- cluídas em uma dada classe a será chamada uma sequência de subclasses da classe a.
[p.172]-2 Nas páginas seguintes, vamos tratar de sequências de classes e de núme- ros naturais, isto é, com sequências cujos termos são todos ou classes de indivíduos ou números naturais.
84
Esse segundo tipo de expressão são os nomes de sinais concretos ou de expressões da linguagem de cálculo de classes (linguagem formal). São os nomes que nos vêem à mente quando vemos as constantes vistas em [pp.168-169] escritas nas fór- mulas da linguagem formalizada (linguagem-objeto da metalinguagem). Podemos dizer que são ‘traduções metalinguísticas’ do símbolo lingüístico.47 Tais nomes são:
A) nome ‘o sinal de negação’, que se abrevia ‘ng’; é a tradução do símbolo linguístico ‘N’ na notação polonesa e ‘¬’ na mais usual.
B) nome ‘o sinal lógico de soma lógica’, que se abrevia ‘sm’; é a tradução do símbolo linguístico ‘A’ na notação polonesa e ‘ ’ na mais usual.
C) nome ‘o sinal de quantificador universal’, que se abrevia ‘un’; é a tradução do símbolo linguístico ‘∏’ na notação polonesa e ‘ ’ na mais usual.
D) nome ‘o sinal de inclusão’, que se abrevia ‘in’; é a tradução do símbolo linguístico ‘I’ na notação polonesa e ‘ ’ na mais usual.
E) nome ‘a k-ésima variável’, que se abrevia ‘vk’; é a tradução do símbolo linguístico xk (lembrando que na notação de Tarski o k está no lugar de traços, mas que na nossa notação mais usual o índice k assume valor numérico). Já vimos anteriormente como, na metalinguagem, o sinal ‘v’
47 Em TARSKI,A.; [1983e], p.281, Tarski escreveu a respeito deste segundo tipo de expressão metalin- güística (que ele chamou de ‘categoria’ no trabalho de 1933 de onde retiramos a passagem que se segue): que são “conceitos específicos de um caráter descritivo-estrutural que designa as expressões da linguagem original, suas propriedades estruturais, e suas relações estruturais mútuas. Os seguintes termos são toma- dos como conceitos primitivos da metalinguagem: ‘expressão’ ou antes ‘a classe de todas as expressões’, em símbolos ‘A’; ‘símbolo de negação’ – ‘ν’; ‘símbolo de implicação’ – ‘ι’; ‘quantificador universal’ – ‘π’; ‘variável com k traços abaixo e l traços acima’ (ou ‘a k-ésima variável de l-ésima ordem’) – ‘φl
k’; fi-
nalmente ‘expressões que consistem de duas expressões sucessivas ζ e η’ simbolicamente ‘ζ η’.” Aqui vem uma nota de rodapé 2 que diz: “Este último conceito primitivo pode ser substituído pelo conceito ‘o n-ésima símbolo da parte inicial da expressão ζ’. O símbolo ‘A’ pode ser definido pelo significado dos conceitos indefinidos restantes.”
[p.172]-5 Entre estes estão, em pri- meiro lugar, os termos ‘o símbolo de negação’, ‘o símbolo de soma lógica’, ‘o sím-
bolo do quantificador universal’, ‘o símbolo de inclusão’, ‘a k-ésima variável’, ‘a
expressão que consiste em duas expressões sucessivas x e y’ e ‘expressão’. Como abreviações dos primeiros seis termos, usarei os símbolos ‘ng’, ‘sm’, ‘un’, ‘in’, ‘vk’, e ‘x y’ (o símbolo ‘v’, então, denota a sequência cujos termos são as sucessivas va- riáveis v1, v2, v3,...).
85 denota uma sequência de símbolos desde um primeiro símbolo até um último
símbolo em uma expressão. Conservando a idéia de sequência, vamos restringir essa idéia agora apenas às variáveis de linguagem e assim, de ora em diante, o símbolo v não representará mais um sequência de símbolos linguísticos, mas uma sequência – finita ou infinita – de variáveis
linguísticas. Desse modo, as variáveis metalinguísticas sucessivas v1, v2,
v3,...48 estão falando da variáveis linguísticas sucessívas x1, x2, x3,...; isto significa que os termos iniciais de uma expressão linguística (que são termos constantes) não serão mais, por hora em diante, referidos pelos vi. Os vi ficarão apenas para a parte da sequência da expressão linguística que possui variáveis (x1, x2, x3,... ou y1, y2, y3,..., dependendo da classe, se X, se Y); Os
primeiros símbolos da sequência da expressão linguistica – que são símbolos de constantes na notação polonesa – receberam símbolos metalinguísticos especiais (cláusulas (A), (B), (C), (D), que já vimos acima).
Atenção: existem muitas expressões (infinitamente até), e podemos unir duas ou mais expressões simples para obter outra mais complexa. Na linguagem existe, por exemplo uma expressão x (então ela é a classe, ou subclasse – não podemos dizer agora –, de símbolos x1, x2, x3,... xk ) e existe uma expressão y (então ela é a classe, ou
subclasse – não podemos dizer agora, – de símbolos y1, y2, y3,... yk ) distinta de x (distinta já na primeira ou na k-ésima variável, isso não é importante agora). Podemos formar uma expressão complexa fazendo y seguir a x na linguagem e a metalinguagem deve falar disso, dessa sucessão de expressões. Dai o nome seguinte na cláusula (F):
F) nome ‘a expressão que consiste de duas expressões sucessivas x e y’, que se abrevia ‘x y’.
48 A rigor, temos uma classe metalingüística v cujos indivíduos metalingüísticos são v
1, v2, v3,... vk... vn,
86
Tarski apenas lembra que os nomes metalingüísticos dados até agora são de símbolos cuja função na linguagem-objeto conhecemos, por isso dispensa maiores ex- plicações (explicações essa que acreditamos terem sido dadas por nós em volume bas- tante expressivo).
As expressões vistas em (A), (B), (C), (D), (E) e (F) (que são do TIPO II dentro da metalinguagem) sozinhas ou em associação com as expressões metalingüísticas de um caráter lógico geral (TIPO I) conseguem definir qualquer outro conceito metalin- güístico que venha a ser necessário para se definir algum termo da linguagem.
As páginas 156 e 157 citadas por Tarski são de seu trabalho49, onde aprendemos que toda expressão tem um nome que pode ser a própria expressão entre aspas (no caso das linguagens coloquiais) ou símbolos metalingüísticos que se coloquem como refe- rência à expressão (solução própria para as linguagens formalizadas). Assim, já vimos, I tem o nome sinal de negação e este nome metalinguístico pode ser simbolizado por ng para não escrevermos o longo e incômodo símbolo ‘sinal de negação’50. Como exem-
49 Essa é a paginação vista de TARSKI,A.; [1983b].
50 Note que ‘sinal de negação’ não é uma expressão nem na linguagem-objeto (que Tarski escolheu ser o cálculo de predicados, ou álgebra booleana), nem na metalinguagem preparada por Tarski para falar da linguagem-objeto. Porque nem na linguagem nem na metalinguagem apresentamos símbolos como ‘s’ ou ‘l’ (que aparece em sinal) ou ‘d’ ou ‘e’ (que aparece em de) ou ‘g’ (que aparece em negação), por exem- plo. E mesmo que alguém dissesse que esses (e as outras letras) poderiam ter sido introduzidas como de- finições, ainda haveria o problema de dizer de que modo a sequência das letras e sinais gráficos
[p.172]-8
É fácil ver que toda expressão simples ou composta da linguagem sob inves- tigação tem um nome individual na metalinguagem similar aos nomes descritivo- estruturais da linguagem coloquial (cf. pp.156 e 157). Por exemplo, a expressão simbólica ‘((ng in) v1) v2’ pode servir como um nome da expressão ‘NIx,x,,’.
[p.172]-7 Com a ajuda desses termos (e possivelmente de termos lógicos gerais), todos os outros conceitos de tipo descritivo-estrutural da metalinguagem podem ser definidos.
[p.172]-6 Esses termos já foram usados ao introduzir o leitor na linguagem do cálculo de classes. Es- pero que, graças às explanações já dadas, nenhuma dúvida reste concernente ao sig- nificado desses termos.
87 plo, Tarski toma a expressão ‘NIx,x,,’. Um nome adequado para ‘NIx,x,,’ seria
‘((ng in) v1) v2’, onde o símbolo ‘ ’ denota a sucessão dos símbolos na lingua- gem51. Os parênteses que aparecem no nome descritivo-estrutural ‘((ng in) v1) v2’ não têm outra função senão dizer quais conjuntos de símbolos antecedem quais outros – não têm outra função especial: não estão ali para dar margem a interpretações de re- lações semânticas entre os símbolos metalingüísticos. Apenas indicam o modo como expressões sucessivas ocorrem dentro de uma expressão complexa, apontando que a leitura descritivo-estrutural de ‘((ng in) v1) v2’ é: a expressão ‘negação’ antecede o
expressão ‘inclusão’, e ambas essas expressões (conservando sua ordem de sucessão)
antecedem a expressão correspondente à primeira variável da sequência de variáveis da expressão complexa total, e ambas as expressões primeiras e esta última expressão correspondente à primeira variável (conservando a ordem de sucessão) antecedem a expressão correspondente à segunda variável da sequência de variáveis da expressão complexa total.
Porque não podemos ler de modo mais simples: símbolo de negação antecede
o símbolo de inclusão que antecede o símbolo de primeira variável que antecede o símbolo de segunda variável? Porque, por exemplo, não é só o símbolo de primeira variável que vem antes do símbolo de segunda variável, mas todos os outros símbolos
em ordem52. Tarski já havia falado disso, no início deste parágrafo 2 de seu artigo que vimos comentando até aqui: “Assim, a expressão ‘NIx,x,,’ é composta das duas expres- sões sucessivas ‘N’ e ‘Ix,x,,’, ou das expressões ‘NI’ e ‘x,x,,’ ou, finalmente, das expres- sões ‘NIx,’ e ‘x,,’.”53 Entendemos, portanto, que a metalinguagem faz a descrição estru- tural descreve também a forma das expressões simples da qual consiste a expressão complexa final, guardando a ordem de sucessão dos símbolos dentre de cada expressão simples até a composição final:
s,i,n,a,l,d,e,n,e,g,a,ç,ã,o formaria uma expressiva. Assim, para evitar um sem número de dificuldades, ‘si- nal de negação’ não é uma expressão, mas um símbolo sem partes.
51 Em TARSKI,A.; [1983e], p.281, Tarski escreveu: “Por exemplo, a expressão ‘∏x x x ’ é denotada pelo nome individual ‘π φ1
1 φ11 φ21’.”
52 Em TARSKI,A.; [1983e], p.281, Tarski escreveu na nota de rodapé 3:”Em referência à lei associativa que a operação ζ η cumpre (veja abaixo, Ax. 4) que a omissão de parênteses em expressões da forma ‘(ζ η) δ’, ‘((ζ η) δ) ξ’ não pode dar-se sem alguma confusão”.
88
QUADRO I
linguagem Descrição estrutural metalinguística
N ng
NI ng in
NIx, (ng in) v1
NIx,x,, ((ng in) v1) v2
Pois bem, como queremos traduzir a notação polonesa usada por Tarski para uma notação mais usual, traduzimos NIx,x,, como (x1 x2). Precisaremos de um nome metalinguístico para os símbolos ‘)’ e ‘(‘, que são desnecessários na lingua- gem-objeto de Tarski54. Usaremos os nomes metalingüísticos ‘parênteses direito’ e ‘parênteses esquerdo’, respectivamente para ‘)’ e ‘(‘, e usaremos como abreviação, respectivamente, o símbolo ‘pd’ e ‘pe’. Obviamente, os símbolos lingüísticos,‘ ’, ‘ ’, ‘x1’ e ‘x2’ continuam simbolizados para nós como Tarski quis para os seus (a-
lém de usarmos o símbolo ‘ ’ com a mesma função dada por Tarski): ‘ng’, ‘in’, ‘v1’ e ‘v2’, respectivamente. Assim:
QUADRO II
Linguagem usual Descrição estrutural metalinguística55
(x1 x2) [[[[ng pe] v1] in] v2] pd
Fica óbvio que a intenção de Tarski com seus nomes metalinguísticos estruturais não sofre prejuízos se escolhermos trabalhar com uma notação mais usual.
54 Mas ele não usou parênteses em ((ng in) v
1) v2? Já explicamos qual foi a exigência que os reclamou
e, além disso, Tarski os usou na metalinguagem, onde ele introduz símbolos à medida que necessita, sem defini-los, apenas aceitando seu sentido intuitivo (também já explicamos todas as dificuldades que resultariam de construir uma metalinguagem com o rigor com que se está pretendo construir a lingua- gem).
55 Usamos os símbolos ‘]’ e ‘[‘ porque ficaria bastante fora de sentido usar ‘)’ e ‘(‘ e suas abreviações me- talinguisticas ‘pe’ e ‘pd’. Faremos, neste trabalho, ‘]’ e ‘[‘ terem na metalinguagem para as nossas tradu- ções em linguagem usual da notação polonesa a mesma função que Tarski quis para ‘)’ e ‘(‘ em sua meta- linguagem.
[p.172]-9
O fato de que a metalinguagem
contenha ambos um nome individual e uma tradução de toda expressão (e em particu- lar de toda sentença) da linguagem estudada participará decisivamente na construção da definição de verdade, como o leitor verá na próxima seção.
89 O ‘nome individual’ é cada um dos nomes vistos nas cláusulas (A), (B), (C),
(D), (E) e (F) que permitem escrever nomes adequados como o do exemplo
((ng in) v1) v2 (ou no nosso caso [[[[ng pe] v1] in] v2] pd). As traduções para a metalinguagem são a referência ao que ocorre na linguagem, como quando dizemos ‘não é verdade que a b’ quando Tarski escreve NIx,x,, ou para nós – como quere- mos escrever mais usualmente (x1 x2) no lugar de NIx,x,,, – ‘não é verdade que a b’.56
5. As variáveis metalinguísticas
As variáveis metalingüísticas são aquelas que podem ser substituídas por quais- quer constantes que possam representar as cinco relações internas da metalinguagem. Em outras palavras, elas não existem para se referir às variáveis da linguagem (para isso já existe o símbolo vi, i 57). Elas são variáveis dentro da metalinguagem e da meta-
linguagem. Elas estão no lugar de indivíduos e de classes de indivíduos metalingüísti- cos.
Temos descrito aqui as seguintes cinco relações metalinguísticas:
(1) Classes de indivíduos de caráter arbitrário. Símbolos: ‘a’, ‘b’. Tarski anteriormente58 já deixou entrever que o símbolo ‘a’ seria usado na metalinguagem para
falar das classes da linguagem.
56 Para saber a relação entre ‘ ’ e ‘ ’ para nosso trabalho, ver o que ficou estabelecido no comentário ao [pp. 169-179].
57 Ver cláusula (E) em [p.172]-5. 58 Ver [p.170]-4.
[p.173]-1 Como variáveis na metalinguagem, vou usar os símbolos: (1) ‘a’, ‘b’; (2) ‘f’, ‘g’, ‘h’; (3) ‘k’, ‘l’, ‘m’, ‘n’, ‘p’; (4) ‘t’, ‘u’, ‘w’, ‘x’, ‘y’, ‘z’; e (5) ‘X’, ‘Y’. Nessa or- dem eles representam os nomes de: (1) classes de indivíduos de caráter arbitrário,1 (2) sequências de tais classes, (3) números naturais e sequências de números naturais, (4) expressõese sequências de expressões, e (5) classes de expressões.
___________________________________
1 Apesar de que nos caso (1) e (4) eu use variáveis distintas, aqui trato expressões como classes especi- ais de indivíduos, nominalmente como classes de séries concretas de símbolos impressos (cf. p.156, nota 1).
90 (2) Sequências de classes de indivíduos de caráter arbitrário. Símbolos: ‘f’, ‘g’,
‘h’. Trata-se das sucessões de classes que cabem, cada uma segundo sua vez, no lugar das variáveis da linguagem. Por exemplo, há uma primeira classe que contém os indiví- duos lingüísticos que cabem na variável x1 da linguagem, seguida da segunda classe pa- ra a variável x2 da linguagem, seguida da terceira classe para a variável x3 da lingua- gem, e assim por diante. Pode haver mais seqüências, para as variáveis y da linguagem,
para as z etc. Por ora, consideremos que encontraremos apenas três seqüências e faça-
mos ser ‘f’, ‘g’, ‘h’ os nomes dessas seqüências de classes;
(3) Números naturais e sequências de números naturais. Símbolos: ‘k’, ‘l’, ‘m’, ‘n’, ‘p’. Já que existem sequências e ordem dentro das sequências, é necessário dizer quem vem antes e quem vem depois, isto é: a sucessão de símbolos dentro da metalinguagem. Se um símbolo indica algo que antecede outra coisa em uma sequência, esse símbolo receberá um indice que ora será um número (em geral ou 1 ou 2) ou uma letra do alfabeto latino, de modo que aquilo que vem antes recebe o índice k e o que sucede recebe o índice l. Se for um número amplo de símbolos, indicaremos o grupo com índices de ordem menor por m e o de índices de ordem maior por n. O índice p indicará um grupo de sequência arbritrário (isto é, que não diremos se seus índices são de ordem maior ou menor do que outro). Isso ocorre porque é preciso apontar a posição
de um termo linguístico segundo a ordem dos números naturais na sequência onde esse símbolo aparece. Assim ‘k’, ‘l’, ‘m’, ‘n’, ‘p’ são nomes de números naturais e
seqüências de números naturais.
(4) Expressões e sequências de expressões. Símbolos: ‘t’, ‘u’, ‘w’, ‘x’, ‘y’, ‘z’. Essa simbologia é necessária porque as expressões linguísticas são longas e podem ser abreviadas por nomes de símbolos unitários. Nada impede, porém, que nos comentários ao texto do artigo de Tarski – que vimos fazendo – aproveitemos tais símbolos acrescentando-lhes índices para discriminar variáveis dentro das expressões. Assim, por exemplo, eventualmente falaremos de certa variável wk dentro da expressão w, etc.
(5) Classes de expressões. Símbolos: ‘X’, ‘Y’. Tarski designa uma classe linguística por x ou y. Nós designamos uma classe linguística em nossa notação usual pelas maiúsculas negritadas X e Y. Quando a metalinguagem pretende falar de uma
classe de expressões impressas (expressões de fato, expressões concretas, expressões conhecidas), Tarski prefere usar a ou b (cláusula (1)). Para falar da classe de expressões
91
conhecíveis (passíveis de serem impressas, de se tornarem concretas, mas que não são por serem em número infinito ou muito grande), Tarski prefere usar as maiúsculas itálicas X e Y. Nós, em uma linguagem mais usual Façamos ser ‘X’, ‘Y’ os nomes
dessas classes de expressões.
4. Resumo da metassintaxe
Será de grande utilidade para consultas uma tabela que mostre o tipo de raciocí- nio que relaciona os símbolos da linguagem e os símbolos da metalinguagem. O quadro seguinte pretende ser útil para essas consultas.
92
QUADRO III
(n.e. = ‘não existe’, ...: símbolo, v: variável, s: sentença)
natureza Notação Polonesa Notação mais usual Símbolo metalinguístico Nome metalinguístico Interpretação metalinguística
constante N . . . ng não ou não é verdade que
“ A + sm ou “ ∏ un para todo “ I in está incluso em “ AN... ... (NAx,x,,) . . . ... (x 1 x2) . . . + ...
(v̅1 + v2) n.e se..., então
“ NNAN... ...NAN... ... NNANx,x,,NANx,,x, ¬(¬(¬... ...) ¬( ¬... ...)) ¬(¬(¬x1 x2) ¬(¬ x2 x1)) n.e. se e somente se “ (NANx,Nx,,) NAN...N... ¬(¬... ¬...) ¬(¬x1 ¬x2) n.e. e
“ IM (x) n.e. para algum x ou há um x tal que...
“ IM n.e. não está incluso em
“ IM = ≈ n.e. é idêntico a
“ IM ≠ n.e. é distinto de
“ IM Є n.e. é um elemento de ou pertence
“ IM Є n.e. não é um elemento de ou não pertence
variável x, x,, x,,, etc x1 x2 x3 etc v1 v2 v3 etc n.e. indivíduo
- X Y Z X Y Z X Y Z n.e. classe
classe nula classe de todo x tal que
93