FORM Romnivåer /
4.3 Stedsidentitet og stedsintegritet i bytransformasjon og byomdannelse
O segundo tipo de sentença primitiva é construído a partir de um sistema axiomático não-formalizado que, quando formalizado, tem como propriedade possuir o símbolo I de inclusão como único símbolo não definido.
Tarski escolhe os axiomas apresentados por Hutington em Sets of independent
postulates for the algebra of logic105de 1904, e que serão apresentados na Definição 13, mais adiante. Tarski faz uma redução do número de axiomas. Na verdade a combinação dos axiomas do sistema Russell-Withehead e do sistema Huntington eram comuns na
105 A citação (32) na nota de rodapé nº1 neste [p.179]-2 refere-se à E. V. Huntington, Sets of independent postulates for the álgebra of logic, Trans. Amer. Math. Soc., v (1904), 288-309. Ver nota 31 neste tra- balho.
[p.179]-2 A fim de obter as sentenças do segundo tipo tomaremos como ponto de partida algum sistema axiomático do cálculo de classes ainda não formalizado que contenha o símbolo de inclusão como o único símbolo indefinido,1 e então traduziremos os axiomas desse sistema na linguagem do presente artigo.
___________________________________
1 Escolhi aqui o sistema de postulados que é dado em Huntington, E. V. (32), p.297 (esse sistema, contudo, foi simplificado, em particular pela eliminação de certas suposições de uma natureza existencial).
142 década de 1900-1910. Tarski tinha à mão diversas reduções. Exemplos bons são as
reduções de Sheffer106 e Bernstein107 e a de Diamond108 que é bastante didática.
O projeto de Tarski aqui, com esses dois tipos de sentença, é obter um modo correto de escrever, na metalinguagem, os axiomas da linguagem objeto apresentados em [p.173]-4. Para isso, Tarski precisa mostrar que é possível estabelecer um sistema axiomático na linguagem objeto que se escreva apenas usando inclusão mais soma lógi- ca mais negação mais quantificação universal. Lembremos que Tarski só estabeleceu esses símbolos como constantes, até agora nunca dissera que eles seriam suficientes pa- ra escrever os axiomas da linguagem. Para conseguir escrever axiomas da linguagem objeto usando apenas essas constantes (negação, inclusão, soma lógica e quantificação universal) precisou combinar o sistema Russell-Whitehead com o de Huntington. Por isso prossegue descrevendo o modo de aliar os dois tipos de sentença, para “limpar” o sistema axiomático e reduzi-lo à inclusão mais soma lógica mais quantificação univer- sal:
Ora, ‘Πx,Ix,x,’ e ‘Πx,Πx„Πx,,,ANIx,x„ANIx„x,,,Ix,x,,,’ são as duas rela- ções extremas envolvendo classes de sentenças. ‘Πx,Ix,x,’ quer dizer que as clas- ses são idênticas a si próprias e ‘Πx,Πx„Πx,,,ANIx,x„ANIx„x,,,Ix,x,,,’ que as classes são distintas entre si. Entre essas duas descrições situam-se os outros axi- omas da linguagem (é fácil verificar, depois de conhecermos a Definição 13, que
106 SHEFFER,H.M.; A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logi-
cal Constants, in Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 14, No. 4 (Oct., 1913), pp.
481-488.
107 BERNSTEIN,B.A., A simplification of the Whitehead-Huntington set of postulates for boolean alge- bras, in Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 22, Number 9 (1916), 458-459.
108 DIAMOND, A.H.; Simplification of the Whitehead-Huntington set of postulates for the algebra of log- ic, in Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 40, Number 8 (1934), 599-601.
[p.179]-3 Naturalmente, devemos primeiro eli- minar todas as constantes que são definidas por meio do símbolo de inclusão, bem como todos os termos pertencentes ao cálculo sentencial e ao cálculo funcional que diferem em significado do quantificador universal, do símbolo de negação e do símbolo de adição ló- gica. Como exemplos de sentenças dessa segunda espécie, temos
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‘Πx,Ix,x,’ corresponde ao primeiro axioma e o
‘Πx,Πx„Πx,,,ANIx,x„ANIx„x,,,Ix,x,,,’ corresponde ao segundo axioma, obvia- mente descrito metalinguisticamente na Definição 13). Uma tradução moderna mais usual desses exemplos dados por Tarski são as sentenças
x1(x1 x1)
e
x1 x2 x3( (x1 x2) (x2 x3) (x1 x3)),
respectivamente.
Agora sabendo que é possível escrever os axiomas da linguagem objeto usando apenas as quatro constantes já citadas, Tarski pode definir, metalinguisticamente, o mo- do correto de descrever os axiomas da linguagem objeto:
A Cláusula (α) são os quatro axiomas do sistema Whitehead-Russell que vimos em [p.173]-4 com um axioma existencial inicial: x S. Em outras palavras o conjunto S das sentenças significativas não é vazio. Não precisamos comentar o já bastante tratado sistema Whitehead-Russell109. Já a Cláusula (β) são os axiomas de Huntington reduzi- dos a apenas cinco, todos quantificações universais:
1. . Trata-se do modo correto – do ponto de vista metalinguístico – de escrever o axioma ‘Πx,Ix,x,’ (ou de x1(x1 x1), em uma linguagem moderna
109 Só a título de esclarecimento, os primeiros três axiomas (y+y+y, y+(y+z), y+z+(z+y)) es- tão no Principia Mathematica de Whitehead e Russell, enquanto todos os quatro axiomas (os anteriores e mais o y+z+(u+ y+(u+z)) estão no Grundzüge der theoretischen Logik de Hilbert e Ackermann.
[p.179]-4 DEFINIÇÃO 13. x é um axioma (sentença primitiva) se e somente se x satisfaz uma
das duas condições seguintes: (α) x∈S e há funções sentenciais y, z e u tais que x é uma quantificação universal de uma das quatro seguintes funções: y+ y+ y, y+(y+z),
) (z y z
y+ + + e y + z+(u + y +(u + z)); (β) x é idêntico a uma das cinco seguintes sentenças:
, , ,
, e
144 mais usual) de L (a linguagem objeto do trabalho de Tarski). A tradução metalin-
guística do axioma linguístico seria “para todo a, a a”110 e a tradução metalin- güística descritivo-estrutural seria ‘(((un v1) in) v2) v3’. Esse axioma é tão so- mente a propriedade de reflexividade da indução.
2. . Como o anterior, é o modo correto de se escrever ‘Πx,Πx„Πx,,,ANIx,x„ANIx„x,,,Ix,x,,,’ (ou de x1 x2 x3( (x1 x2) (x2 x3) (x1 x3)), em uma linguagem moderna mais usual). Traduções metalin-
güísticas: ‘para todo a, b e c, ocorre que ou a b ou b c ou a c’ e ‘(((((((((((((((((un v1) un) v2) un) v3) sm) ng) in) v4) v5) sm) ng) in)
v6) v7) in) v8) v9’. Trata-se da propriedade de transitividade da inclusão111: se uma primeira classe está contida noutra segunda, então – se a segunda classe estiver contida em uma terceira – a primeira estará necessariamente contida na terceira. Em diagramas de Venn:
Figura 12.1 – transitividade da inclusão
3. . Como os anteriores, é o modo de
escrever ‘Πx,Πx,,NΠx,,,NANNANIx,x,,,Ix,,x,,,NΠx,,,,NAIx,x,,,,Nax,,x,,,,Aix,,,x,,,,’ (ou
x1 x2 x3((x1 x3) (x2 x3) x4(¬(x1 x4) ¬(x2 x4) (x3 x4))),
110 Sobre o uso do símbolo ‘ ’ aqui e nos próximos comentários a este [p.179]-4 (e também ‘ ’), ver o comentário a [pp.168-169] neste trabalho.
111 Essa propriedade é mais conhecida usualmente por meio do símbolo de implicação material na forma:
145 em uma linguagem moderna mais usual). A tradução metalingüística seria ‘para
todo a, b e para ao menos um c, ocorre que a c e b c e para todo d ocorre que ou a d ou b d ou c d’ (omitiremos a tradução descritivo-estrutural)112. Ora É fácil ver que x1 x2 x3((x1 x3) (x2 x3) x4(¬(x1 x4) ¬(x2 x4) (x3 x4))) equivale a x1 x2 x3((x1 x3) (x2 x3) x4((x1 x4) →((x2 x4) → (x3 x4)) (ver nota 119). Prendendo-nos à parte final da sentença
significativa que estamos estudando e sacando de uma regra que expõe que A → (B → C) ≡ (A B) → C, então teremos x1 x2 x3((x1 x3) (x2 x3) x4((x1 x4) (x2 x4)) → (x3 x4). Chamamos isso de cláusula minimal, isto é, x3 é o
menor conjunto que possui x1 e x2 como subconjuntos. Em resumo, este axioma é o axioma da união, que podemos representar pelos diagramas de Venn:
Figura 12.2 – Axioma da União (x,,,, é o complemento de x,,, em relação ao conjunto Universo). Os conjuntos x, e x,, não precisam ser necessariamente disjuntos (podem compor uma intersecção entre si).
112 Porque não faz sentido traduzirmos descritivo-estruturalmente todas as sentenças significativas da lin- guagem só para confirmarmos que é possível tal tradução. Ademais, a extensão da tradução faz dela pou- quíssima prática para o estudo. Basta, portanto, sabermos que a tradução é possível. Mas só por curiosi- dade, vamos fazer aqui a tradução descritivo estrutural do axioma na notação moderna mais usual para o leitor ter idéia de como tão pouco prático se tornam as traduções muito grandes (ex = ‘quantificação exis- tencial’ e pl = produto lógico):
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((un v1) un) v2) ex) v3) pe) pe) v4) in) v5) pd) pl) pe) v6
) in) v7) pd) pl) un) v7) pe) ng) pe) v8) in) v9) sm) ng) pe) v10) in) v11) pd) sm)
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4. . É o modo correto de se escrever
‘Πx,Πx,,NΠx,,,NANNANIx,,,x,Ix,,,x,,NΠx,,,,NAIx,,,,x,Nax,,,,x,,Aix,,,,x,,,’ (ou
x1 x2 x3((x3 x1) (x3 x2) x4(¬(x4 x1) ¬(x4 x2) (x4 x3))),
em uma linguagem moderna mais usual). As leituras e traduções seguem os mo- delos vistos anteriormente. Aqui, como para o anterior, temos que
x1 x2 x3((x3 x1) (x3 x2) x4(¬(x4 x1) ¬(x4 x2) (x4 x3)))
equivale a x1 x2 x3((x3 x1) (x3 x2) x4(((x4 x1) (x4 x2)) → (x4 x3))). Chamamos isso de cláusula maximal, isto é, x3 é o maior conjunto
que é subconjunto tanto de x1 quanto de x2. Em resumo, este axioma é o axioma
da intersecção, que podemos representar pelos diagramas de Venn:
Figura 12.3 – Axioma da Intersecção (x,,,, é o complemento de x, unido a x,, em relação ao conjunto Universo)
5.
. Como os anteriores, é o modo correto de se escrever (em linguagem moderna mais usual) a sentença: x1 x2( x3 x4((¬(x3 x1) ¬(x3 x2) (x3 x4)) (¬(x1 x3) ¬(x2 x3) (x4 x3)) x5((x5 x1) x6((x6 x2) ¬(x6 x1) (x6 x5)))). Pelo que vimos anteriormente (ver nota 119 neste trabalho), podemos escrever a
primeira parte desse axioma na forma x1 x2 x3 x4(((x3 x1) (x3 x2)) → (x3 x4)) (((x1 x3) (x2 x3)) → (x4 x3)). Interpretando esse novo formato, temos
duas informações importantes:
A) ((x3 x1) (x3 x2)) → (x3 x4)). Isto é, se x3 for subconjunto de x1 e de
x2, então é subconjunto de qualquer conjunto (x3, então, só pode ser o conjunto vazio). Daí que x1 e x2 têm intersecção: o elemento comum x3 = .
147 B) ((x1 x3) (x2 x3)) → (x4 x3)). Isto é, se x1 e x2 são subconjuntos de x3,
então todos os conjuntos são subconjuntos de x3 (em síntese, x3 é o conjunto universo U
e é a união de x1 e x2; também: o universo U é o único conjunto que possui x1 e x2
como subconjuntos – isto é, x1 x2 = U).
Falta agora diferenciar os dois conjuntos x1 e x2, descrevendo a natureza de cada um. Esse é o papel da segunda parte do axioma. Pelo modo como tratamos a primeira parte, podemos escrever a segunda parte do axioma na forma x5(x5 x1 x6((x6 x2) (x6 x1) (x6 x5))). Também aqui há duas leituras importantes (sabendo que x1 e x2 são disjuntos):
C) x5(x5 x1). Isto é, existe um subconjunto x5 que pode estar contido em x1. Caso não esteja contido, então x5 faz intersecção com x1 ou é disjunto em relação a x1. Neste caso, passa-se ao restante do axioma (como manda a soma lógica):
D) x6((x6 x2) (x6 x1) (x6 x5))). Isto é, há um subconjunto x6, co- mum a x2 e a x5, que não está contido em x1 (porém pode fazer intersecção com x1). A situação descrita em (C) e (D) pode ser visualizada nos diagramas de Venn seguintes:
Figura 12.4 – Os diagramas (C) e (D) correspondem aos dois membros (respectivamente, disjunto anterior e dis-
junto posterior) da soma lógica dada pela segunda parte do axioma. Vê-se que x,, é o complementar de x, - lem-
brando que x1 x2 = U – e que há três possibilidades para um subconjunto dentro do universo U: ou está contido
em x, (caso de x,,,,, em (C)) ou está contido em x,, (caso de x,,,,,, em (D)) ou não está contido em nenhum dos dois (caso de x,,,,, em (D)).
148 O axioma completo determina a existência do complementar de um conjunto em
relação ao universo U. Mais amplamente, o axioma afirma que dado um conjunto qual-
quer, em relação ao universo U existe o complementar e a diferença desse conjunto. As-
sim, por exemplo, a diferença x2 – x1 corresponde à intersecção entre x2 e o complemen- tar de x1.
A tabela abaixo resume a Cláusula (β) da Definição 13113:
ESTRUTURA GERAL DA CLÁUSULA (ββββ) DA DEFINIÇÃO 13
Axioma 1 reflexividade Axioma 2 transitividade Axioma 3 união Axioma 4 intersecção reticulado distributivo lei distributiva: A (B C) = (A B) (A C)
Axioma 5 complemento complementado Existe conjunto universo U e conjunto vazio Definição 13
Conclusão: Uma álgebra de Boole é um reticulado distributivo complementado.
Isto encerra os estudos sobre a descrição que a metalinguagem faz da axiomática de L. O passo seguinte é definir a natureza das sentenças significativas de L que são mais complexa que esses axiomas e que derivam deles segundo regras de consequência, assunto do próximo capítulo.
113 A Definição 13 equivale à Definição 7 em TARSKI,A.; [1983e], p.284-285 (para o significado dos símbolos, ver nota 47):
“DEFINIÇÃO 7: ζ L (ζ é um axioma lógico), se uma das seguintes condições é satisfei- ta: (1) existem sentenças η, δ, ξ S tais que ou ζ = (η → δ) → ((δ → ξ) → (η → ξ)) ou
ζ = (η → η) → η ou ζ = η → (η → ξ); (2) há um número k Nt – {0} e uma sentença
η S tal que ζ = , onde Fr(η); (3) há um número k Nt – {0} tal
que ζ = .
“As sentenças que satisfazem a condição (1) na definição acima são os axiomas do cál- culo sentencial de Łukasiewicz (ou posteriores substituições desses axiomas); as sentenças sob (2), claramente descrito como axioma da redutibilidade do Principia Mathematica, pode se cha- mado pseudefinições de acordo com a proposta de S. Lesniewski; finalmente reconhecemos as sentenças sob (3) como as conhecidas leis de extensionalidade.”
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