Sabemos já que uma conseqüência lógica tem caráter de ser o processo onde certas sentenças são obtidas a partir de outras segundo certas circunstâncias adequadas. É um modo bastante específico de se ligar sentenças obtidas a sentenças originais de forma lógica. Assim, uma conseqüência pode gerar uma sentença obtida de forma imediata ou a sentença obtida pode estar mediada até a original por n outras sentenças obtidas de um ou de outro modo, segundo as regras descritas na Definição 14. A Definição 15 é apresentada por Tarski como segue:
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O primeiro ponto de importância é que só existe consequência se x pertencer ao conjunto das sentenças (x S), X for uma classe de sentenças (X S, isto é: os elemen- tos de X são sentenças) e x for conseqüência de X. Nestas condições há dois casos: se x
X e se x X. O caso x X é o cláusula (α) e o caso x X é o das demais cláusulas.
I. Cláusula (αααα). Temos n = 0 e x X. Trata-se de uma consequência trivial,
onde a sentença obtida é idêntica a uma daquelas (ou àquela única) de onde foi obtida. É o clássico petitio principii127. Esta cláusula corresponde ao que lemos em [p.181]-1.
Este é o caso x X. Se n > 0, temos o caso x X e valem as demais cláusulas:
II. Cláusula (ββββ). Temos que x é uma conseqüência de grau n−1da classe X. Isso quer dizer que o conjunto das consequências de X cresce acumulativamente (isto é, ‘herda’ todas as consequências de X anteriores a n) com respeito a n. Significa ainda que uma consequência de X arbitrariamente escolhida nunca é a de máximo grau (apesar de
127 O pettio principii é sempre conhecido como uma falácia, mas não se pode generalizar. Há argumentos desse tipo que são legítimos. Por exemplo:
Argumento: É possível ler esta frase, então é possível ler esta frase. Exposição: Premissa: É possível ler esta frase
Conclusão: é possível ler esta frase.
Explicação: de fato, a frase foi lida, e a conclusão verdadeira foi obtida de uma premissa verda-
deira.
[p.181-182] DEFINIÇÃO 15. x é uma conseqüência de n-ésimo grau da classe X de
sentenças se e somente se x∈S, X⊆S, n é um número natural e ou (α) n = 0 e
X
x∈ , ou n > 0 e uma das cinco condições seguintes é satisfeita: (β) x é uma conseqüência de grau n-1da classe X; (γ) há funções sentenciais u e w, uma sentença
y e números naturais k e l tais que x é a quantificação universal da função u, y é a quantificação universal da função w, u pode ser obtida da função w pela substituição da variável vl pela variável vk, e y é uma conseqüência de grau n-1da classe X; (δ) há funções sentenciais u e w bem como sentenças y e z tais que x, y e z são quantificações universais das funções u, w + u e w, respectivamente, e y e z são conseqüências de grau n-1 da classe X; (ε) há funções sentenciais u e w, uma sentença y e um número natural k tais que x é uma quantificação universal da função , y é uma quantificação universal da função u+ w, vk não é uma variável livre de u, e y é uma conseqüência de grau n-1 da classe X; (ζ) há funções sentenciais u e w, uma sentença y e um número natural k, tais que x é uma quantificação universal da função u +w, y é uma quantificação universal da função
165 poder ser a de maior grau até o momento da escolha), isso porque sempre é possível
obter uma consequência de grau superior. Neste caso, a nova consequência de grau mais elevado inclui a de grau inferior no processo de obtenção. Temos que levar em conta que a consequência é a última sentença de um processo de aplicação de operações
feitas sobre as sentenças de X, processo este que gera e faz uso de sentenças que não pertence a X e que seriam as últimas (e consequências regidas de seus grau em função do último passo dentre vários sucessivos de operações repetitivas próprias do processo) caso o processo parasse. Ou seja, sendo o processo de obtenção de uma consequência devido a um número que pode vir a ser infinito (mas nunca zero) de passos sucessivos e repetivos de aplicação das operações que lemos em [p.181]-2, então qualquer consequência nunca será a última.
III. Cláusula (γγγγ). Diz: “há funções sentenciais u e w, uma sentença y e números
naturais k e l tais que x é a quantificação universal da função u, y é a quantificação universal da função w, u pode ser obtida da função w pela substituição da variável vl pela variável vk, e y é uma conseqüência de grau n-1da classe X”. Esta cláusula corres- ponde a quantificações universais para o que foi definido no [p.181]-3. Trata-se da regra de substituição de variáveis e, portanto, lida com as cláusulas da Definição 14. Em li- nhas gerais, quando a função sentencial u é quantificada, então se torna a sentença x que pertence a uma classe X de sentenças. Ora, existe uma função sentencial w que, quanti- ficada, dá a sentença y. Se u é obtida de w segundo a regra de substituição dada pela De- finição 14 (que dá inclusive as restrições para as substituições de variáveis), então fica claro que x é uma conseqüência de y. E é uma conseqüência de grau n. Vamos criar uma notação especial que facilitará a compreensão do que a cláusula (γ) quer dizer:
é uma abreviação para u é uma função sentencial obtida da função
sentencial w pela substituição de vl por vk.
Q[w] é uma abreviação para quantificação universal da função sentencial w.
166
→
Onde C seria uma consequência de grau n. seguindo esse esquema, a cláusula (γ) pode ser escrita:
→
→
IV. Cláusula (δδδδ). Diz: “há funções sentenciais u e w bem como sentenças y e z
tais que x, y e z são quantificações universais das funções u, w + u e w, respectivamente, e y e z são conseqüências de grau n-1 da classe X”. Esta cláusula refe- re-se à operação de destacamento (modus ponens) e corresponde ao que lemos no [p.181]-4. Em linhas gerais, existe a função sentencial u obtida das funções sentenciais
w e w + u por destacamento. Se estas duas últimas forem quantificadas, se tornarão respectivamente as sentenças z e y. Claramente, existe a quantificação de u que dá a sen- tença x. Assim, se u é obtida, a quantificação de u resulta na conseqüência x (assim como a quantificação de w resulta na consequência z). Para melhor visualizarmos, podemos escrever esta cláusula (δ) como segue:
→
→
onde Q[w → u] é y, Q[w] é z e Q[u] é x.
V. Cláusula (εεεε). Diz: “há funções sentenciais u e w, uma sentença y e um
número natural k tais que x é uma quantificação universal da função , y é uma quantificação universal da função u +w, vk não é uma variável livre de u, e y é uma conseqüência de grau n-1 da classe X”. Trata-se do discutido no [p.181]-5 e é a regra de introdução do quantificador universal. Quer dizer que existem duas funções sentenciais,
u e w, que são associadas pela soma lógica para formar a função sentencial u + w. Te- nhamos em mente que u tem variáveis livres, assim como w. Tomemos apenas a variá- vel livre vk de w e vamos ligá-la (poderíamos fazer o mesmo com u – e faremos para ob- ter a conseqüência x – mas não faremos agora porque estamos seguindo os passos de um
167 processo que resultará em uma sentença como conseqüência). Por causa dessa variável
livre vk em w conseguimos a expressão obtida , que ainda é função sentencial porque há variáveis livres em u. Agora temos duas funções sentenciais interessantes: u + w e
kw
u+ (u e w são funções sentenciais, mas não nos interessam nesta cláusula (ε) sem estarem associadas, pois o estudo de funções sentenciais simples – simples porque não estão logicamente somadas, isto é, são não-disjuntas – já vimos nas cláusulas anteriores).
Ora, existe a quantificação de u + w, que dá a sentença y. Como foi obtida de u + w, então a quantificação de dá a sentença x que é uma consequência de grau n. E y é uma consequência de grau n-1 porque está um grau (um passo) atrás de x e porque toda sentença de X é consequência de X. Podemos,enfim, escrever esta cláusula (ε) como segue:
→
VI. Cláusula (ζζζζ). Diz: “há funções sentenciais u e w, uma sentença y e um
número natural k, tais que x é uma quantificação universal da função u+ w, y é uma quantificação universal da função , e y é uma conseqüência de grau n−1 da classe X.”. Na sequência do anterior, refere-se à eliminação do quantificador universal.
Como o anterior, temos duas funções sentenciais, u e w. Temos ainda que u tem variá- veis livres, assim como w. Tomemos apenas a variável livre vk de w e vamos ligá-la. Te- remos então a função sentencial . Agora vamos associar u e por soma lógica para formar a função sentencial . Ora, existe uma operação de eliminação do quantificador universal que obtém u + w de . Assim temos agora duas funções sentenciais interessantes: e a obtida u + w.
Ora, existe a quantificação de , que dá a sentença y. Como u + w foi obtida de , então a quantificação de u + w dá a sentença x que é uma
168 consequência de grau n. E y é uma consequência de grau n-1 porque está um grau (um
passo) atrás de x. Podemos, enfim, escrever esta cláusula (ε) como segue:
→
Estabelecida as condições de conseqüência, pode-se agora definir o conceito geral de consequência, papel da Definição 16.