Midlertidighet i bytransformasjon og byomdannelse

Para estruturar corretamente a metalinguagem a partir dos axiomas 1-5, Tarski vê a necessidade de que componham, juntos, um sistema axiomático categórico. Ele as- sume que de fato os axiomas 1-5 componham um sistema dessa natureza:

Porém Tarski não prova a categoricidade do sistema de axiomas 1-5. Na nota de

rodapé 1 Tarski mostra entender ‘categoricidade’ no sentido visto no artigo de Oswald Veblen, A System of Axioms for Geometry, de 190480. Tarski, em seu artigo Some Ob-

servations on the Concepts of ω-Consistency and ω-Completeness de 1933 (TARSKI,A.;

[1983e], p.282), escreveu logo em seguida aos mesmos cinco axiomas metalingüísticos vistos acima: “Não é difícil provar que o sistema axiomático acima é categóricoi, tem uma interpretação na axiomática dos números naturais e consiste de declarações mutu- amente independentes.ii”

As duas notas de rodapé assinaladas por i e por ii nesta passagem são muito im- portantes, mas vamos nos deter apenas na nota i81. A nota de rodapé i corresponde no original à nota nº 1 à página 282 (TARSKI,A.; [1983e], p.282). Ela diz: “Originalmente

no sentido como em Veblen, O. (86)82. Para uma definição precisa, ver X, pp.309-310.”

80 _{A system of axioms for geometry, Trans. Amer. Math. Soc., v (1904), 343-81.} 81 _{A nota de rodapé ii já foi estudada na nota 39 desta dissertação.}

82 _{Isto é, também no sentido visto no artigo de Oswald Veblen, A system of axioms for geometry, de 1904.}

[p.174]-2 É possível provar que o sistema axiomático acima é categórico. Este fato ga- rante em certo grau que ele providenciará uma base suficiente para a construção da metalinguagem.¹

___________________________________

¹ Eu uso o termo 'categórico' no sentido dado em Veblen, O. (86). Não proponho explicar em maiores detalhes porque vejo na categoricidade de um sistema axiomático uma garantia ob- jetiva de que o sistema basta para o estabelecimento da correspondente ciência dedutiva; uma série de notas sobre essa questão pode ser encontrada em Fraenkel, A. (16).

109 A indicação (86) corresponde à da bibliografia ao fim do Logic, Semantics, Me-

tamathematics – papers from 1923 to 1938, coletânea de 198383. Também o mesmo se diz da numeração de página “ver X, pp.309-310”. Com “ver X, pp.309-310”, Tarski está se referindo ao seu artigo de 1934, Some Methodological Investigations on the

Definability of Concepts (TARSKI, A.; [1983f], pp.296-319), trabalho resultante dos

estudos que Tarski fazia a esse respeito desde 1926 (Cf. TARSKI,A.; [1983f], p.297, no-

ta de rodapé 1). Nas páginas 309-310 desse artigo Tarski dá a idéia principal por trás do método da prova da categoricidade de um sistema axiomático. Ele escreve (TARSKI,A.;

[1983f], pp.309): “Como é bem conhecido, um conjunto de sentenças é chamado categórico se quaisquer duas interpretações (realizações) desse conjunto são isomórficas.”

E aqui ele insere a notade rodapé 2 da página 309 onde diz: “cf. por exemplo Veblen, O. (86)”. Por isomorfia entende-se uma relação de equivalência. Assim as interpretações isomórficas são equivalentes entre si e uma vale identicamente no lugar da outra. Continua em seguida (TARSKI,A.; [1983f], pp.309-310):

“Na intenção de formular isto mais exatamente, vamos supor que expressões simbólicas da for- ma ‘x R x ’ (em palavras: ‘a relação R coloca x para x ’) foi introduzido no interior do sistema lógico. A variável ‘R’ sempre denota uma relação bi-termos entre indivíduos, ‘x ’ e ‘x ’ podem ser de qualquer tipo lógico, desde que sejam ambos do mesmo tipo. O sentido preciso da expressão ‘x R x ’ dependerá do tipo lógico das variáveis ‘x ’ e ‘x ’. Explica- remos isso para uns poucos casos. Por exemplo, se ‘x ’ e ‘x ’ são indivíduos, então ‘x R x ’ tem o mesmo significado que ‘x Rx ’ (i.e., ‘x situa-se na relação R para x ’). Se ‘x ’ e ‘x ’ denotam classes de indivíduos, então a expressão tem o mesmo sentido que a fun- ção sentencial

(u ) : u x . . ( u ) . u x . u R u :. (u ) : u x . . ( u ) . u x . u R u .

(isto não envolve circularidade uma vez que ‘u ’ e ‘u ’ são variáveis individuais, tal que o sentido da expressão ‘u R u ’ já foi bem determinado). De um modo exatamente análogo a expressão ‘x R x ’ pode ser definida para a classe de termos de tipo mais elevado. Considere novamente o caso onde ‘x ’ e ‘x ’ são predicados bi-termos com variáveis individuais como

83 _{Logic, Semantics, Metamathematics – papers from 1923 to 1938, Segunda Edição, Hackett Publishing} Company, EUA, 1983.

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argumentos (desse modo denotando relações binárias entre indivíduos); então a fórmula ‘x R x ’ tem o mesmo significado que

(u , v ) : x (u , v ) . . ( u , v ) . x (u , v ) . u R u . v R v :. (u , v ) : x (u , v ) . .

( u , v ) . x (u , v ) . u R u . v R v . Os exemplos acima serão provavelmente suficientes para explicar o sentido a ser dado à expressão discutida com respeito às variáveis de tipo lógico arbitrário.

Para esclarecer a simbologia, a expressão (u ) : u x . . ( u ) . u x . u R u :. (u ) : u x . . ( u ) . u x . u R u é lida: para o indivíduo u : se o indivíduo u pertence à classe de indivíduos x , então existe o in-

divíduo u tal que u pertence à classe de indivíduos x e a relação R coloca

u para u ; e para o indivíduo u : se o indivíduo u pertence à classe de indi-

víduos x , então existe o indivíduo u tal que u pertence à classe de indivíduos x

e a relação R coloca u para u . No caso da expressão: x (u , v ) . . ( u ,

v ) . x (u , v ) . u R u . v R v :. (u , v ) : x (u , v )

. . ( u , v ) . x (u , v ) . u R u . v R v , lê-se do mesmo modo, guar-

dando o cuidado que (u , v ) é lido o par de indivíduos u e v , o mesmo para (u ,

v ), de modo que x (u , v ), por exemplo, é lido par u e v que pertence à clas-

se de indivíduos x . O mesmo para x (u , v ).

Em geral, fica definido, então, que um sistema axiomático é categórico quando permite escrever expressões equivalentes. O trabalho de Veblen, que é citado nos três artigos de Tarski (TARSKI,A.; [1983b], TARSKI,A.; [1983e] e TARSKI,A.; [1983f]) para

o problema que estamos tratando aqui (o problema da categoricidade), merece ser dis- cutido. O excelente artigo de Steve Awodey e Erich H. Reck, Completeness and Cate-

goricity. Part I: Nineteenth-century Axiomatics to Twentieth-century Metalogic (AWO- DEY, S. E RECK, E. H.; [2002a])84, resume de modo prático o entendimento de Oswald

Venblen tem de categoricidade. Awodey e Reck (AWODEY,S. E RECK,E. H.; [2002a],

p.23) transcrevem os seguintes trechos de Veblen:85

84 _{Awodey e Reck publicaram no mesmo ano a continuação AWODEY,S. E RECK,E.H.; [2002b]} 85 _{Veblen estava discutindo os vinte axiomas de Hilbert usados na formalização do espaço euclidiano.}

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“É parte de nossa proposta mostrar que há essencialmente uma única classe onde os vinte axio- mas são válidos. (...) Consequentemente qualquer proposição que pode ser feita em termos de pontos e arranjo86 ou está em contradição com nossos axiomas ou é igualmente verdadeiro a to- das as classes que verificam os axiomas. A validade de qualquer declaração nesses termos é por consequência completamente determinada pelos axiomas; e assim qualquer axioma adicional te- rá de ser considerado redundante. (...) Um sistema de axiomas tal como temos descrito é chama- do categórico, enquanto aquele onde seja possível adicionar axiomas independentes (e onde con- sequentemente dá-se mais de uma dessas possibilidades) é chamado disjuntivo.87 _{(...) Será pro-} vavelmente melhor reservar a palavra definição para a substituição de um símbolo por outro, e dizer que um sistema de axiomas é categórico se ele é suficiente para a completa determinação de uma classe de objetos ou elementos.”

Segundo Awodey e Reck, o modo como Veblen introduz o conceito de categori-

cidade no seu artigo de 1904 parece bastante vago, mas escreverá em 1906 o artigo The

foundations of geometry: A historical sketch and a simple exemple onde ele toma mais critério para tratar da categoricidade. Lemos de Awodey e Reck (AWODEY,S. E RECK,

E.H.; [2002a], p.23):

“Em 1906 Veblen publicou outro artigo sobre o mesmo tópico geral, chamado “The foundations of geometry: a historical sketch and a simple example”. Este artigo foi escrito para a revista Popular Science Monthly, como um artigo resumido para um público mais amplo. Ele continha algumas passagens que iluminavam o ponto de vista de Veblen. Em conexão com a no- ção de categoria ele agora apontava:

Se antes temos um sistema categórico de axiomas, toda proposição que pode ser inicia- da em termos de nossos (indefinidos) símbolos fundamentais é ou não é verdade de um sistema de objetos que satisfazem os axiomas. Neste sentido ou é conseqüência dos axi- omas ou é contraditório com eles.

86 _{Isto é, ordem de símbolos.}

87 _{Awodey e Reck (AWODEY,S. E RECK,E.H.; [2002a], p.23) apontam que em notas de rodapé à página} 346, Veblen avisa que os nomes categórico e disjuntivo para o comportamento dos sistemas axiomáticos foi idéia do filósofo pragmatista John Dewey.

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“Vamos supor que Veblen quis dizer que “toda proposição ou é ou não é verdade de to- do sistema de objetos que satisfazem os axiomas (uma vez que, como ele tinha enfatizado anteri- ormente, um sistema categorial de axiomas tinha “essencialmente apenas um” modelo). Então nós podemos dizer que ele está se movendo sem hesitação da categoricidade para a completude semântica nesta passagem, (...) nós assumindo entender a frase “conseqüência dos axiomas” e “contraditório” no sentido semântico.”

Neste ponto Awodey e Reck (AWODEY,S. E RECK,E.H.; [2002a], p.25.) expli-

cam para Veblen um sistema categórico então é semanticamente completo e em tal sis- tema qualquer novo axioma é redundante e não pode ser dedutível dos axiomas por um número finito de silogismos. Então, para Veblen, a consequência semântica é distinta da consequência dedutiva, porque um potencial novo axioma pode, sem ser uma conse- quência dedutiva, ser consequência semanticamente dos velhos axiomas (por redefini- ções dos termos dos velhos axiomas, o que é aceitável e possível, já que os axiomas li- dam com os mesmos símbolos fundamentais e se referem em algum ponto da exposição do axioma, permitindo assim que os axiomas se associem para de forma complexa des- crever um axioma mais simples; por isso esse novo axioma é redundante: pode ser re- duzido aos anteriores mais simples).

É sob a consideração desses limites da conseqüência dedutiva – que não pode gerar novos axiomas – que Tarski considera a categoricidade de um sistema como sufi- ciente para sustentar a lógica da metalinguagem, como ele escreveu (ver [p.174]-2, nota de rodapé 1): “(...) vejo na categoricidade de um sistema axiomático uma garantia objetiva de que o sistema basta para o estabelecimento da correspondente ciência dedutiva”.