Estimativas baseadas no resíduo da solução estão entre as primeiras técnicas a considerar o erro de aproximação do MEF. Fundamentada nos trabalhos pioneiros de Babuška e colaboradores, entre eles BABUŠKA; RHEINBOLDT (1978a), (1978b), (1979), essa estratégia foi desenvolvida inicialmente na versão explícita em que as esti- mativas de erro são calculadas diretamente das normas das funções de resíduo. Por sua vez, a versão implícita do método teve sua formulação introduzida em trabalhos como DEMKOWICZ; ODEN; STROUBOULIS (1984) e BANK; WEISER (1985). Nessa abordagem, as funções determinadas pelo resíduo da solução são empregadas como dados para PVC associados aos erros locais. A solução de cada um desses proble- mas define as funções de erro empregadas para se construir o estimador de erro global e também utilizadas como indicadores do procedimento adaptativo. Quando tais in- dicadores são definidos em sub-regiões ou parcelas do domínio aproximado, tem-se o Método dos Resíduos em Sub-domínios (MRS), BABUŠKA; RHEINBOLDT (1978a). Por outro lado, quando o problema do erro é formulado para cada elemento isolada- mente define-se o Método dos Resíduos em Elementos (MRE). Um importante estudo a esse respeito pode ser encontrado em ODEN (1989).
Mais recentes que os métodos baseados no resíduo da aproximação, os estima- dores obtidos do pós-processamento do gradiente da solução foram introduzidos em ZIENKIEWICZ; ZHU (1987). Nesse trabalho, uma função contínua global é obtida a partir da projeção dos gradientes da solução no espaço das funções de interpolação do MEF. A técnica de projeção é do tipo L2, usada segundo ODEN; BRAUCHLI (1971). Em ZIENKIEWICZ; ZHU (1992a) e ZIENKIEWICZ; ZHU (1992b) as funções suavi- zadas passam a ser determinadas localmente por meio de um ajuste por mínimos qua- drados dos valores obtidos em pontos do domínio denominados super-convergentes1. Em razão da dificuldade de se obter tais pontos para diferentes tipos de aproxima- ção, é proposto o Método de Recuperação pelo Equilíbrio das Parcelas (Recovery by Equilibrium of Pathches), MREP, BOROOMAND; ZIENKIEWICZ (1997). Diversos outros trabalhos, envolvendo estimadores baseados no pós-processamento do gradiente da solução, podem ser, ainda, citados tais como BLACKER; BELYTSCHKO (1994), CARSTENSEN; FUNKEN (2000a) e CARSTENSEN; FUNKEN (2000b).
Mais detalhes sobre os estimadores de erro no MEF podem ser encontrados por exemplo em ODEN (1989), DUARTE (1991) e STROUBOULIS; HAQUE (1992). Recomenda-se, também, a leitura da monografia de AINSWORTH; ODEN (1997), onde uma vasta bibliografia é listada a esse respeito. Segundo os autores, a estru- tura formal do MEF adaptativo para problemas elípticos lineares está, atualmente, bem fundamentada, tendo alcançado sua maioridade. Diversas pesquisas, como em BA- BUŠKA (1994a) e BABUŠKA (1994b), têm sido realizadas no intuito, apenas, de se averiguar limites e eficiência dos diversos estimadores de erro existentes. Nota-se, contudo, que o mesmo estágio de desenvolvimento não é observado para problemas não-lineares e os estudos voltados para tais aplicações encontram-se, ainda, em franco desenvolvimento.
O trabalho de RHEINBOLDT (1985) talvez seja um dos primeiros a utilizar a teoria de estimadores de erro, no caso formulações baseadas no resíduo da solução, em problemas com não-linearidade física. Também nessa linha, encontram-se experimen- tações realizadas em RAMM; CIRAK (1997) para problemas de estruturas de paredes finas com não-linearidade física ou geométrica.
Ainda em RAMM; CIRAK (1997) e particularmente CIRAK; RAMM (2000), 1Os pontos super-convergentes são posições do domínio em que se pode esperar que o gradiente da
aproximação tem melhor taxa de convergência do que a própria solução aproximada, AINSWORTH; ODEN (1997). Tais pontos existem em condições muito especiais, e um extenso debate, ainda hoje, é travado a esse respeito como se verifica, por exemplo, em HILLER; BATHE (2001).
a partir do resíduo da solução e aplicando-se o teorema da reciprocidade de Betti e Rayleigh, obtém-se um problema dual para a estimativa de erro em pontos de equilíbrio do PVC não-linear. O carregamento para tal problema é determinado em analogia ao conceito de linhas (ou superfícies) de influência, relacionando o erro de aproximação em todo o domínio com uma variável considerada isoladamente. Campos de tensões e deformações suavizadas são empregados em CIRAK; RAMM (2000) para calcular o resíduo da solução.
Outro estimador baseado em técnicas duais pode ser encontrado no trabalho de RANNACHER; SUTTMEIER (1999), proposto a partir da abordagem geral desenvol- vida em JOHNSON; HANSBO (1992). Uma forma dual global e linearizada para o PVC não-linear é estabelecida para o funcional representativo de uma quantidade física de interesse, pontual ou não. A solução desse novo problema é utilizada como função de ponderação dos resíduos locais do PVC, definindo um estimador de erro ponderado para a quantidade física selecionada.
Nas abordagens baseadas no pós-processamento dos gradientes da solução po- dem ser citados os trabalhos de BOROOMAND; ZIENKIEWICZ (1999) bem como CARSTENSEN; ALBERTY (2000), ambos para problemas elasto-plásticos. No pri- meiro, emprega-se o MREP para a condução do processo h-adaptativo em cada passo do processo de solução incremental. Por sua vez, CARSTENSEN; ALBERTY (2000) é um artigo de cunho teórico em que se procura mostrar a confiabilidade da classe de estimadores desenvolvida por Zienkiewicz e Zhu.
Em GALLIMARD; LADEVÈZE; PELLE (1996) e, posteriormente complemen- tada em GALLIMARD; LADEVÈZE; PELLE (2000) é proposta uma medida de erro global associada à relação constitutiva e capaz de abranger não apenas o erro de apro- ximação da malha, como também o erro devido à discretização no tempo, introduzido pelo método incremental de solução do problema não-linear físico. Utiliza-se para isso do postulado de estabilidade de Drucker, CHEN; HAN (1988), e de técnicas para a construção de campos de tensões admissíveis.
Problemas com localização de deformação apresentam uma dificuldade a mais com relação aos demais problemas com não-linearidade física: a perda da elipsidade das equações de governo. Como os métodos baseados no resíduo da solução são for- mulados para problemas elípticos, não podem ser aplicados nessa situação. Em OR- TIZ; QUIGLEY, IV (1991), entretanto, define-se uma estratégia adaptativa na qual procura-se refinar (tipo h) os elementos em que a variação da solução é observada den-
tro de uma certa tolerância prescrita. Também aplicado a problemas de localização, destaca-se o trabalho de PERI ´C; YU; OWEN (1994), onde é apresentado um estima- dor baseado na estratégia de suavização da solução de ZIENKIEWICZ; ZHU (1987), adequadamente modificada para considerar o fenômeno estudado.
Existem, naturalmente, diversos outros estudos para o desenvolvimento de esti- madores e estratégias adaptativas em problemas não-lineares. Os artigos citados são, apenas, uma amostra do vasto campo de pesquisa existente. Juntamente com as in- formações apresentadas na próxima seção, esta pequena revisão é, contudo, suficiente para situar o leitor em que contexto a implementação de uma formulação adaptativa para o MEFG é introduzida.