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5.1.1 A Seqüência Visando à Educação Intelectual

Piaget (1973), ao estudar psicologicamente o desenvolvimento da inteligência matemática espontânea da criança e do adolescente, fez uma série de observações para o ensino, as quais consideramos de suma importância na preparação da nossa seqüência de ensino.

A primeira questão levantada é que o aluno utiliza sua inteligência geral (e não aptidões individuais especiais) para resolver situações em que não percebe se tratar de Matemática. Alguns alunos considerados fracos em Matemática apresentam atitudes diferentes quando os problemas são apresentados de forma concreta e relacionados com outros interesses.

As experiências que o grupo de Piaget realizou acerca do desenvolvimento das noções relativas à Matemática e à Física mostraram que a causa essencial da passividade dos alunos decorre da não-associação entre as questões de lógica e as considerações numéricas ou métricas. Isso significa que, “enquanto não estiver solidamente assegurada a estrutura lógica do problema, as considerações numéricas permanecem destituídas de significado e obscurecem, pelo contrário, o sistema das relações em jogo”. (PIAGET,1973, p. 65).

Outra questão importante da pesquisa de Piaget é que há um desenvolvimento real e espontâneo de noções lógicas, independentemente dos conhecimentos adquiridos na família ou na escola. É com base nessas noções lógicas que o aluno elabora suas noções geométricas elementares, tais como: conservação de distância, dos paralelos, dos ângulos, perspectiva, proporções, etc.

Essa elaboração intelectual espontânea não somente é muito mais rica do que se imagina, como também põe em evidência uma lei de evolução muito clara: todas as noções de Matemática principiam por uma construção qualitativa antes de adquirirem caráter métrico (...). Sem dúvida, é indispensável que se chegue a abstração, e isso é mesmo absolutamente natural em todos os terrenos no decorrer do desenvolvimento mental da adolescência, mas a abstração se reduzirá a uma espécie de embuste e de desvio do espírito se não constituir o coroamento de uma série ininterrupta de ações concretas anteriores. (PIAGET, 1973, p. 67)

Com essa questão em mente, procuramos elaborar a nossa seqüência de ensino no sentido de criarmos situações que promovessem uma compreensão do conceito de semelhança em função de uma construção qualitativa. No desenvolvimento do conhecimento matemático, é importante e necessário que cheguemos a uma abstração, porém não podemos ensiná-la como uma verdade acessível exclusivamente por meio de uma linguagem abstrata.

Segundo BOREL30, citado por BKOUCHE (1991, p. 135), “convém no ensino elementar, considerar a noção de semelhança como uma noção primitiva: é uma noção das mais simples que todos têm sem conhecer geometria: basta ter constatado que a idéia de forma é independente da idéia de grandeza”. Bkouche considera que se a idéia de forma é independente da idéia de grandeza, um dos grandes objetivos da Geometria é por em relação forma e grandeza. Podemos, primeiramente, dizer que duas figuras têm a mesma forma (se parecem) e depois determinar as regras que permitem construir uma figura que apresenta a mesma forma da figura dada.

Nos próximos itens deste capítulo, procuramos elucidar o que seria essa construção qualitativa do conceito a qual estamos nos referindo.

5.1.2 A Construção da Rede

Em busca do desenvolvimento da construção qualitativa, procuramos elaborar a nossa seqüência de ensino. Analisamos, primeiramente, os conceitos relacionados ao de semelhança.

HARUNA (2000, p.55) montou uma rede semântica em que os conceitos homotetia (H), semelhança(S), razões trigonométricas (T) e o teorema de Thales (TT), podem ser combinados em diversas seqüências de ensino, sendo que cada conceito pode ser formado a partir do conceito apreendido anteriormente.

SANCHES (1991, p.25) realiza a análise da rede de noções subjacentes ao conhecimento de semelhança de figuras planas e constrói o seguinte quadro:

FIGURA 23 – REDE DE SANCHES

Proporcionalidade e Proporções Visualização Conceitos e Propriedades Geométricas de Figuras Planas Função Linear e Reta Real Multiplicações - Inteiros - Frações Ampliação e Redução SEMELHANÇA Condições Necessárias e Suficientes Relações e Classificação Isometria Homotetia Utilização de instrumentos . régua . compasso . transferidor

Percebemos, nos livros analisados, formas diferenciadas de iniciar e justificar o conceito de semelhança, ou seja, os autores partem de conceitos diferentes. Para que haja a possibilidade de compreensão de um conceito, é necessário considerar várias situações e realizar uma série de procedimentos e representações possíveis.

Segundo os PCNs de Matemática, as possibilidades de seqüência dos conteúdos são múltiplas e decorrem mais das conexões que se estabelecem e dos conhecimentos já construídos pelos alunos do que a idéia de pré-requisito ou de uma sucessão de tópicos estabelecida a priori. Embora existam conhecimentos que precedam outros, a hierarquização entre eles não é tão rígida como tradicionalmente é apresentada31.

Conforme a variação na consideração dos conteúdos a serem trabalhados, podem ser organizadas competências diferenciadas para a formação do conceito, assim como o tratamento de um problema.

Considerando a nossa escolha uma situação interdisciplinar de ensino, assim como a utilização do conceito de homotetia para posterior formação do conceito de semelhança, realizamos a seguinte rede:

FIGURA 24 – REDE INTERDISCIPLINAR PARA O CONCEITO DE SEMALHANÇA Na situação de formação de sombra, trabalhamos uma das conseqüências da propagação retilínea da luz, portanto estamos situados em uma situação homotética do espaço com razão positiva. Considerando nossa outra situação

Homotetia espacial e plana Semelhança de polígonos Razão e proporção Equivalência Propagação retilínea da luz

Formação de

sombras Formação de imagem em câmara escura

Congruência de figuras Utilização de instrumentos: régua, compasso e transferidor Paralelismo Ampliação e redução de polígonos Semelhança de triângulos

Relações métricas dos triângulos retângulos Área e perímetro Conceitos e propriedades de figuras geométricas planas Condições necessárias e suficientes Teorema de Thales

prática (a câmara escura de orifício), também estamos situados em uma situação homotética do espaço. A diferença é que, nesse caso, a homotetia relacionada à situação apresenta razão negativa.

Após relacionarmos os fenômenos físicos com as situações homotéticas espaciais, trabalhamos situações homotéticas no plano, inclusive algumas variabilidades perceptivas. Nesse momento, consideramos conceitos como paralelismo, ampliação e redução de polígonos, congruência de polígonos e razão e proporção.

Com a realização do trabalho das situações práticas e homotéticas, introduzimos o conceito de semelhança de polígonos em função de figuras homotéticas, sendo trabalhadas as condições necessárias e suficientes para a semelhança de polígonos.

5.1.3 Justificativas em Função do Quadro Teórico

Para a elaboração da nossa seqüência didática, utilizamos como referencial teórico os registros de representação semiótica e as apreensões de uma figura propostos por Raymond Duval, um quadro teórico para a Geometria de Bernard Parsysz (2000), as observações realizadas por Charalambos (1991) na pesquisa sobre homotetia e as considerações feitas por Paolo Boero (1994) na pesquisa sobre a utilização de situações de sombra com relação a uma Geometria Racional. Considerando os registros de representações semióticas de Duval, apoiamo- nos nos seguintes aspectos:

• o desenvolvimento de um conceito não pode ser formado com base em um único registro: é necessário que sejam trabalhadas a diversidade e a relação entre diferentes registros, visando a uma melhor compreensão do objeto em relação às suas representações;

• conversão de registros e tratamentos em cada um deles.

Durante a elaboração de nossa seqüência, procuramos fazer com que os alunos relacionassem os vários registros figurais com suas respectivas representações numéricas no que tange à questão da proporcionalidade. No

representações numéricas, também demos atenção à constante de homotetia, desenvolvendo situações em que K > 0 e em que K < 0.

As diferentes geometrias consideradas por Bernard Parsysz serviram como base para a elaboração de nossa seqüência:

• G0: a geometria concreta, na qual serão observados os fenômenos de formação de sombra e imagem na câmara escura, assim como a utilização de maquetes. • G1: em que os objetos em jogo são os desenhos realizados. Nessas tarefas, utilizamos régua graduada, compasso, esquadro e transferidor.

• G2: a técnica utilizada refere-se aos objetos geométricos (retas, segmentos, ângulos) cuja existência é assegurada pelas definições e propriedades consideradas.

Podemos dizer que os dois quadros teóricos por nós adotados se complementam. No que se refere ao ponto de vista de Parsysz, existem duas capacidades que devem visar ao ensino de Geometria. Uma delas é a característica permanente do objeto em estudo e a outra é a versatilidade do trabalho com os registros de representação, aspectos que, se realizados de modo consciente no desenvolvimento do estudo, podem fazer com que haja uma formação significativa dos conceitos envolvidos.

Em sua pesquisa, Charalambos observou que a exploração das variedades de configurações homotéticas e a articulação entre os registros numérico e discursivo fizeram com que houvesse um aumento no índice de acertos na aplicação do teorema de Thales.

Em pesquisa realizada sobre as argumentações realizadas pelos alunos nas explicações de situações de formação de sombra, Boero observou que muitos estudantes verificaram o modelo de proporcionalidade, assim como a representação geométrica da situação.

Ao considerar a realização de atividades que partam de situações práticas e que sejam descontextualizadas gradativamente no sentido da formação do conceito matemático de semelhança, acreditamos que haja possibilidade de uma, segundo Piaget, “construção qualitativa” deste conceito.

5.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Com a finalidade de validar as hipóteses levantadas no capítulo anterior, assim como responder à questão de pesquisa, elaboramos a seqüência de atividades e os testes diagnósticos.

Para a reelaboracão e definição dos testes e da seqüência de ensino, realizamos um estudo preliminar que denominados de pesquisa-piloto, com o objetivo de ajustar a seqüência e os testes de acordo com os sujeitos da amostra. Essa pesquisa foi aplicada em 33 alunos, com idade entre 14 e 15 anos, de uma turma de 8ª série (8ª B) de uma escola estadual da cidade de São Vicente, no estado de São Paulo. Após a aplicação do pré-teste, toda a classe foi convidada a participar de um curso de Geometria que seria realizado no contraturno. Dos 12 alunos inscritos no curso, apenas sete concluíram a seqüência. Com a aplicação dessa pesquisa, realizamos modificações tanto nos testes diagnósticos quanto na seqüência de ensino, a fim de que aprimorássemos nossos instrumentos de pesquisa.

Em nosso estudo principal, a seqüência de ensino foi aplicada em uma das duas classes em que aplicamos o pré-teste32. No grupo de controle (C), aplicamos o pré-teste e o pós-teste sem nenhuma intervenção específica durante o período de experimentação. No grupo experimental (E), aplicamos o pré-teste, o pós-teste e uma seqüência de ensino entre esses dois testes.

Podemos dizer que, segundo RUDIO (1992, p. 56), realizamos uma pesquisa experimental, pois aplicamos uma seqüência sabendo anteriormente alguns aspectos dos conhecimentos dos alunos sobre o conceito de semelhança, com o objetivo de melhorarmos tais conhecimentos. Esse plano, que utiliza dois grupos (o experimental e o de controle), com pré-teste e pós-teste e com um experimento sendo aplicado somente a um grupo, é considerado o plano clássico do experimento.

Procuramos controlar três variáveis consideradas relevantes, segundo

CAMPBELL-STANLEY (1979, p. 9): a história, a testagem e a instrumentação. A primeira se traduz por eventos específicos que tenham ocorrido entre a primeira e a segunda medida; a segunda caracteriza-se pelos efeitos da aplicação de um teste