4. Measurements of Selected Contaminants
4.1 Atmospheric levels and sources of contaminants
4.1.2 Passive air sampling around Lake Mjøsa
Utilizamos, em nossa pesquisa, um quadro teórico de Bernard Parsysz para o ensino da Geometria. O autor se baseou nas teorias de Van Hiele (1984)22, Houdemente & Kuznial (1998)23 e de Henry (1999)24.
Parsysz propõe uma síntese dessas teorias e uma articulação diferente da proposta por Houdemente & Kuznial. Seu modelo repousa, por um lado, na natureza dos objetos em jogo (física vs teórica) e, por outro, nos modos de validação (perceptivo vs lógico-dedutivo). Além disso, considera a Geometria Não-axiomática e a Geometria Axiomática. A Geometria Não-axiomática é composta de G0 (“Geometria” Concreta) que não é geométrica, parte da realidade, do concreto, e de G1 (Geometria Espacial-gráfica)25
, que é a construção do “espaço-gráfico” cuja realização se dá em função das situações concretas.
De outro lado, encontramos a Geometria Axiomática, cuja axiomatização é explicitada completamente por G3 (Geometria Axiomática) e não completamente por G2 (Geometria Proto-axiomática)26
. A referência ao real pode ainda ocorrer em G2, mas em G3 não há nenhuma referência real. Com o objetivo de facilitar essa análise, realizamos o quadro a seguir.
22
VAN HIELE, Pierre. A child´ s thought and geometry. In: van Hiele-Geldof; Pierre, M. English
translations of selected writings. Research in Science Education Program of the National Science
Foudation 1984.
23 HOUDEMENT, Catherine; KUZNIAL, Alain. Quelques éléments de réflexion sur l’enseignement de
la géométrie: de l’école primaire à la formation des maîtres, in Petit x 51 . 1999.
24 HENRY, Michel. L’introduction des probabilités au lycée: un processus de modélisation comparable
FIGURA 22 – A CLASSIFICAÇÃO DE BERNARD PARSYSZ
A G0 corresponde ao nível 0 de Van Hiele, na qual as figuras são identificadas unicamente pelo seu aspecto geral. A G1 ainda confunde “geometria e realidade”, como nos níveis 0 e 1, em que o aluno começa a discernir as propriedades das figuras, mas ainda sem poder explicá-las. Na G2, ocorre a concepção de um esquema dessa realidade (corresponde aos níveis 2 e 3 de Van Hiele). Nesse momento, as definições fazem sentido, e os resultados obtidos empiricamente podem ser utilizados em conjunto com técnicas dedutivas (a dedução é reconhecida como ferramenta de validação no interior de um sistema axiomático). Na G3, o aluno se apresenta no nível 4, sendo capaz de se situar nos diferentes sistemas axiomáticos, bem como de compará-los.
Em G1, as técnicas utilizadas para a resolução de exercícios podem ser relacionadas à utilização de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor. Na G2, as técnicas utilizadas referem-se a objetos geométricos nos quais a existência é assegurada pelas definições, axiomas e propriedades consideradas.
Geometria Não-axiomática Geometria Axiomática
G0 Geometria Concreta G1 Geometria Espacial gráfica G2 Geometria Proto- axiomática G3 Geometria Axiomática
Objetos físicos Objetos teóricos
Validações perceptivas Validações dedutivas
Considerando a seqüência27
que aplicamos, partimos de situações reais de formações de sombras, utilizando-se das fontes puntiformes e da formação de imagem em uma câmara escura. Essas atividades estão inseridas na Geometria Não-axiomática G0.
Com o desenvolvimento das situações, procuramos fazer com que os alunos representassem as situações reais por objetos da Geometria, mas ainda relacionados aos elementos físicos como, por exemplo, os desenhos representativos das formações de sombra e da imagem da câmara escura. Com essas representações, podemos dizer que os alunos estarão diante da G1, cuja validação permanece ainda perceptiva.
Durante a realização das atividades, pretendíamos fazer com que o aluno desenvolvesse o conceito de homotetia e, posteriormente, o de semelhança inserido na G2, cujos objetos em jogo estão situados fora da realidade, sendo a validação das afirmações de ordem dedutiva.
A distinção de G2 em relação a G1 e a G3 é que a G2 é uma modelação do espaço físico (de G1), enquanto G3 não faz mais referência a nenhuma realidade, ou seja, G2 é uma Geometria em que os axiomas estão parcialmente implícitos, enquanto G3 é uma versão euclidiana.
Segundo PARSYSZ (2000, p. 15), podemos fazer com que o aluno consiga formar conhecimentos geométricos mais próximos do teórico trabalhando com duas etapas: a primeira etapa é a de modelagem do espaço físico que deve ser realizada do concreto ao espaço-gráfico e depois do espaço-gráfico ao proto-axiomático; uma segunda etapa é do tipo hipotético-dedutivo, em que devem ser trabalhadas resoluções de problemas que foram previamente matematizados.
4.4.2 Espaço, Geometria e Desenho
Bernard Parsysz realizou uma pesquisa com o objetivo de proporcionar aos alunos dos ensinos Médio e Fundamental uma melhor eficácia na resolução de problemas inseridos na Geometria espacial.
Para PARSYSZ (1991, p. 213-214), a resolução de problemas espaciais envolve três objetos de natureza diferente:
• domínio das realizações materiais – é o próprio espaço físico, objeto percebido por nossos olhos;
• domínio das figuras geométricas – é encontrada na Geometria, que é concebida como uma modelação do espaço físico;
• domínio das representações gráficas – é o sistema de representações planas das figuras espaciais.
Esses três domínios, quando utilizados no ensino de Geometria, podem
promover o desenvolvimento de habilidades espaciais, assim como a elaboração de um sistema de regras que permite agir no modelo.
Tanto para a Geometria Plana quanto para a Geometria Espacial, as principais funções do desenho são: visualizar, resumir, ajudar a provar e ajudar a conjeturar. Na Geometria Espacial, a representação gráfica não é isomorfa em relação à situação geométrica, o que não é verdade para a Geometria Plana. Na Geometria Espacial, podemos dizer que a maquete, e não o desenho, é uma representação isomorfa à situação.
Um desenho, para a Geometria Espacial, parece insuficiente para compreender a situação. Segundo PARSYSZ (1989, p. 24), “Levantamos a hipótese suplementar de que a iniciação em geometria espacial só pode ser feita (...) tendo recorrido, não somente as representações desenhadas, mas também às maquetes tridimensionais, e isso qualquer que seja a idade dos alunos”. (tradução nossa) O objetivo da utilização das maquetes é fazer com que haja uma evolução no imaginário visual do aluno, assim como favorecer as mudanças de pontos de vista.
4.4.3 Registro de Representação Semiótica
A utilização das representações no estudo da Matemática vem sendo amplamente pesquisada por Raymond Duval. O ensino-aprendizagem da Matemática está relacionado à utilização de vários sistemas de representação que extrapolam a nossa língua natural. Segundo DUVAL (1995, p. 13), “não é possível estudar os fenômenos relativos ao conhecimento sem recorrer à noção de representação”.
DUVAL (1995, p. 15-17) estabelece três tipos de representações:
• Representações mentais: são representações internas e conscientes do sujeito. Podem ser definidas pelas crenças, convicções, idéias, explicações e concepções dos estudantes sobre fenômenos naturais e físicos.
• Representações internas: são representações internas e não conscientes do sujeito, que executa tarefas sem pensar em todos os passos para sua realização.
• Representações semióticas: são externas e conscientes. Existe uma grande variedade de representações semióticas constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação.
Segundo DUVAL (1995), um registro de representação é um sistema semiótico que tem as funções cognitivas fundamentais de mostrar o funcionamento cognitivo e consciente que o sujeito apresenta da situação. Por intermédio do registro de representação, o sujeito relata de forma consciente o que está sendo observado a respeito do objeto.
Escolhemos a análise dos registros, pois consideramos um meio interessante que poderá nos ajudar na compreensão das resoluções dos alunos nos diferentes contextos e momentos que utilizamos em nossa pesquisa.
Considerando as novas propostas educacionais, o professor deve partir das representações e concepções prévias dos alunos e, em função disso, realizar situações que promovam as transformações dessas concepções e a apropriação do saber científico. A escola tem como função fazer com que o aluno perceba o mundo por meio de um conhecimento científico, e essa compreensão se deve ao processo
Utilizamos a teoria dos registros de representação semiótica em virtude de seu papel fundamental nas atividades cognitivas, de comunicação, de tratamentos e de objetivação do problema proposto. Sendo assim, olhamos o conteúdo de semelhança nos contextos da Matemática e da Física, procurando refletir sobre seus registros de representação.
Palavras, números, gráficos, figuras geométricas, desenhos são representações semióticas e possuem dois aspectos distintos: a forma ou representante e o conteúdo ou representado.
Em Ótica Geométrica, por exemplo, costuma-se utilizar a representação geométrica para indicar os objetos, raios de luz, sombras e imagens projetadas. O lado de um triângulo não é o raio de luz. Ele representa o raio, que também pode ser representado por um segmento AB. Dessa forma, podem existir diversos registros de representação possíveis para um mesmo objeto, e cada um permite um tratamento cognitivo específico.
Durante a realização de nossa seqüência, é importante que analisemos dois diferentes tipos de transformação das representações: o tratamento e a conversão. O tratamento é uma transformação de uma representação em uma outra representação no mesmo registro. A conversão é a transformação de uma representação de um registro para um outro registro.
Os sistemas semióticos permitem que sejam construídas três atividades cognitivas presentes em todas as representações:
• construir de um traço ou reunião de traços perceptíveis que sejam identificáveis como uma representação de algo em um sistema determinado;
• transformar as representações pelas regras do sistema considerado;
• realizar a conversão das representações realizadas num sistema para um outro sistema, sendo que esse outro permite a explicitação de outras significações do que é representado.
Para que ocorra um aprendizado, o professor, em suas atividades, deve considerar o elo existente entre a noésis28 e a semiósis29, permitindo que os alunos adquiram essa consciência mais global. Nessa perspectiva, devemos considerar três tipos de tarefas:
• a apreensão das representações semióticas;
• o aprendizado dos tratamentos adequados a uma determinada categoria de registro;
• a percepção das variações características do registro de partida e do registro de chegada.
Quando fazemos variar uma representação, mudamos a apresentação de seu conteúdo. Essa escolha entre as várias representações possíveis no registro de chegada, daquela que corresponde à representação do registro de partida, permite identificar as variações das unidades significantes em cada registro de representação.
Com relação ao conceito de semelhança, desenvolvemos atividades cujo objetivo é promover a coordenação dos registros discursivo (enunciado), figural (configurações) e simbólico (montagem da proporção).
4.4.4 Os Diferentes Funcionamentos de uma Figura em uma Atividade Geométrica
Para justificar a utilização da figura em uma atividade geométrica, é comum encontrarmos explicações de que, se utilizássemos somente a apresentação verbal em um enunciado, seria mais difícil a resolução do problema. Realmente as figuras podem ajudar na percepção de relações e hipóteses que não parecem evidentes na representação discursiva, sendo assim as figuras são meios interessantes que auxiliam, antecipam e facilitam a exploração de diferentes aspectos da situação, assim como permitem perceber a idéia central de uma demonstração.
As figuras não funcionam somente como uma ferramenta heurística, e a sua simples visão pode fazer com que não sejam percebidas com um olhar matemático. Segundo DUVAL (1994, p. 122), a própria diferença do que uma figura é capaz de “mostrar” para o aluno e para o professor sugere que há diferentes apreensões de uma mesma figura.
Para DUVAL (1994, p. 122), há quatro tipos possíveis de apreensões de uma figura: perceptiva, discursiva, seqüencial e operatória, para as quais realizamos
FIGURA 22 – A CLASSIFICAÇÃO DE DUVAL
A primeira delas é a apreensão perceptiva, a mais imediata das apreensões, ou seja, aquela que permite identificar ou reconhecer, imediatamente, uma forma, ou um objeto, seja em um plano seja no espaço. Essa apreensão está somente relacionada com a visualização e com a interpretação das formas da figura na situação geométrica.
A segunda apreensão é a discursiva, por meio da qual uma figura é vista em relação a uma denominação, uma legenda ou uma hipótese que apresentam algumas de suas propriedades. Não podemos dizer que “vemos” uma propriedade na figura, pois estaríamos realizando essa afirmação somente em função de nossa apreensão perceptiva, o que poderia nos levar a um engano.
A terceira apreensão é a seqüencial, que está relacionada com a ordem de construção de uma figura. Essa ordem não depende somente das propriedades matemáticas da figura, mas também das necessidades técnicas dos instrumentos utilizados, que podem ser régua e compasso ou os comandos de um menu de um programa de computador.
A última das apreensões é a operatória, que apresenta uma exploração heurística cujo objetivo é “mostrar” o caminho da solução de um problema ou de
APREENSÕES DE UMA FIGURA
Perceptiva Discursiva Seqüencial Operatória
Relacionada com a visualização Relacionada com uma denominação, uma legenda ou uma hipótese Relacionada com a ordem de construção de uma figura Relacionada com uma exploração heurística
uma demonstração. Representa a apreensão de uma figura em função de suas três modificações possíveis: a modificação mereológica, que consiste na separação de uma figura em partes para recombiná-las em uma outra figura; as modificações óticas, que consistem na ampliação, na diminuição ou na deformação de uma figura; e as modificações de posição, que consistem no deslocamento da figura no plano ou no deslocamento do plano da figura em relação ao plano fronto-paralelo.
Cada tipo de apreensão corresponde a tratamentos específicos que cumprem funções epistemológicas diferentes. Em nossa pesquisa, procuramos trabalhar situações que promovam os quatro tipos de apreensões, assim como as modificações óticas e de posição.
CAPÍTULO 5
APRESENTAÇÃO DA SEQÜÊNCIA E ASPECTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS
Antes de apresentar a discussão e a análise das atividades propostas, consideramos pertinente situar a experimentação com relação ao quadro teórico, justificar as nossas escolhas e apresentar a metodologia de pesquisa.