4.2 Mixed panel evaluation of an engineering research institute
4.2.4 The basis and the criteria for the assessments
O caso bidimensional ´e importante para analisarmos o efeito do campo magn´etico em um defeito que possa tornar-se supercondutor. Continuaremos a utilizar Ω como o simulador da defeito, no caso com dependˆencia de x e y. A suposi¸c˜ao de que ∆ ´e menor que W continua v´alida, por´em n˜ao eliminaremos o termo n˜ao-linear da equa¸c˜ao 4.4, e re- solveremos as equa¸c˜oes acopladas da forma que s˜ao apresentadas, utilizando o m´etodo da relaxa¸c˜ao. Faremos isso pois no presente caso n˜ao estamos interessados nas temperaturas
cr´ıticas de ∆, e sim em analisar o comportamento dos parˆametros de ordem quando um campo magn´etico ´e aplicado. As equa¸c˜oes 4.3 e 4.2 passaram a depender do tempo, como a equa¸c˜ao 4.7, com os mesmos argumentos apresentados para esta. Para incluir o campo magn´etico utilizamos o potencial vetor ~A, que leva a
−i∇ − ~A2W −Ω(~r) − |W |2 W + σ|∆|2W = ∂W ∂t (4.15) 1 ξ2 r −i∇ − ~A2∆ − αs− |∆|2 ∆ + σδ2 ξ2 r |W |2∆ = ∂∆ ∂t (4.16)
Contornamos o problema da poss´ıvel variˆancia de gauge desses equa¸c˜oes no m´etodo numerico atrav´es das chamadas vari´aveis de liga¸c˜ao [47]. Essas s˜ao vari´aveis auxiliares que est˜ao associadas `a uni˜ao de dois s´ıtios vizinhos do dom´ınio discreto e ´e dessa forma que discretizamos o potencial vetor. A figura 22 nos d´a uma ideia de como s˜ao criadas, onde ax e ay s˜ao as distˆancias entre os pontos da rede.
Figura 22 – Rede discreta bidimensional
Fonte: Figura retirada de [50]. Malha de discretiza¸c˜ao utilizada no calculo num´erico.
nas dire¸c˜oes x e y pela express˜ao Ux = exp −i Z x x0 Ax(ξ, y, t)dξ , (4.17) Uy = exp −i Z y y0 Ay(x, η, t)dη . (4.18)
Escrevendo as vari´aveis de liga¸c˜ao em termos de seus an´alogos discretos, Ux
i,j e U y i,j Ux = i−1 Y k=1 Uk,jx , (4.19) Uy = j−1 Y k=1 Ux i,k. (4.20)
Considerando dois pontos adjacentes na horizontal (xi, yj) e (xi+1, yj), temos Ui,jx = exp −i Z xi+1 xi Ax(x, y, t)dx . (4.21)
Analogamente, ao longo da vertical,
Ui,jy = exp −i Z yj+1
xj
Ay(x, y, t)dy !
. (4.22)
Podemos usar a regra do ponto m´edio para integra¸c˜ao e escrever as vari´aveis de liga¸c˜ao na forma discretizada
Ux
i,j ≈ exp [−iAx(x + ax/2, yj)ax] , (4.23) Ui,jy ≈ exp [−iAy(x, yj + ay/2)ay] . (4.24) As vari´aveis de liga¸c˜ao nos permitem discretizar as equa¸c˜oes de GL dependentes do tempo. Faremos a discretiza¸c˜ao para o parˆametro W (a equa¸c˜ao para ∆ ´e obtida de maneira an´aloga).
Come¸cando pelo termo−i∇ − ~A2W , faremos para a dimens˜ao x (o mesmo vale para y):
(−i∇x− Ax)2Wi,j = −∇2xWi,j+ i ∇xAx− iA2x Wi,j, (4.25) (−i∇x− Ax)2Wi,j =
1 −Ux
i,j U
x
As vari´aveis de liga¸c˜ao obedecem `as rela¸c˜oes [47]
∇xUi,jx = −iAxUi,jx , (4.26) ∇2xUi,jx = −iUi,jx ∇xAx− iA2x , (4.27)
Ux
i,j =Ui,jx Ui,jx . (4.28) Utilizando essas rela¸c˜oes na equa¸c˜ao 4.25obtemos
(−i∇x− Ax) Wi,j = 1 −Ux
i,j 2(∇
xUi,jx )∇xWi,j + ∇2xUi,jx Wi,j + Ui,jx ∇2x , (4.29) de onde ficamos com
(−i∇x− Ax)2Wi,j = − 1 Ux i,j∇ x∇xUi,jx Wi,j (4.30) Usando diferen¸cas finitas
(−i∇x− Ax)2Wi,j = −
Ux
i+1,jWi+1,j− 2Ui,jx Wi,j + Ui−1,jx Wi−1,j
a2 x
, (4.31)
discretizando as vari´aveis de liga¸c˜ao com a equa¸c˜ao 4.28
(−i∇x− Ax)2Wi,j = − Ux
i,jWi+1,j − 2Wi,j+ Ui−1,jx Wi−1,j
a2 x
!
. (4.32)
Todo o procedimento ´e valido de forma an´aloga para a componente y; podemos ent˜ao escrever as equa¸c˜oes 4.15 e 4.16 na forma discreta.
Wi,jt+1 = Wt
i,j+ τ
"
Ui,jx Wi,jt − 2Wi,j + Ui−1,jx Wi−1,j
a2 x
+U y
i,jWi,jt − 2Wi,j+ Ui,j−1y Wi,j−12
a2 y
+ Ωi,j− |Wi,jt |2 Wi,jt − σ|∆ti,j|2Wi,jt , (4.33) ∆t+1i,j = ∆ti,j + τ " 1 ξ2 r Ux
i,j∆ti,j− 2∆i,j + Ui−1,jx ∆ti−1,j
a2 x + 1 ξ2 r Ui,jy ∆t
i,j− 2∆i,j + Ui,j−1y
a2 y
(4.34)
+ Λi,j− |∆ti,j|2 ∆ti,j − σδ2 ξ2 r |W t i,j|∆ti,j , (4.35) onde Ωi,j e Λi,j fazem o papel de αw e αs respectivamente.
As duas regras de recorrˆencia s˜ao usadas no m´etodo de relaxa¸c˜ao, e devido ao acoplamento entre as equa¸c˜oes, ambas s˜ao relaxadas simultaneamente at´e que seja atingido o equil´ıbrio. O objetivo ´e estudar o estado de v´ortices do supercondutor e desenvolver um diagrama de fases da energia livre pelo campo magn´etico aplicado. Como
n˜ao estamos preocupados com as temperaturas cr´ıticas no caso bidimensional usamos apenas o estado fundamental de ∆ e analisamos qual o efeito que o tamanho do defeito tem na estrutura de v´ortices.
5 DEGENERESCˆENCIA DAS TEMPERATURAS CR´ITICAS QUANTIZADAS
O aparato num´erico desenvolvido no cap´ıtulo anterior nos permite resolver as equa¸c˜oes de GL. Come¸camos com o caso unidimensional, onde resolveremos as equa¸c˜oes 4.4 e 4.5. Estudamos um supercondutor linear, como o de A. Moor et al. [36], com comprimento de 100 ξw. O espa¸co foi discretizado em 1000 pontos separados por dx = 0.1 ξw e que foi simetrizado em torno do zero pela equa¸c˜ao:
x(i) = −(S/2) + (i − 1) · dx, (5.1)
onde S ´e o tamanho do supercondutor. As interfaces tˆem comprimento de L = 4ξw e assim garantimos que a regi˜ao de supress˜ao ´e estreita comparada ao tamanho do supercondutor. O primeiro passo ´e garantir que o programa computacional desenvolvido esteja correto. Para isso, resolvemos as equa¸c˜oes de GL 4.4 e 4.5 para uma interface e compara- mos os resultados encontrados com os resultados anal´ıticos de A. Moor et al. [36]. A Fig. 23 compara o resultado obtido numericamente para uma forte supress˜ao do parˆametro de ordem W e est´a de acordo com o resultado anal´ıtico, equa¸c˜ao 3.8, com κw = 1/3, ξr = 1 e δ = 10. O coeficiente κw est´a relacionado com a supress˜ao de W – quanto menor seu o valor, mais profundo e largo ´e o po¸co de potencial. Os parˆametros δ e ξr comparam os valores m´aximos e os comprimentos de coerˆencia entre W e ∆, respectivamente. Fazendo ξr = 1 dizemos que ambos possuem o mesmo comprimento de coerˆencia, o δ = 10 implica que o parˆametro W ´e dez vezes maior que ∆. Na interface, com a supress˜ao do parˆametro W mostrada na Fig. 23, obtida pelos m´etodos num´ericos (s´ımbolos) e anal´ıticos (linhas), o parˆametro ∆n aparece. A Fig. 24 mostra as quatro primeiras fun¸c˜oes de ∆n, sendo 24a o estado fundamental, 24b o primeiro estado excitado e 24c o segundo estado excitado. Perceba que as fun¸c˜oes possuem o mesmo comportamento das solu¸c˜oes mostradas na Fig. 19a.
Os resultados num´ericos est˜ao coerentes com os esperados e podemos investigar agora os efeitos de mais de uma interface nos parˆametros de ordem e na temperatura, como um avan¸co sobre o estudo feito anteriormente em [36].
Figura 23 – Parˆametro de ordem W normalizado W/W 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 x(1/ξw) −20 −10 0 10 20 Numerical results Analytical
Parˆametro de ordem W normalizado. O gr´afico foi cortado para que mostre apenas as redondezas da regi˜ao da interface. Comparamos o resultado anal´ıtico obtido por A. Moor
Figura 24 – Parˆametros de ordem ∆n normalizados
Parˆametros de ordem ∆nnormalizados, obtidos pelo num´erico, onde (a) ´e o estado funda- mental n = 0, (b) o primeiro excitado n = 1 e (c) o segundo excitado n = 2. Os resultados est˜ao compat´ıveis com o esperado por A. Moor et al. para as fun¸c˜oes hipergeom´etricas.