Define uma cópula para tipos especiais de estruturas de correlação
O comando Definir cópula (no menu Definir correlações do grupo Modelo) permite que você crie, edite e exclua cópulas. Da mesma forma que uma matriz de correlação do @RISK, uma cópula do @RISK pode ser usada para correlacionar duas ou mais distribuições de inputs. Há semelhanças entre usar uma cópula e usar uma matriz de correlação no @RISK, mas também há algumas diferenças que você deve conhecer.
O padrão de correlação gerado com base em uma matriz de
correlação do @RISK sempre segue um padrão "gaussiano elíptico". Para saber o que isso significa, apresentamos aqui os padrões bidimensionais das correlações entre duas distribuições uniformes correlacionadas a uma matriz de correlação com vários coeficientes.
Note que nem todos os padrões possíveis estão disponíveis aqui. Por exemplo, suponhamos que você analisou seus dados atentamente e constatou que o padrão deveria ser algo semelhante ao seguinte:
Por que usar uma cópula?
Comandos de Modelo 143
Aqui, a dispersão está bem concentrada na seção inferior esquerda, e muito mais espalhada na seção superior direita. Uma matriz de correlação não proporciona a flexibilidade para modelar esta situação, mas a cópula permite fazer isso.
Em muitos modelos, este nível de detalhes não é importante ou não há dados suficientes para determinar uma estrutura de correlação interna com certo grau de exatidão. Contudo, em alguns casos (mais comuns no setor financeiro), as cópulas são usadas para espelhar a realidade de forma mais exata.
Uma exposição completa de como as cópulas funcionam não está dentro do escopo deste manual, mas é importante entender os conceitos básicos. Para fazer isso, é necessário conhecer um pouco da terminologia relevante. As distribuições univariadas de inputs que estão sendo correlacionadas são chamadas, de modo geral, de
distribuições marginais ou, às vezes, simplesmente de margens. A
distribuição multivariada formada quando as distribuições são correlacionadas é chamada de distribuição conjunta.
Há um resultado matemático chave para cópulas, chamado Teorema
de Sklar. Ele afirma que qualquer distribuição conjunta possível pode
ser escrita na forma de uma combinação das distribuições marginais conhecidas e de um objeto chamado cópula. Podemos pensar na cópula como um tipo especial de distribuição conjunta com
distribuições marginais Uniformes(0; 1) . Isso significa que um padrão de cópula é uma versão destilada do padrão de correlação desejado, com as distribuições marginais removidas.
Por exemplo, aqui está um padrão de distribuição conjunta bidimensional:
Teoria e terminologia básica referente a cópulas
144 Definir Correlações
As distribuições marginais de x e y são uma distribuição normal e uma Weibull:
O padrão de cópula "sem margem" subjacente é semelhante a este:
Assim como há muitos tipos diferentes de distribuições univariadas, há muitos tipos diferentes de padrões de cópulas. Há três
classificações gerais de cópulas no @RISK.
Tipos de cópulas
Comandos de Modelo 145
Arquimedianas – estas cópulas simples são usadas para correlacionar
um número potencialmente grande de variáveis similares, como, por exemplo, os retornos de todas as ações de um setor específico. Elas são simples porque requerem um único parâmetro. Esse parâmetro controla o grau de correlação entre todas as variáveis. O @RISK permite usar três tipos de cópulas arquimedianas: Clayton, Gumbel e
Frank.
Clayton Gumbel Frank
Em sua forma normal, as cópulas arquimedianas podem modelar apernas correlações positivas. Contudo, há diversas versões "refletidas" das cópulas arquimedianas. No caso de cópulas bidimensionais, você pode refletir o eixo X, eixo Y ou ambos. (Não é possível refletir a cópula Frank nos dois eixos, devido à sua simetria. Isso resultaria em uma cópula idêntica.) Essas versões refletidas são identificadas pelo sufixo "RX" (reflexão no eixo X). "RY" (reflexão no eixo Y) ou "R" (reflexão nos dois eixos). Por exemplo, as possíveis reflexões da cópula Clayton bidimensional se parecem com o seguinte:
146 Definir Correlações
ClaytonRX ClaytonRY ClaytonR
No caso de cópulas tridimensionais ou de mais dimensões, são permitidas apenas reflexões "R", sendo que todos os eixos são refletidos. (Outras reflexões são matematicamente impossíveis.) Novamente, o tipo Frank não tem versão "R" devido à sua simetria.
Comandos de Modelo 147
Elípticas – há dois tipos de cópulas elípticas: Gaussiana e T. A cópula
gaussiana é, de fato, idêntica a uma matriz de correlação comum do @RISK. Portanto, ela necessita que seja especificada uma matriz completa de valores de correlação. A cópula T é semelhante, mas tem um parâmetro adicional que controla o grau de dependência de valores extremos.
Gaussianas
Empíricas – você pode basear uma cópula em um conjunto de dados
existente. Isso é semelhante a usar uma função RiskGeneral para criar uma distribuição de probabilidade univariada arbitrária. Dado um conjunto de dados, uma cópula empírica primeiro remove as margens dos dados. Em seguida, ela cria uma cópula que permite que você correlacione qualquer distribuição ao mesmo padrão. Ao especificar uma cópula empírica, você pode escolher se deseja que ela interpole valores. Se escolher que ela não interpole, você obterá apenas os mesmos valores (sem margens) presente no seu conjunto de dados. É mais comum permitir a interpolação. Em seguida, o @RISK usa estatísticas bayesianas para calcular valores entre os valores do seu conjunto de dados. Por exemplo, aqui estão os resultados de uma simulação com 10.000 iterações da mesma cópula empírica de 40 valores de dados. Sem interpolação, você obtém apenas 40 valores exclusivos; com interpolação, os valores são distribuídos ao redor desses 40 valores, mas não se restringem a eles:
Não interpolados Interpolados
Para correlacionar inputs a uma cópula, você seleciona duas ou mais distribuições e clica no comando Definir cópula no menu Definir
correlações. Isso abre a caixa de diálogo Definir cópula.
Como definir uma nova cópula
148 Definir Correlações
No topo desta caixa de diálogo há vários campos que você pode especificar:
• Nome. Especifica o nome da cópula. Esse nome será
associado ao intervalo de Excel no qual a cópula foi definida no seu modelo. Ele também será usado nas funções de propriedade RiskCopula inseridas nas suas distribuições de input do @RISK para identificar a cópula à qual elas estão anexadas. Este nome precisa ser um nome de intervalo válido do Excel.
• Local. Especifica o intervalo do Excel que a cópula ocupará. • Tipo de cópula. Especifica o tipo da cópula. Vários tipos de
cópulas estão disponíveis apenas para cópulas bidimensionais.
• Parâmetros da cópula. Dependendo do tipo de cópula especificado, haverá diversos parâmetros que podem ser usados para ajustar a cópula.
• Intervalo de origem empírico. Se você escolher uma cópula empírica, será necessário especificar o intervalo que contém os dados de origem.
Comandos de Modelo 149
A caixa de diálogo Definir cópula também contém uma grade de imagens. As imagens diagonais nesta janela mostram as distribuições marginais sendo correlacionadas, e as imagens fora da diagonal são gráficos de dispersão que mostram o padrão de correlação entre qualquer par delas. Observe que os itens abaixo da diagonal são sempre reflexões dos itens acima da diagonal. As cópulas empíricas (gaussianas e T) requerem que sejam especificados valores da matriz. Esses valores podem ser editados diretamente na grade de imagens. Após especificar o nome, o local e as propriedades da cópula, clique no botão OK para gravar a nova cópula na planilha modelo. Isso também adiciona as funções de propriedade RiskCopula às suas funções de input para "anexá-las" à cópula.
Por exemplo, as três distribuições uniformes nas células B2:B4 abaixo são correlacionadas usando uma cópula Clayton chamada "Cópula1":
"Cópula1" é o nome de um intervalo do Excel que referencia as células em amarelo (E3:E5). Em cada célula de input, uma função de
propriedade RISKCopula também foi adicionada para anexar o input à cópula. As funções de input das células B2:B4 são:
=RiskUniform(0;1;RiskCopula(Cópula1;1)) =RiskUniform(0;1;RiskCopula(Cópula1;2)) =RiskUniform(0;1;RiskCopula(Cópula1;3))
Observe coimo a função RiskCopula é quase idêntica à função
RiskCorrmat em sua operação, no que se refere a adicionar uma
matriz de correlação. O primeiro argumento especifica a cópula a ser usada; o segundo indica o índice do input na cópula.
Você pode fazer modificações básicas nas cópulas, como mudar parâmetros ou valores de matriz, diretamente na planilha modelo. Contudo, maiores alterações, como mudar o tipo, os anexos ou a dimensionalidade de uma cópula, precisam ser feitas por meio da caixa de diálogo Definir cópula.
Para exibir novamente a caixa de diálogo Definir cópula de uma cópula existente, selecione uma célula dentro da cópula existente ou um dos inputs anexados a ela; em seguida, escolha o item de menu Definir cópula. Agora então você pode fazer as mudanças na cópula.
Como as cópulas são adicionadas a modelos do Excel Como editar uma cópula existente
150 Definir Correlações
Às vezes você pode querer remover, modificar ou anexar novos inputs a uma cópula existente. Embora seja possível fazer isso
diretamente, modificando as funções de propriedade RiskCopula nas funções da planilha, é muito mais fácil usar o Editor de anexos na caixa de diálogo Definir cópula. Ele pode ser acessado por meio do ícone Editor de anexos no canto inferior esquerdo.
Ao ser aberto, ele muda a janela Definir cópula, fazendo com que ela apresente uma lista de todos os inputs anexados à cópula no
momento e um grupo de botões que podem ser usados para fazer mudanças nessa lista.
• Anexar mais inputs Permite anexar inputs adicionais à cópula. Após clicar neste botão, você será instruído a escolher as células de Excel que contêm os inputs; em seguida, serão apresentadas várias opções para controlar como elas serão adicionadas à lista.
• Desanexar inputs. Remove da lista de anexos os inputs atualmente selecionados.
• Redimensionar. Permite fazer mudanças na dimensionalidade da cópula.
• Instâncias. Da mesma forma que com as matrizes de
correlação, você pode ter várias instâncias independentes de uma mesma cópula. Use este botão para criar, excluir ou dar nomes às novas instâncias. Veja a seção Definir correlações deste manual para obter mais informações sobre instâncias.
Editor de anexos
Comandos de Modelo 151
A maneira mais fácil de excluir uma cópula do modelo é abrir a caixa de diálogo Definir cópula e clicar no botão Excluir, na parte inferior. Isso remove a definição da cópula, o nome associado definido e todas as funções de propriedade RiskCopula das distribuições de input anexadas.
As cópulas empíricas (gaussianas e T) requerem que sejam especificados valores de coeficientes. Da mesma forma que com as matrizes de correlação, estes coeficientes precisam ser válidos (semi- definitivos positivos) Veja mais informações na seção Definir
correlações deste manual.
Essa verificação de consistência é realizada automaticamente quando você fecha a janela Definir cópula, mas você também pode realizá-la clicando no botão Checar consistência da matriz.
Diferente das matrizes de correlação, não se pode especificar uma matriz de pesos e ajuste para os coeficientes de cópulas.
Como excluir uma cópula
Como checar consistência da matriz
152 Definir Correlações