Møter mellom initiativ og etablert praksis Argumentativ og relasjonell dynamikk
4.5 Metoder og data
4.5.4 Tekst og dokument
função JNj(x, y) = m−n X j=1 λjyj2, onde λj ∈ {1, −1} .
Desde um ponto de vista mais geral, usaremos também a seguinte.
Definição 2.3. Seja S um subconjunto fechado de uma variedade diferenciável M de di- mensão n. Uma folheação singular F de codimensão um sobre M, com conjunto singular S, é um par F = (S, F∗), onde F∗ é uma folheação regular de codimensão um em M − S.
2.3
Folheação Estável Fraca
No capítulo 1, vimos que existe e esta bem definida a variedade estável forte Wss(p) para
todo ponto p ∈ M(X). Mais ainda, a família {Wss(p) : p ∈ M (X)} pode ser estendida a
qualquer vizinhança compacta U de M(X) no seguinte sentido: Seguindo [HPS77], o fibrado Ess
M (X) se estende continuamente ao fibrado EUss obtendo a decomposição TUM = EUss⊕ EUc e
daqui obtemos uma família {Wss(p) : p ∈ U }, onde cada Wss(p) é tangente a Ess
U. Como U
é qualquer, podemos tomar M como sendo esta vizinhança e estender esta família de forma contínua até a família Wss = {Wss(p) : p ∈ M }, que chamamos de folheação estável forte
sobre M com a propriedade de que quaisquer dois pontos na mesma folha são assintóticos um ao outro.
Agora, saturamos cada folha Wss(p) através do fluxo e obtemos a folha
Ws(p) = [
t∈R
Wss(Xt(p)),
tangente a Ess
M ⊕ EMX e transversal a ∂M, chamada de folha fraca estável em p. A família
Ws= {Wss(p); p ∈ M }
é chamada de folheação estável fraca. Cada folha L ∈ Ws é folheada, naturalmente, por uma
folha unidimensional definida por Xt e por uma folha de Wss, as quais são transversais uma
da outra.
Diferente do caso Anosov, a folheação Ws tem folhas singulares, que são exatamente as
folhas Wss(σ) passando pelas singularidades de X.
Como o número de singularidades σ do campo X é finito, temos um número finito de folhas Wss(σ), denotemos por
S = [
σ∈Sing(X)
Wss(σ)
Claramente, Wss(p) ⊂ Ws(p) para todo p ∈ M (X), valendo esta mesma relação para a
22 FOLHEAÇÃO ASSOCIADA AO FLUXO SECCIONAL-ANOSOV 2.3 Definição 2.4. A família Ws associada a um fluxo Seccional-Anosov X de codimensão um,
constitui, no sentido da definição 2.3, uma folheação singular de M.
Na folheação estável fraca Wsassociada a um fluxo Seccional-Anosov de codimensão um,
temos:
1. As folhas regulares são as variedades estáveis fracas Ws(p) de dimensão n − 1, associ-
adas a cada ponto p ∈ M(X) \ Sing(X); As quais contem as variedades estáveis fortes Wss(p), cuja dimensão é n − 2.
2. As únicas folhas singulares são as variedades estáveis fortes Wss(σ) de dimensão n − 2,
associadas a cada singularidade σ ∈ Sing(X). Além disso, as folhas, Wss(σ) são folhas
propriamente mergulhadas em M, isto é Wss(σ) ∩ ∂M = ∂Wss(σ) ∩ ∂M .
Convêm fazer o seguinte esclarecimento:
a) Embora a variedade estável fraca associada a uma singularidade σ seja denotada por Ws(σ), esta variedade está associada à decomposição hiperbólica T
σM = Eσs⊕ Eσu.
b) A notação Wss(σ) refere-se tanto a folha singular como a variedade estável forte da
singularidade.
É bem conhecido que Wuu(σ) ⊂ M (X) e daqui segue, Wu(σ) ⊂ M (X), ([Rob95], Teo-
rema 6.2). No entanto, Wss(σ) 6⊂ M (X), uma vez que Wss(σ) ∩ M (X) = {σ} de acordo a
Proposição 1.20.
Proposição 2.5. Para todo p ∈ M (X) temos Wss(p) 6⊂ M (X).
Demonstração. A proposição é verdadeira para p ∈ Sing(X).
Consideremos p ∈ M(X) \ Sing(X). A existência da variedade estável local nos garante que Wss
ǫ (p) ⊂ M , para todo ǫ > 0 e para todo p ∈ M (X). No entanto, devido a Xt apontar
para o interior de M, existe t ∈ R tal que X−t[Wǫss(Xt(p))] 6⊂ M .
Caso venhamos a ter Wss(p) ⊂ M (X) para algum p ∈ M (X) \ Sing(X), devemos de ter
X−t[Wǫss(Xt(p))] ⊂ Xt(M ) ⊂ M para todo t ∈ R, contradição. A proposição esta provada.
Na classe de fluxos Anosov, dois pontos p e q pertencentes a mesma folha de Ws satisfa-
zem O(p) ∩ Wss(q) 6= ∅, e a partir desta propriedade se tem que as folhas de Ws são copias
imersas de Rn−1, S1× Rn−2 ou S1×Rˆ n−2, onde a operação ˆ× entende-se como o produto de
tal forma que S1×Rˆ n−2 é uma especie de faixa de Moebius, ver [BM10] e [Mat95]. Para fo-
lheações de codimensão um em variedades de dimensão três claramente, S1×Rˆ 1, representa
2.3 FOLHEAÇÃO ESTÁVEL FRACA 23 Proposição 2.6. Sejam p, q dois pontos quaisquer contidos na mesma folha de Ws. Então
O(p) ∩ Wss(q) 6= ∅.
Demonstração. Como cada folha L ∈ Ws é conexa, quaisquer dois pontos p, q ∈ L são
conectados por uma caminho contínuo ψ : [0, 1] −→ M, tal que ψ(0) = p, ψ(1) = q. A compacidade de ψ([0, 1]), fornece uma cobertura aberta finita {Ai}i∈J de ψ([0, 1]), onde
J = {1, 2, . . . , n} ⊂ N.
Denotamos por γ = α1β1α2β2. . . αnβn a curva poligonal, onde αi ⊂ Ai é um arco da
Xt-órbita, com ponto inicial (final) pi (qi respectivamente) e βi ⊂ Ai é um arco passando
por qi e contido em Wss(qi), tal que pi+1 ∈βi∩ ψ ⊂ Ai∩ Ai+1. Note que deste modo p1 = p
e a curva poligonal γ aproxima à curva ψ.
A prova será feita por indução sobre o número de elementos da cobertura {Ai}i∈J.
Se n = 1, então a proposição segue imediatamente. Suponha então n > 1 e que a proposição é verdadeira para n − 1. A curva γ nos fornece um ponto p2 ∈ ψ tal que
o arco da curva ψ ligando p2 a q é coberta por n − 1 abertos Ai. Agora, pela hipó-
tese de indução existe y ∈ O(p2) ∩ Wss(q). Note que y = Xr(p2) para algum r ∈ R e
Xr[Wss(p2)] = Wss(Xr(p2)) = Wss(y) = Wss(q).
Por outro lado, pela forma como foi definida γ, existe q1 ∈ O(p1) ∩ Wss(p2), logo
Xr(q1) ∈ XrO(p1) ∩ Wss(p2) = O(p1) ∩ Wss(q).
Portanto, existe z = Xr(q1) ∈ O(p) ∩ Wss(q), como desejávamos provar.
A seguinte proposição dá uma caracterização das folhas regulares de Ws, associada a flu-
xos Seccional-Anosov, cuja prova é uma adaptação dos argumentos encontradas em [BM10] e [Mat95].
Proposição 2.7. As folhas regulares de Ws associadas a um fluxo Seccional-Anosov de
codimensão um são cópias imersas de Rn−1, S1× Rn−2 ou S1×Rˆ n−2.
Demonstração. Pela Proposição 2.6, sobre cada folha L ∈ Ws temos O(p) ∩ Wss(q) 6= ∅,
para todo p, q ∈ L. Mostraremos que esta interseção se reduz a um único ponto. Para isto vamos considerar:
(a) L não contem órbitas periódicas.
Suponha que existam z1 6= z2 ∈ O(p) ∩ Wss(q), então Xt(z1) = z2 para algum t, de onde,
Wss(q) = Wss(z1) = Wss(z2) = Wss(Xt(z1)) = Xt(Wss(z1))
Assim, o difeomorfismo Xt restrito a Wss(z1), é tal que Xt(Wss(z1)) = Wss(z1). Logo,
Xt é uma contração, uma vez que kDXt(x)|Ess
x k ≤ Ke
−λt.
Por outro lado, Wss(z
1) é um espaço métrico completo com a métrica induzida pela
métrica Riemanniana de M, uma vez que Wss(z
1) é aberto em M . Agora, pelo teorema
de ponto fixo para contrações, existe um ponto fixo para Xt, isto dá origem a uma órbita
periódica em Wss(z
24 FOLHEAÇÃO ASSOCIADA AO FLUXO SECCIONAL-ANOSOV 2.3 (b) L contem órbita periódica.
Sejam z1 6= z2 ∈ O(p) ∩ Wss(q) de período T , logo
d(z1, z2) = d(XnT(z1), XnT(z2)) → 0 quando n → ∞
De onde z1 = z2.
O seguinte lema será útil no próximo capítulo, por tal motivo apresentamos sua prova. Lema 2.8. Para toda folha L ∈ Ws difeomorfa a S1× Rn−2 ou S1×Rˆ n−2 existe uma única
órbita periódica O tal que L = Ws(O).
Demonstração. De fato, suponha que p 6= q ∈ L sejam dois pontos periódicos de períodos T1 e T2 respectivamente, tais que O(p) 6= O(q) geram a folha L.
Como p, q são periódicos d(p, q) = d(XnT1(p), XnT2(q)), para todo n ∈ N. Além disso, por
definição temos limt→∞d(Xt(p), Xt(q)) = 0, para todo t ∈ R. Assim,
d(p, q) = lim
n→∞d(XnT1(p), XnT2(q)) = 0,
de onde p = q, absurdo. Isto conclui a prova do lema.
Em dimensão três, a folha singular Wss(σ), é um arco propriamente mergulhado de M ,
isto é, Wss(σ) ∩ ∂M = ∂Wss(σ) ∩ ∂M , esta afirmação segue do segundo item da Propo-
sição1.20, [BM10] e [MPP99]. Desta forma Wss(σ), em dimensão três, é uma folha compacta.
Proposição 2.9. As folhas singulares da folheação Ws de M são folhas compactas.
Demonstração. Como Wss(σ) é uma subvariedade propriamente mergulhada de M , vale
Wss(σ) ∩ ∂M = ∂Wss(σ) ∩ ∂M , pela Proposição 1.20. Logo,
∂Wss(σ) ⊂ ∂M e ∂Wss(σ) ⊂ Wss(σ)
Daqui Wss(σ) é fechado e como M é compacto, segue a conclusão.
Pela teoria de variedades invariantes, [HPS77], sabemos que para todo ponto q 6= σ em Wu(σ) existe uma única variedade estável forte Wss(q) e daqui pela extensão a M uma
única folha regular Ws(q).
Definição 2.10. Dizemos que uma folha singular Wss(σ) ∈ Ws é de tipo sela se σ é singu-
laridade hiperbólica não trivial e existem exatamente quatro folhas regulares L1, L2, L3, L4 ∈
Ws tais que Wss(σ) ⊂ ¯L
i, i = 1, 2, 3, 4. As duas primeiras chamadas de separatrizes estáveis
de Wss(σ) e as duas últimas chamadas de separatrizes instáveis de Wss(σ).
Capítulo 3
Resultados topológicos para 3-variedades
Neste capítulo, apresentamos os dois primeiros resultados deste trabalho, para fluxos Seccional-Anosov definidos em variedades de dimensão três.
Os principais resultados deste capítulo são:
Teorema (C). Se X é um fluxo Seccional-Anosov sobre uma 3-variedade compacta M , então toda órbita periódica de X representa um elemento de ordem infinita de π1(M \ K).
Teorema (D). Toda variedade compacta tridimensional M que suporta fluxo Seccional- Anosov transitivo X satisfaz as seguintes propriedades:
1. O número de singularidades de X é igual a −χ(M);
2. A característica de Euler, χ(·), de cada componente conexa de ∂M é não positiva. E, existe pelo menos uma componente conexa com característica de Euler negativa se e somente se X possui singularidades;
3. π1(M ) é infinito.
Mostramos também que sob hipoteses específicas, π1(M ) é de crescimento exponencial
e damos uma pequena clasificação de 3-variedades que suportam fluxos Seccional-Anosov transitivos com ou sem singularidades.
3.1
Preliminares
Consideramos um fluxo Seccional-Anosov X definido sobre uma variedade compacta, conexa, com bordo M de dimensão três.
A Definição 1.23 para singularidade de tipo Lorenz, nos garante, no caso de dimensão três, que o operador DXt(σ) possui três autovalores λ1, λ2, λ3, satisfazendo λ2 < λ3 < 0 <
−λ3 < λ1.
No conjunto invariante maximal M(X), todas as singularidades σ ∈ M(X) são de tipo Lorenz. Isto segue do seguinte resultado encontrado em [MPP99].
Teorema 3.1 (Teorema A, [MPP99]). Seja X fluxo Seccional-Anosov e M(X) seu con- junto invariante maximal. Então, M(X) tem pelos menos uma singularidade acumulada por órbitas regulares de X em M(X). Além disso, se verifica o seguinte para X ou -X: cada singularidade acumulada σ de M(X) é de tipo Lorenz e satisfaz M(X) ∩ Sing(X) = {σ}.
26 RESULTADOS TOPOLÓGICOS PARA 3-VARIEDADES 3.2 A partir deste resultado, segue que as variedades estáveis fortes Wss(σ) são transversais
a fronteira de M (Wss(σ) −⋔∂M ). De onde, Wss(σ) ∩ ∂M = ∂Wss(σ) ∩ ∂M .
Seguindo [BM10], o conjunto não errante de X nos fornece uma forma de verificar se uma singularidade é de tipo Lorenz.
Teorema 3.2. Seja X é um fluxo Seccional-Anosov definido sobre M . Se σ ∈ M (X) é uma singularidade de X e Ω(X) \ {σ} não é fechado, então σ é de tipo Lorenz.
Demonstração. Suponha, por contradição, que σ não é de tipo Lorenz. Segue da Definição
1.23 que Wss(σ) = Ws(σ).
Como Ω(X) \ {σ} não é fechado, existe uma sequencia pn → σ tal que pn∈ Ω(X) \ {σ},
para todo n. Por outro lado, como pn6= σ, podemos assumir que pn∈ Wu(σ) ∪ Ws(σ).
Suponha que exista p = pn ∈ Wu(σ)\{σ} próximo de σ, então existem sequencias qm → p
e tm → ∞ tal que Xtm(qm) → p. Logo, existe uma sequencia sm < tm tal que Xsm(qm) → q,
para algum q ∈ Ws(σ) \ {σ}. O ponto q existe desde que exista p
n∈ Ws(σ).
Note que q 6= σ, q ∈ M (X) e {q} não é hiperbólico, contradizendo a Proposição
1.20.
Uma condição suficiente ([BM10]) para uma singularidade σ ser de tipo Lorenz, vem dado pelo seguinte.
Teorema 3.3. Seja X um fluxo Seccional-Anosov definido sobre M . Então cada singulari- dade no fecho da variedade instável de uma órbita periódica de X é de tipo Lorenz.
Demonstração. Seja O a órbita periódica de X. Se σ ∈ Cl(Wu(O)) não é de tipo Lorenz,
então dim(Wss(σ)) = dim(Ws(σ)) = 1. De outro lado, σ /∈ O, de onde Cl(Wu(O)) contem
uma das duas componentes conexas de Ws(σ)\{σ}, de onde Ws(σ) ⊂ M (X), contradizendo
a Proposição 2.5
Na classe Anosov, todo fluxo Anosov definido em variedades fechadas tem órbita perió- dica. Este mesmo resultado vale para classe Seccional-Anosov em dimensão três.
Teorema 3.4 ([BM10], Teorema C). Cada fluxo Seccional-Anosov definido sobre uma 3- variedade compacta possui órbita periódica.
Corolário 3.5. O conjunto invariante maximal M (X) de um fluxo Seccional-Anosov tran- sitivo com singularidades, definido em uma 3-variedade compacta, é um conjunto atrator expansor.
Corolário 3.6. Seja X um fluxo Seccional-Anosov transitivo, definido sobre M . Então M (X) = Cl(Wu(O)) para alguma órbita periódica O de X.
Seja K a união das variedades estáveis fortes por cada singularidade σ.
K = [
σ∈Sing(X)
3.3 CRESCIMENTO EXPONENCIAL 27