Miljø, urbanisme og vern: Miljøbyprogrammet

Procuramos eliminar ou diminuir as conexões de sela entre as singularidades da folheação F∗_{, para isto, os lemas a seguir fornecem uma forma de eliminar as conexões de sela. Todos}

estes lemas, de cunho topológico, constituem uma extensão do teorema de Haefliger.

Teorema 5.15 (Haefliger). Seja F uma folheação de codimensão um de classe C2 _{de uma}

variedade M possuindo curva fechada transversal a F. Então, as folhas de F tem holonomia de um lado só.

5.1 FOLHEAÇÃO INDUZIDA NO DISCO D2 47

Definição 5.16 (Holonomia de um lado só). Seja F uma folheação de codimensão um, numa variedade M. Uma folha F de F tem holonomia de um lado só se existe uma curva c ⊂ F e x0 ∈ c cuja aplicação de holonomia f : Dom(f ) ⊂ Σ −→ Σ sobre um segmento

transversal Σ que intersecta c satisfaz as seguintes propriedades: 1. f não é a identidade Id em qualquer vizinhança de x0 em Σ.

2. f = Id em alguma das componentes de Σ \ {x0}.

Lema 5.17. As folhas regulares da folheação singular Ws _{associada a um fluxo Seccional-}

Anosov não tem holonomia de um lado só.

Demonstração. Pela Proposição 2.7, as folhas regulares de Ws _{são copias imersas de R}n−1

ou de S1 _{× R}n−2 _{ou faixas de Moebius S}1_×Rˆ n−2_{, que intersectam a fronteira ∂M de M.}

Pelo Lema 2.8as folhas do tipo S1_{× R}n−2_{ou S}1_×Rˆ n−2 _{possuem uma única órbita periódica}

geradora.

Seja F ∈ Ws _{uma folha regular. Se F é R}n−1 _{ela possui holonomia trivial e a prova esta}

concluída.

Se F é S1_×Rn−2_{ou S}1_×Rˆ n−2_{, existe uma única órbita periódica α que gera F . Considere}

uma seção transversal Σ a F no ponto x0 ∈ F e uma curva γ fechada, contendo x0, não

homotópica a uma constante em F .

Usando o fluxo X conseguimos uma homotopia entre γ e α. Ora, pela Proposição 1.20

α é uma órbita periódica hiperbólica. Isto significa que para qualquer seção transversal a F em um ponto de α a aplicação de holonomia fα é expansora, pois X é seccionalmente

expansor, em particular fα não tem holonomia de um lado só. Logo fγ não tem holonomia

de um lado só, para qualquer curva γ em F .

Lema 5.18. Seja G : D2 _{→ M uma aplicação contínua tal que a restrição G|∂D}2 _{é trans-}

versal à folheação (singular) estável Ws _{de codimensão um, definida sobre M. Então para}

cada ǫ > 0 e todo r ≥ 2 existe g : D2 _{→ M de classe C}r_{, ǫ-próxima de G na topologia C}r_,

satisfazendo:

1. g|∂D2 _{é transversal a W}s_,

2. Para toda singularidade p ∈ (D2_∩Ws_{), existe uma vizinhança trivializadora U de W}s _e

uma aplicação distinguida π : U → R tal que p é uma singularidade não degenerada de π ◦ g : g−1_{(U ) → R. Em particular, existe somente um número finito de singularidades}

sobre D2_,

3. Dados dois pontos pi, pj ∈ T , com i 6= j, então g(pi) e g(pj) estão contidos em folhas

diferentes. Em particular, é possível remover as conexões de sela entre pontos de tipo de T.

48 PROVA DO TEOREMA B 5.1 Lema 5.19. Seja Ws _{a folheação (singular) estável sobre M, associada a um fluxo Seccional-}

Anosov X de codimensão um, com singularidades σ ∈ Sing(X), todas de tipo Lorenz, e seja h : D2 _{→ M contínua tal que h(∂D}2_{) −⋔W}s_{. Então, existe um disco D homotópico a h(D}2_),

sem conexão de sela entre uma singularidade de tipo T e uma singularidade de tipo S. Demonstração. Consideremos p, q ∈ h(D2_{) duas singularidades, com p uma singularidade}

sela de tipo T e q uma singularidade sela de tipo S. Claramente q ∈ Wss_{(σ) para alguma}

singularidade σ ∈ Sing(X) e p ∈ L, onde L é uma folha regular separatriz de Wss_(σ).

Fixemos uma cobertura aberta Q1, Q2, . . . , Qk por cartas folheadas de h(D2), onde sem

perda de generalidade podemos supor que a carta φi _{: Q}

i → Dn−1× D1 é dada por

φi_{(x) = (φ}i

1(x), φi2(x), . . . , φin−1(x), πi(x))

onde πi : Qi → R é a projeção ao longo das placas.

Tomemos uma vizinhança trivializadora da folheação Ws _{contendo p, digamos V , con-}

forme a figura (?) abaixo. Assim, a tangencia entre h(D2_{) e W}s _{é vista na tangencia entre}

a placa Up de Ws que contem p e o disco h(D2). Podemos assumir que esta placa Up esta

contida em Ql, mais ainda podemos assumir que V ∩ Ql esta folheada por placas horizontais

conforme a figura 4.1.

Definimos Wi = h−1(Qi) de tal forma que W1, W2, . . . , Wk é uma cobertura aberta de

D2_{. Como CL(D}2_{) é compacto, existem coberturas (V}

i)ki=1 e (Ui)ki=1 de D2 por abertos tais

que

Ui ⊂ CL(Ui) ⊂ Vi ⊂ CL(Vi) ⊂ Wi

Logo, existe uma partição da unidade subordinada à cobertura Vi e sem perda de genera-

lidade podemos supor que h(Vj) ∩ Up = {p}, para algum j. Usando esta partição da unidade

conseguimos deformar de forma diferenciável o disco h(D2_{) ⊂ M , obtendo uma deformação}

isotópica de D2_.

Esta perturbação, permite deslocar o interior de h(D2_{) de tal forma que h(D}2_{) mantenha}

a tangencia com Ws_{, porem não mais com a placa U}

p e sim com uma outra placa Up∗ ∈ L,/

consequentemente não há mais tangencia com a folha L.

Com isto, conseguimos um disco D homotópico a h(D2_{), onde temos o ponto de tan-}

gencia p∗ _{no lugar de p, de tal forma que mantemos o número de tangencias em D idêntico}

ao número de tangencias em h(D2_{), e desta vez p}∗ _{e q não possuem conexão de sela, pois a}

folha Lp∗ não é mais separatriz de Wss(σ).

Portanto, o lema esta demonstrado.

Antes de prosseguir com nosso propósito de eliminar ou diminuir as conexões de selas entre as singularidades que aparecem no disco, lembramos que a interseção do disco D2 _com

5.1 FOLHEAÇÃO INDUZIDA NO DISCO D2 49

A conexão de sela entre duas singularidades de tipo S no disco D2_{, aparece porque:}

• Existe uma folha regular L, separatriz comum de Wss_(σ

i) e de Wss(σj), para σi, σj ∈

Sing(X), que intersecta transversalmente o disco D2_{. Dito de outra forma, tal cone-}

xão aparece, porque um dos ramos da variedade instável Wu_(σ

i) da singularidade σi,

Wu

∗(σi) digamos, entra na variedade estável Ws(σj) da singularidade σj, isto é,

W∗u(σi) ⊂ [W s_(σ

j) \ Wss(σj)].

• A interseção do disco D2 _{com as separatrizes de W}ss_{(σ) induzem curvas contidas sobre}

as separatrizes que retratam a conexão de sela.

Em ambos os casos a curva sobre D2 _{que realiza a conexão de sela entre duas singula-}

ridades de tipo S é homotópica a variedade instável Wu_{(σ) da singularidade σ que define}

Wss_{(σ). A partir daqui, temos:}

1. Se σi 6= σj, obtemos dois pontos qi ∈ h(D2) ∩ Wss(σi) e qj ∈ h(D2) ∩ Wss(σj) de tipo

S, de tal forma que a conexão de sela entre q1 e q2 é dada por uma curva β homotópica

a Wu ∗(σi).

2. Se σi = σj = σ, obtemos pontos qi, qj ∈ h(D2) ∩ Wss(σ), singularidades de tipo S em

D2_{. Então temos:}

(a) Se qi = qj, existe uma autoconexão de sela e neste caso o disco D2 intersecta L

em uma curva α homotópica a Wu ∗(σi).

(b) Se qi 6= qj, existe uma conexão de sela β sobre D2, formada pela concatenação de

curvas distintas βi contidas em separatrizes diferentes da folha singular Wss(σ).

L

W

ss

(σ

_i

)

W

ss

(σ

_j

)

W

ss

(σ

_i

)

q

₁

q

₂

q

₂

q

₁

W

u

(σ

_j

)

D

2

σ

j Wu_(σ j)

Figura 5.5: Singularidades tipo S e suas conexões de sela

Nesta última situação, quando qi, qj ∈ h(D2) ∩ Wss(σ), temos condições de evitar a cone-

50 PROVA DO TEOREMA B 5.1 Lema 5.20. Seja Ws _{a folheação (singular) estável sobre M, associada a um fluxo Seccional-}

Anosov X de codimensão um, com singularidades σ ∈ Sing(X), todas de tipo Lorenz, e seja h : D2 _{→ M contínua tal que h(∂D}2_{) −⋔W}s_{. Então, existe um disco D homotópico a h(D}2_),

sem conexão de sela entre duas singularidades de tipo S, provenientes da mesma variedade singular Wss_(σ).

Demonstração. Suponha que as singularidades provenientes da interseção com Wss_{(σ) são}

{q1, q2, . . . , ql}.

Sejam qi, qj ∈ D2 ∩ Wss(σ), singularidades de tipo S, provenientes da interseção de D2

com a folha singular Wss_{(σ), com conexão de sela entre elas.}

Sejam L1, L2 as separatrizes instáveis de Wss(σ), as quais contem a variedade instável

Wu_{(σ) e sejam L}

3, L4 as separatrizes estáveis de Wss(σ).

Sabemos que dim(h(D2_{)) = 2, dim(W}ss_{(σ)) = n − 2 e dim(L}

m) = n − 1 para m =

1, 2, 3, 4. Logo, por argumentos de dimensão, a interseção h(D2_{) ∩ W}ss_{(σ)) é um ponto e a}

interseção h(D2_{) ∩ L}

m, é uma curva. Além disso, Wss(σ) separa Ws(σ) e Ws(σ) separa M .

Pelas observações feitas antes do enunciado deste lema, podemos supor que a conexão de sela esta contida na folha L1. Seja α ⊂ D2∩ L1 a conexão de sela entre as singularidades

qi e qj e seja N ⊂ Wss(σ) a curva ligando as duas singularidades qi e qj. Observamos que

α ∪ N bordam um região, que junto com a fronteira definem um conjunto compacto A.

(2) (3) q1 q2 q 1 q₂ q₂ q1 Wss(σ) Wss(σ) (4) Wss(σ) Wss_(σ) (1)

Figura 5.6: Em dim=3, eliminação conexões de sela de singularidades tipo S

Como cada σ ∈ Sing(X) é de tipo Lorenz, podemos, após uma mudança de coordena- das se necessário, assumir que o sistema de coordenadas (x1, x2, . . . , xn) em M é tal que

x1 corresponde a Wu(σ), (x2, x3, . . . , xn−1) corresponde às coordenadas da folha singular

Wss_{(σ) e x}

n corresponde a coordenada complementar de Wss(σ) tal que (x2, x3, . . . , xn) são

coordenadas de Ws_(σ).

Sejam q′

i e q′j dois pontos em α ∩ L2 e N′ a curva ligando q′i e qj′ homotópica a N

5.2 PROVA DO TEOREMA B 51

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