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Neste ponto é apresentada uma visão que permite encarar os conceitos matemáticos com base nas noções de conceito imagem e conceito definição. O seu principal impulsionador é Shlomo Vinner que apresenta uma distinção bastante nítida entre as duas noções, preocupando-se essencialmente com a construção de conceitos matemáticos mais abstractos

que são normalmente ensinados no ensino secundário e superior. David Tall é outro autor que tem uma colaboração estreita com Vinner relativamente a esta temática, embora considere que a distinção entre os dois conceitos anteriores não deve ser feita de modo exclusivo, mas antes que o conceito definição deve ser considerado como uma parcela do conceito imagem global que existe na nossa mente.

A formação dos conceitos é um dos tópicos de maior importância na psicologia da aprendizagem e segundo Vinner (1983) há duas dificuldades principais para lidar com esta questão: uma prende-se com a noção do próprio conceito e a outra com a determinação de quando é que um conceito está correctamente formado na mente de alguém. Um modelo explicativo deste processo cognitivo tem por base as noções de conceito imagem e conceito definição.

Quando vemos ou ouvimos o nome de um conceito ele produz um estímulo, suscitando algo na nossa memória. Normalmente não se trata de uma definição no sentido usual, mesmo que este possua uma definição, mas sim aquilo que Vinner designa por conceito imagem (Tall e Vinner, 1981; Vinner, 1983, 1991). O conceito imagem é assim qualquer coisa não verbal associado na nossa mente ao nome do conceito. Ele pode ser uma representação visual interna do conceito, no caso destes ter representações visuais ou uma colecção de impressões e experiências. As representações visuais, as impressões e experiências associadas ao nome do conceito podem ser traduzidas por formas verbais. No entanto é de salientar que estas formas verbais podem não ser a primeira coisa a ser evocada na nossa mente. Por exemplo ao ouvir a palavra função podemos recordar a expressão y=f(x) ou visualizar o gráfico de uma função, ou podemos pensar em funções específicas como y=x2, y=cos(x), etc. Deveremos ter em consideração que apenas podemos falar de conceito imagem em relação a um indivíduo específico, embora o mesmo indivíduo possa reagir de forma diferente a um mesmo termo em situações diferentes. Tall e Vinner (1981) usaram o termo conceito imagem evocado (evoked concept image) para descrever a parte da memória recordada num dado contexto. O termo conceito imagem é assim usado para descrever a estrutura cognitiva total associada ao conceito e que inclui todas as imagens mentais4, todas as propriedades e todos os processos que lhe estão associados. Ele é construído ao longo dos anos através de experiências de todos os tipos, mudando quando os indivíduos são confrontados com novos estímulos. Por conceito definição entende-se a definição verbal que explica o conceito de modo exacto e de uma forma não circular (Vinner, 1983). Esta visão do conceito definição parece ter por base a

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Entende-se por imagens mentais o conjunto de todas as imagens que alguma vez foram associadas com o conceito, na mente da pessoa (Vinner, 1983).

abordagem dos conceitos matemáticos que são aprendidos no final do ensino secundário e no ensino superior, onde é possível apresentar uma definição matemática formal para o conceito. É esta definição que é referida por Vinner como fazendo parte do conceito definição, sendo todas as outras representações associadas ao conceito englobadas no conceito imagem. Desta forma assume-se que para adquirir um conceito precisamos formar um conceito imagem do mesmo. O conhecimento da definição não nos garante a compreensão do conceito e para isso precisamos de ter um conceito imagem (Vinner, 1991). Para alguns conceitos possuímos em simultâneo um conceito definição e um conceito imagem, mas em muitos outros isso não acontece. Por exemplo os conceitos de casa ou laranja não foram adquiridos por meio de uma definição e, no entanto, temos conceitos imagem bastante claros deste tipo de objectos. Alguns conceitos podem, no entanto, ser introduzidos por meio da definição, ajudando esta a formar o conceito imagem. Por exemplo se pretendermos explicar a uma criança o que é uma floresta podemos dizer que se trata de "uma zona onde podemos encontrar muitas árvores juntas", podendo a criança formar um conceito imagem a partir desta definição. No entanto, a partir do momento em que o conceito imagem se forme, a definição pode permanecer inactiva ou mesmo ser esquecida quando manejamos esse conceito. Segundo Vinner (1991) podemos imaginar um andaime onde o papel da definição aparece como suporte para a construção do conceito imagem, que uma vez construído pode dispensar o conceito definição.

Ao utilizar esta formulação Vinner (1983) distingue dois tipos de aprendizagem: informal e formal. Defende que na aprendizagem informal: a) para lidar com os conceitos precisamos de conceitos imagem e não conceitos definição, b) os conceitos definição (quando o conceito é introduzido por meio da definição) podem permanecer inactivos ou mesmo serem esquecidos. Ao pensarmos, o que utilizamos na maior parte das vezes é o conceito imagem. Na aprendizagem formal a situação é diferente e o conceito definição aparece com bastante incidência nos vários níveis de ensino. Estas definições podem ser-nos ensinadas ou construídas por nós próprios quando tentamos explicar o conceito a alguém. As definições feitas por nós são o resultado da nossa experiência com o conceito, podendo ser consideradas como a descrição do nosso conceito imagem. Por sua vez as definições que nos são ensinadas fazem parte de um sistema geral que nem sempre nos é familiar (por exemplo os conceitos matemáticos). Por vezes as definições são introduzidas antes de termos algum conceito imagem esperando-se que a aprendizagem futura preencha esta lacuna. No entanto, se não precisamos das definições, a razão para continuarmos a utilizá-las pode estar na crença de que elas ajudam a formar os conceitos imagem e, por vezes, podem ser úteis para levar a cabo algumas tarefas cognitivas (Vinner, 1983).

A partir da especificação do conceito definição e do conceito imagem, Vinner elabora um modelo explicativo da construção do conhecimento matemático baseado nas relações que se estabelecem entre ambos (Vinner, 1983, 1991). Assim, para cada conceito, assume a existência de duas células diferentes (não necessariamente biológicas) na estrutura cognitiva. Uma célula é para a definição ou definições do conceito e a outra para o conceito imagem. Qualquer destas células, ou mesmo ambas, podem estar vazias. Podemos considerar que a célula do conceito imagem está vazia enquanto nenhum significado for associado com o nome do conceito. Isto acontece em muitas situações onde o conceito definição é memorizado sem que tenha significado para a pessoa. O modelo prevê (figura 2.2) que deve haver uma interacção entre estas duas células embora elas se possam constituir de forma independente.

Figura 2.2. Acção recíproca entre conceito imagem e conceito definição.

Para explicar esta interdependência Vinner utiliza um exemplo baseado no sistema de eixos coordenados. Um aluno pode ter um conceito imagem da noção de sistema coordenado que resulta do facto de ter visto muitos gráficos em várias situações. De acordo com este conceito imagem, os dois eixos do sistema coordenado são perpendiculares entre si. Posteriormente, o professor pode definir sistema coordenado como quaisquer duas rectas que se intersectam. Como resultado desta definição podem acontecer três cenários: (1) o conceito imagem pode ser mudado para incluir sistemas coordenados, cujos eixos, por vezes, não formam ângulos rectos (esta é uma reconstrução satisfatória); (2) o conceito imagem pode permanecer tal como estava. A célula da definição poderá conter a definição do professor por algum tempo, mas esta definição poderá ser esquecida ou distorcida com o passar do tempo, e quando o aluno for questionado para definir um sistema coordenado poderá falar de eixos que formam um ângulo recto (este é o caso em que a definição formal não foi bem compreendida); (3) ambas as células podem permanecer tal como estavam. Quando o aluno for questionado para definir um sistema coordenado pode repetir a definição do professor, mas em todas as outras situações pode pensar num sistema coordenado com a configuração de dois eixos perpendiculares.

O mesmo se passa quando um conceito é introduzido por meio da sua definição. A célula do conceito imagem que está inicialmente vazia começa a ser preenchida com os exemplos e

explicações que vão sendo dadas. No entanto, ela não reflecte necessariamente todos os aspectos do conceito definição e os cenários acima referidos podem ocorrer nesta situação.

Outro exemplo que pode ilustrar o cenário 2 acima descrito ocorre quando os alunos que estudam o moderno conceito de função afirmam que uma função é uma qualquer correspondência entre dois conjuntos que faz corresponder a cada elemento do primeiro um e um só elemento do segundo. Os alunos podem, no entanto, não admitir que no caso particular da correspondência que atribui a cada número x diferente de zero o seu quadrado, e no caso de x ser zero, atribui o valor -1, seja uma função. Nesta situação o conceito imagem assenta essencialmente em situações em que a correspondência é dada por uma expressão ou obedece a algum padrão que já é familiar ao aluno.

Parece claro que para Vinner o processo de formação dos conceitos assenta numa acção recíproca entre o conceito definição e o conceito imagem. Segundo ele, professores dos vários níveis de ensino, sobretudo no ensino secundário e superior, esperam que o conceito imagem se forme por meio do conceito definição e seja completamente controlado por este (figura 2.3). Este seria o tipo de pensamento que Vinner considera desejável (Vinner, 1983).

Figura 2.3. Crescimento cognitivo de um conceito formal.

O processo de formação dos conceitos não é único e depende em grande parte do desempenho dos indivíduos. Neste processo Vinner preocupa-se com a forma como o modelo pode integrar algumas actividades matemáticas, como a resolução de problemas ou o desempenho em determinadas tarefas, essencialmente nas que envolvem construção e identificação dos conceitos. Ao colocarmos ao aluno uma tarefa cognitiva as células do conceito imagem e do conceito definição devem ser activadas para proporcionar uma resposta a essa tarefa. Esta actividade pode desencadear várias acções entre as células. Uma dessas acções pode traduzir-se por uma consulta da célula do conceito definição seguida de uma acção recíproca entre ambas (figura 2.4) com o objectivo de proporcionar uma resposta à tarefa.

Figura 2.4. Acção recíproca entre definição e imagem.

Outra acção pode resultar apenas numa consulta da célula do conceito definição (figura 2.5).

Figura 2.5. Dedução formal pura.

Neste caso o conceito imagem não tem qualquer interferência na resposta e podemos considerar que se trata de um processo cognitivo que assenta numa dedução formal pura. Uma terceira acção que pode ser desencadeada está relacionada com uma consulta da célula do conceito imagem seguida da do conceito definição (figura 2.6). Neste caso estamos perante uma dedução que segue um pensamento intuitivo.

Figura 2.6. Dedução que segue o pensamento intuitivo.

Em nenhum dos casos anteriores é tomada uma decisão sem antes ser consultado o conceito definição.

Vinner (1983) considera que os modelos implicitamente assumidos pelos professores podem ser descritos pelas figuras 2.4 a 2.6. No entanto, argumenta que eles não reflectem a prática uma vez que não temos forma de forçar a estrutura cognitiva a utilizar as definições

Saída

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Conceito definição Conceito imagem

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Conceito definição Conceito imagem

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quer para formar os conceitos imagem, quer para manejar uma tarefa cognitiva. Algumas definições são demasiado complicadas de tratar, não ajudando à criação de conceitos imagem na mente dos alunos. Por outro lado, há definições que podem fazer sentido num dado momento, apoiadas por exemplos específicos, mas a partir da altura em que os alunos formam o seu conceito imagem as definições podem ser esquecidas ou permanecer inactivas.

Assim o modelo para o processo que realmente ocorre na prática baseia-se apenas na consulta do conceito imagem seguido de uma resposta com base neste (figura 2.7) o que proporciona uma resposta intuitiva.

Figura 2.7. Resposta intuitiva.

Numa resposta intuitiva a célula do conceito definição acaba por não ser consultada no processo da resolução de problemas, mesmo que não esteja vazia. Esta tradição baseia-se nos hábitos de todos os dias e no facto de, muitas vezes, ser levada a cabo com sucesso. Para contrariar esta tendência devermos recorrer a problemas não rotineiros onde o conceito imagem seja insuficiente para levar a cabo a resolução dos mesmos.

Outra questão a ter em conta quando trabalhamos com estes conceitos prende-se com a noção de conceito imagem temporário. Segundo Vinner (1983), em tarefas intelectuais específicas, por vezes, apenas partes do conceito imagem ou do conceito definição são activadas. Desta forma o conceito imagem ou o conceito definição não podem ser determinados pela simples observação de um comportamento específico, podendo, no entanto, falar-se daquela parte da célula que foi activada. Por exemplo, se pedirmos a alguém para desenhar um quadrilátero tal que ao traçar uma recta seja possível dividi-lo em quatro triângulos, é possível que ela apenas pense em quadriláteros simples, onde os lados não se intersectem. Ao pensar desta forma não vai ser possível dar uma resposta satisfatória à questão, pelo que se pode considerar que o seu conceito imagem temporário não inclui os quadriláteros que apresentam formas mais complexas, embora o seu conceito imagem permanente os possa incluir.

Há ainda um outro fenómeno que pode ocorrer quando consideramos o modelo de Vinner, designado por compartimentação (Vinner, Hershkowitz e Bruckeimer, 1981; Vinner e

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Dreyfus, 1989). Este fenómeno ocorre quando a pessoa tem dois esquemas diferentes na sua estrutura cognitiva que são potencialmente conflituosos. Por exemplo um aluno pode referir a definição formal de função quando a mesma lhe é pedida, mas, quando está envolvido em tarefas de construção ou identificação, o seu comportamento pode ser baseado no seu conceito imagem de fórmula ou de gráfico. Este comportamento inconsistente pode ser considerado um caso específico de compartimentação. Pode acontecer que, por vezes, uma dada situação não estimule o esquema mais relevante acabando por ser activado um outro menos relevante. Por exemplo, os alunos podem usar a definição formal de função e aceitar que certas correspondências descontínuas são funções, mas quando se pede uma justificação, não usam a definição, argumentando apenas que se trata de uma função descontínua (Vinner e Dreyfus, 1989).

Dada a ênfase que é colocada na definição, nomeadamente no ensino de conceitos matemáticos avançados, Vinner (1991) considera que devemos ter em conta algumas regras didácticas: a) evitar, aos alunos, conflitos cognitivos desnecessários e b) iniciar os conflitos cognitivos apenas quando for necessário motivar os alunos para um estado intelectual mais elevado. (Isto deve ser feito apenas quando a possibilidade de alcançar um estado intelectual mais elevado seja razoavelmente alta). Segundo ele uma das metas do ensino deve ser a mudança dos hábitos de pensamento do modo quotidiano (menos técnico) para o modo técnico. Os conceitos matemáticos devem ser adquiridos pelo primeiro modo devendo a formação dos conceitos começar com vários exemplos e contra exemplos pelo meio dos quais o conceito imagem poderá ser formado. No caso de os alunos estarem a entrar no estudo de conceitos mais avançados a definição deve ser introduzida como o último critério das várias tarefas matemáticas. Estas definições devem ser discutidas e os alunos treinados para as usar correctamente e apenas devem ser utilizadas se as tarefas não puderem ser resolvidas correctamente referindo-se somente aos conceitos imagem. Devem, no entanto, ser tidos em conta os conflitos entre o conceito imagem e a definição formal.

Os termos conceito definição e conceito imagem são centrais na explicação do processo cognitivo da formação dos conceitos para Vinner. Tall também recorre a estes termos, nomeadamente em 1981 quando se viu confrontado com uma grande quantidade de dados recolhidos junto de alunos universitários, procurando uma explicação que fosse para além de uma abordagem puramente matemática. Há, no entanto, algumas diferenças na forma como os termos são abordados por Tall o que revela uma concepção dos objectos matemáticos diferente da apresentada por Vinner. Segundo o primeiro (Tall, 2003), para Vinner, o conceito imagem é uma experiência mental do investigador ao procurar analisar o que acontece quando

os alunos se focam de formas diferentes nas imagens e nas definições, podendo induzir-se que para ele a mente está separada do cérebro. É neste contexto que ele define a existência de células diferentes na estrutura cognitiva que servem de base ao seu modelo de formação dos conceitos. Para Tall a mente é pensada como a forma como o cérebro trabalha, pelo que ela é uma parte indivisível da estrutura do cérebro. Assim, em vez de uma separação entre conceito definição e conceito imagem, como proposto por Vinner, Tall considera que o conceito definição não é mais do que uma parcela do conceito imagem total que existe na nossa mente. Assim, para ele, o conceito imagem descreve a estrutura cognitiva total que é associada ao conceito, formulação muito próxima da explicitada anteriormente, enquanto que o conceito definição adquire um estatuto que não se cinge apenas à definição formal tal como ela é concebida pelos matemáticos. Tall remete a sua abordagem para um texto de 1981 onde ele e Vinner referem o conceito definição como sendo a forma das palavras usadas para especificar o conceito (Tall e Vinner, 1981), mas onde este pode ser aprendido pelo indivíduo de uma forma rotineira ou de um modo mais significante, sendo assim relacionado em maior ou menor grau com o conceito global em estudo. Pode ainda ser uma reconstrução pessoal da definição por parte do indivíduo, assumindo a forma das palavras que ele usa para transmitir a explicação do seu conceito imagem evocado. Quer o conceito definição seja dado ao indivíduo quer seja construído por ele próprio pode variar ao longo do tempo. Desta forma o conceito definição pessoal pode diferir do conceito definição formal cuja característica principal é a de ser aceite pela comunidade de matemáticos. Assim, para cada indivíduo, o conceito definição gera o seu próprio conceito imagem, pelo que Tall e Vinner consideram ser possível falar de imagem do conceito definição e, portanto, este pode ser considerado uma parte do conceito imagem. Para alguns indivíduos ele pode não existir ou estar vazio. Para outros ele pode ou não ser coerentemente relacionado com as outras partes do conceito imagem. Por exemplo, o conceito definição de uma função em Matemática pode considerado como “uma relação entre dois conjuntos A e B em que cada elemento de A está relacionado com um e um só elemento de B”. Mas os alunos que estudaram funções podem ou não lembrar-se do conceito definição e o conceito imagem pode incluir muitos outros aspectos, como por exemplo que a função pode ser dada por uma regra ou fórmula, que em diferentes partes do domínio podem aparecer várias fórmulas, que a função pode ser representada pelo seu gráfico ou tabela de valores, etc. Estes vários aspectos podem fazer ou não parte do conceito imagem do aluno.

A abordagem de Vinner e Tall são essencialmente conduzidas por preocupações de ordem pedagógica, pelo que admitem que a formação do conceito imagem pode também ser fruto do tipo de ensino ministrado. Por exemplo, o professor pode dar a definição formal e

trabalhar com ela durante algum tempo, mas posteriormente passar bastante tempo com exemplos que são sempre dados por fórmulas. Neste caso o conceito imagem pode desenvolver uma noção mais restrita, apenas envolvendo fórmulas, enquanto que o conceito definição permanece inactivo na mente do aluno. Ele pode operar de forma satisfatória com esta noção restrita e pode até mesmo dar respostas com o conceito definição formal correcto enquanto que o seu conceito imagem permanece inapropriado.

Nos conceitos, em geral, é possível encontrar partes do conceito imagem que entram em conflito com o conceito definição formal. Estes conflitos podem ou não ser conscientes e podem causar dificuldades ao lidar com conceitos mais formais. A parte do conceito imagem