System analysis for saturated conditions

Com o objectivo de caracterizar o conceito definição e conceito imagem dos alunos do 10º e 11º anos Vinner (1983, 1991) utilizou um questionário que foi administrado a 147 alunos das escolas de Jerusalém. Os alunos do 10º ano fizeram o teste alguns meses depois de terem estudado o tema e os do 11º tinham estudo o tema no ano anterior. Todos os inquiridos eram considerados bons alunos O conceito foi ensinado a todos os alunos usando a abordagem moderna, onde uma função é uma correspondência entre dois conjuntos que faz corresponder a cada elemento do primeiro conjunto um e um só elemento do segundo.

O inquérito era constituído por duas partes. Na primeira, a partir da pergunta “na tua opinião o que é uma função”, Vinner estabeleceu quatro categorias representativas dos principais conceitos definição invocados pelos alunos. Na primeira categoria 57% dos alunos usaram a definição do livro por vezes misturada com elementos do seu conceito imagem. Muitos repetiram a definição formal usando palavras suas, o que se revelou bastante impreciso ou até mesmo incorrecto do ponto de vista matemático. Na segunda categoria foram consideradas as respostas que admitiam que uma função era uma regra de correspondência e nela foram incluídos cerca de 14% dos alunos. Nenhum destes alunos considerava a possibilidade de existir uma correspondência arbitrária uma vez que as regras não podem ser arbitrárias. Elas devem obedecer a uma determinada lógica ou razão matemática. Na terceira categoria foram colocados cerca de 14% dos alunos que admitiram que uma função é um termo algébrico, uma fórmula, uma equação ou uma manipulação algébrica. Os restantes ou não responderam ou usaram alguns elementos do seu conceito imagem para explicitar a definição. Por exemplo, a função foi identificada pelos alunos com o gráfico, com os símbolos “y= f(x)” ou com diagramas de Venn.

Outra parte do inquérito era dedicado a questões do tipo “existe uma função em que cada número diferente de zero corresponde ao seu quadrado e a zero corresponde -1?”, sendo também dado um gráfico onde se pretendia saber se era possível arranjar uma função para o

representar. Com base nesta segunda parte do inquérito, Vinner tentou caracterizar os principais conceitos imagem destes alunos sobre funções. Assim, entre um terço e dois terços dos alunos consideraram que uma função deve ser dada por uma regra. Se forem dadas duas regras para dois domínios disjuntos estaremos perante duas funções. Se a correspondência for arbitrária, os alunos consideram que poderemos estar perante uma infinidade de funções onde cada número tem a sua própria regra de correspondência. Para alguns destes alunos é possível que uma função seja dada por várias regras relacionadas com domínios disjuntos, desde que esses domínios sejam partes da recta real ou intervalos. Mas, se na correspondência há apenas um ponto que é excepção (como no exemplo citado acima), ela poderá já não ser considerada como função. Há outros alunos ainda que consideram que, se as correspondências não são dadas por uma regra algébrica, não são funções, a menos que a comunidade dos matemáticos as considerem como tal, dando-lhe um nome ou uma notação especial. Cerca de dois quintos dos alunos consideram que o gráfico de uma função deve ser regular, simétrico, persistente ou crescer e decrescer de forma razoável. Por fim há um grupo de alunos que considera que uma função é uma correspondência um a um. Vinner considera que esta abordagem resulta da distorção da definição do livro, como resultado daquilo que ele chama de uma tendência implícita para a simetria: se para um x do domínio há apenas um y no contradomínio, então o contrário também deve ser verdadeiro.

Outro estudo realizado por Vinner e Dreyfus (1989) tem o mesmo objectivo que o acima referido: fazer uma caracterização dos principais conceitos definição e imagem dos alunos do 1º ano de duas instituições de ensino superior de Israel. Neste estudo participaram 271 alunos e 36 futuros professores aos quais foi administrado um questionário semelhante ao do estudo anterior. As categorias que foram formadas correspondem em grande parte a um refinamento das que tinham sido descritas por Vinner (1983). Assim os principais conceitos definição de função encontrados são:

1) Uma correspondência. Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos que fazem corresponder a cada elemento do primeiro conjunto exactamente um elemento do segundo.

2) Uma relação de dependência. Uma função é uma relação de dependência entre duas variáveis (y depende de x).

3) Uma regra. Uma função é uma regra da qual se espera que tenha uma certa regularidade, enquanto que a correspondência podia ser arbitrária.

4) Uma operação. Uma função é uma operação ou uma manipulação. Nós agimos num dado número, geralmente por meio de operações algébricas, para obter a sua imagem.

5) Uma fórmula. Uma função é uma fórmula, uma expressão algébrica ou uma equação. 6) Uma representação. Uma função é identificada, ainda que sem significado, com uma das suas representações gráfica ou simbólica.

A partir do mesmo questionário (Vinner e Dreyfus, 1989) foi ainda possível identificar as seguintes propriedades relativas a conceitos imagem de função:

1) Univocidade. Se a correspondência atribui exactamente um valor a cada elemento do seu domínio, então ela é uma função. Caso contrário ela não é uma função.

2) Descontinuidade. Se o gráfico tem uma falha a correspondência é descontínua num ponto do seu domínio.

3) Divisão do domínio. O domínio da correspondência divide-se em dois subdomínios, em cada um dos quais possui uma regra de correspondência diferente. Como consequência o gráfico deve mudar o seu carácter de um subdomínio para o outro. 4) Ponto excepcional. Existe um ponto de excepção para uma dada correspondência, isto é, um ponto para o qual a regra geral de correspondência não serve.

Foi ainda possível observar, a partir da análise dos inquéritos, o fenómeno de compartimentação. Cerca de 56% dos inquiridos que usaram a definição formal para explicar o que era uma função, não usaram a mesma definição quando interpretaram os gráficos dados ou quando tentaram justificar se determinadas correspondências eram ou não funções, mostrando mesmo nalguns casos comportamentos inconsistentes entre ambas as respostas.