Adaptive Modulation and Coding Strategies

O conceito de tangente aparece normalmente na geometria, por exemplo a tangente a uma circunferência, e é depois estendido ao estudo das funções onde é possível relacionar a tangente ao gráfico com o conceito de derivada. O conceito imagem dos alunos vai sendo construído com base nos vários esquemas que eles vão manipulando e visualizando e por vezes assume como características principais o facto de a tangente poder apenas encontrar a curva num único ponto e não poder atravessar a curva nesse ponto. Este conceito imagem pode levar os alunos a desenhar linhas que não representam a tangente ao gráfico de uma

função num ponto dado. Para verificar esta conjectura, Vinner (1991) recorreu a um questionário que foi realizado por 278 alunos de Ciências do 1º ano da universidade no curso de Análise. O questionário era constituído por duas questões. Na primeira eram dados os três gráficos abaixo (figura 3.5) e pedia-se para indicarem quantas tangentes era possível traçar pelo ponto P (nenhuma, uma, duas, três ou infinitas).

Figura 3.5. Que gráficos têm tangente(s) em P?

Na segunda questão era pedido para indicarem a definição de tangente que eles se lembrassem do curso ou no caso de não se lembrarem de nenhuma para tentarem dar uma definição sua. Os gráficos da figura acima correspondem às funções y= x3, y= | x| e

   ≥ < = 0 ; 0 ; 0 2 x x x

y mas as expressões analíticas não foram dadas aos alunos. A definição de tangente que foi dada nas aulas englobou duas vertentes: quer como o limite das secantes ou como uma linha que tem um ponto comum com o gráfico da função e cujo declive é a derivada nesse ponto particular.

A partir da análise das respostas à segunda questão Vinner verificou que apenas 41% dos alunos deu uma das definições da aula, enquanto que 35% deu descrições que se ajustam ao caso da tangente a uma circunferência. Estes últimos argumentaram que a tangente toca a curva mas não a intersecta, que encontra a curva mas não a corta ou que tem um ponto comum com a curva mas está de um lado da curva. Os restantes deram definições sem significado.

Os principais conceitos imagem foram identificados a partir das respostas à primeira questão. O quadro 3.2, abaixo, resume o desempenho dos alunos nesta tarefa. Segundo Vinner há alguns desenhos que têm um interesse especial. Por exemplo em 1B, 2B e 3B os alunos tentam forçar o gráfico por forma a encontrar a imagem formada pela tangente a uma circunferência. 1B e 3B parecem ser “tangentes genéricas”clássicas geradas pelo seu conceito imagem, 2D é uma generalização na qual a “tangente” balança numa extremidade. Em 1C, 2D (o último desenho) e 3C encontra-se outro fenómeno onde parece que o antigo conceito imagem (a tangente a uma circunferência) e o novo conceito imagem (construído pela definição dada nas aulas) agem em simultâneo na mente do aluno.

Quadro 3.2. Distribuição do desempenho dos alunos por gráfico. A B C D E 1 Resposta certa 18% Tangente genérica

38% Duas tangentes _6% Outro desenho _10% Sem desenho _28%

2

Resposta certa

8% Duas tangentes _18% Infinitas tangentes _18%

Tangente “equilibrada” 14% Sem desenho 42% 3 Resposta certa 12% Tangente genérica 33% Duas tangentes 16% Infinitas tangentes 17% Outro desenho 4% Sem desenho 27% Nota: N= 278.

Em 2C e 3D os alunos recorrem a infinitas tangentes aparentemente por usarem a imagem da tangente à circunferência mas ao mesmo tempo reconhecendo que não há razão para preferir uma “tangente” de entre as várias que parece ser possível traçar. Contrariamente a estes alunos há aqueles que no primeiro desenho de 2D e 3B preferem algum tipo de simetria e traçam apenas uma tangente ou então partem do princípio que deve haver apenas uma e portanto recorrem à simetria como forma de resolver o problema.

Num outro estudo realizado por Orton (1980, citado por Artigue, 1991), com alunos do ensino secundário e superior, pretendia-se caracterizar, entre outros, o conceito de derivada destes alunos. Todos eles tinham escolhido estudar matemática e já tinham tido pelo menos um curso de Análise. Orton realizou entrevistas a 110 alunos e procurou classificar os erros dos alunos em três categorias: erros estruturais, erros de execução e erros arbitrários. Os erros estruturais são aqueles que surgem de alguma falha ao apreciar as relações envolvidas no problema ou ao agarrar algum princípio essencial para a solução; os erros arbitrários são aqueles em que o sujeito se comporta arbitrariamente e falha tendo em conta os constrangimentos impostos pelo que foi dado; os erros de execução são os envolvidos na falha

da realização de manipulações embora os princípios envolvidos possam ter sido bem compreendidos.

A partir desta abordagem, alguns dos principais resultados encontrados foram:

a) Um razoável domínio dos algoritmos algébricos em termos do cálculo de derivadas, sobretudo para funções mais simples,

b) Uma dificuldade bastante significativa na conceptualização dos processos de limite subjacentes à noção de derivada. Por exemplo quando se pedia para explicarem o que acontece na figura 3.6 às secantes PQ à curva desenhada à medida que Q tendia para _n P, 43 alunos foram incapazes de ver que o processo conduzia à tangente à curva, mesmo depois de lhes serem dadas pistas bastante sugestivas. Aparentemente a secante foi ignorada pelos alunos e focaram a sua atenção apenas na corda PQ, levando à obtenção de respostas do tipo “a linha torna-se mais pequena” ou “ela torna-se um ponto”

Figura 3.6. Secantes a “tender para” a tangente.

c) A dificuldade de usar representações gráficas relevantes. Os alunos conseguem normalmente calcular derivadas de polinómios correctamente, tendo sucesso em tarefas do tipo: encontrar o declive da tangente à curva _y=_x3−3_x2+4 _quando

3 =

x . Mas quando se trata de calcular as mesmas taxas de crescimento a partir dos gráficos de funções de complexidade similar, muitos fazem erros confundindo taxa de crescimento média e instantânea ou simplesmente dando o valor da função no ponto em questão. No contexto gráfico a expressão da derivada como um limite dificilmente foi compreendida,

d) O significado mínimo atribuído à utilização dos símbolos. Por exemplo quando foi pedido para explicar o significado de dx, dy,

dx dy

, 71 alunos deram respostas incorrectas para a taxa de crescimento, argumentando que era a “taxa de variação num ponto” ou um “pequeno incremento na taxa de variação”, enquanto que 25 interpretaram dx como o limite de xδ quando xδ tende para 0.

Estes resultados mostram que há de facto uma predominância na realização de algoritmos e uma fraca capacidade de manipular o conceito de derivada, resultando numa abordagem do conceito essencialmente processual e desprovida de significado.

Em resumo, a aprendizagem de conceitos matemáticos avançados revela-se uma actividade bastante complexa, que não assenta apenas numa lógica de desenvolvimento sequencial onde os conceitos vão sendo construídos seguindo um modelo bem determinado. Das teorias apresentadas no capítulo anterior parece ser possível encontrar algumas sequências de desenvolvimento, mas que não devem ser analisadas apenas como tal. Elas englobam sempre outros tipos de relações que devem ser tidos em conta quando se procura compreender a forma como um determinado conceito é interiorizado e reificado pelo indivíduo. Dos dados disponibilizados pelas investigações analisadas neste capítulo é possível verificar que há uma grande dificuldade na compreensão de alguns conceitos matemáticos avançados, que se analisados à luz das teorias anteriormente referidas nos podem ajudar a encontrar as razões de tais dificuldades e conduzir a possíveis abordagens menos problemáticas. A procura de conceitos imagem bastante diversificados e a elaboração de conceitos definição que tenham em conta essa diversidade, a manipulação de procedimentos e processos com o objectivo de conduzir à sua reificação como objectos, ou o desenvolvimento de um pensamento proceptual como forma de tornar mais fácil a manipulação e a abstracção dos objectos matemáticos podem ajudar-nos a ultrapassar algumas das dificuldades referidas nos vários estudos. Podemos ainda retirar das várias teorias algumas propostas pedagógicas que nos permitam ultrapassar algumas das dificuldades de compreensão manifestadas pelos alunos nos referidos estudos.

É ainda possível constatar que muitos dos estudos descritos neste capítulo têm por base questionários que foram aplicados aos alunos, sendo as questões de resposta aberta por vezes insuficientes para poder inferir os processos que estão subjacentes às concepções que os alunos apresentam sobre os conceitos em estudo. Neste sentido, procura-se, nos próximos capítulos, apresentar uma abordagem de índole essencialmente qualitativa de modo a poder caracterizar de forma mais pormenorizada os conceitos imagem de alguns alunos do ensino superior no que respeita à construção de conceitos matemáticos avançados.

Capítulo IV

Metodologia

Este capítulo tem por objectivo principal descrever e justificar as opções metodológicas subjacentes a esta investigação. Numa primeira parte são consideradas algumas das potencialidades da abordagem qualitativa enquanto metodologia de investigação, as suas principais características e alguns dos métodos de recolha de dados que lhe podem ser associados. Seguidamente é apresentado o contexto educativo onde se pretende caracterizar o processo de ensino que foi implementado bem como uma caracterização dos alunos que compõem a amostra utilizada no estudo. Esta caracterização comporta o seu percurso académico em termos de avaliação no final do ensino secundário, das notas de acesso ao ensino superior e da sua classificação na disciplina no final do semestre lectivo. Posteriormente são referidos os procedimentos do estudo caracterizando as técnicas utilizadas na recolha dos dados, nomeadamente a observação de aulas, a realização das entrevistas e recolha de documentos produzidos pelos alunos.

A escolha de uma metodologia de investigação qualitativa, integrando uma componente de experiência de ensino, tem por base os objectivos que presidem ao estudo. Pretendendo-se aceder aos conceitos imagem que os alunos manifestam relativamente aos conceitos matemáticos, aos processos e objectos que estão presentes na formação desses mesmos conceitos e ao tipo de pensamento proceptual dos alunos, é necessário recorrer a uma fonte natural de dados obtida através de um contexto que incorpore ensino, que seja essencialmente descritiva e onde seja possível observar os processos e compreender os modos de pensar dos alunos. Estas características fazem parte integrante daquilo que se entende por metodologia de investigação qualitativa, como se descreve a seguir.