Para entender as ideias desenvolvidas nesta seção, considere os dados da Tabela 6.2, que se referem ao investimento interno privado bruto dos Estados Unidos (IIPB) e ao produto interno bruto (PIB), em bilhões e em milhões de dólares (encadeados) de 2000.
Suponha que, na regressão do IIPB contra o PIB, um pesquisador use dados em bilhões de dólares, enquanto outro expressa as mesmas variáveis em milhões de dólares. Os resultados da regressão serão iguais nos dois casos? E, se não forem, que resultados deveriam ser usados? Re- sumindo, as unidades em que o regressando e o(s) regressor(es) são medidos influenciam os resul- tados da regressão? Em caso afirmativo, qual o caminho sensato a seguir para escolher as unidades de medida na análise de regressão? Para responder a essas perguntas, procederemos siste- maticamente. Seja:
(6.2.1)
em que Y = IIPB e X = PIB. Definindo:
(6.2.2) (6.2.3)
em que w1 e w2 são constantes denominadas fatores de escala; w1 pode ser igual ou diferente de w2.
As Equações (6.2.2) e (6.2.3) deixam claro que Yi* e Xi* são Yi e Xi com outra escala. Se Yi e Xi
forem medidos em bilhões de dólares e desejarmos expressá-los em milhões de dólares, teremos
Yi*= 1.000 Yie Xi* = 1.000 Xi; em que w1= w2= 1.000.
Considere agora a regressão que utiliza as variáveis Yi* e Xi*:
(6.2.4)
TABELA 6.2
Investimento interno privado bruto e PIB dos Estados Unidos, 1990–2005 (bilhões de dólares encadeados de 2000, exceto quando notificado; dados trimestrais ajustadas sazonalmente)
Fonte: Economic Report of
the President, Tabela B-2, p.328
Ano IIPBBL IIPBM PIBB PIBM
1990 886,6 886.600,0 7.112,5 7.112.500,0 1991 829,1 829.100,0 7.100,5 7.100.500,0 1992 878,3 878.300,0 7.336,6 7.336.600,0 1993 953,5 953.500,0 7.532,7 7.532.700,0 1994 1.042,3 1.042.300,0 7.835,5 7.835.500,0 1995 1.109,6 1.109.600,0 8.031,7 8.031.700,0 1996 1.209,2 1.209.200,0 8.328,9 8.328.900,0 1997 1.320,6 1.320.600,0 8.703,5 8.703.500,0 1998 1.455,0 1.455.000,0 9.066,9 9.066.900,0 1999 1.576,3 1.576.300,0 9.470,3 9.470.300,0 2000 1.679,0 1.679.000,0 9.817,0 9.817.000,0 2001 1.629,4 1.629.400,0 9.890,7 9.890.700,0 2002 1.544,6 1.544.600,0 10.048,8 10.048.800,0 2003 1.596,9 1.596.900,0 10.301,0 10.301.000,0 2004 1.713,9 1.713.900,0 10.703,5 10.703.500,0 2005 1.842,0 1.842.000,0 11.048,6 11.048.600,0
Nota: IIPBBL = investimento interno privado bruto, em bilhões de dólares de 2000.
IIPBM = investimento interno privado bruto, em milhões de dólares de 2000. PIBB = produto interno bruto, em bilhões de dólares de 2000.
Capítulo 6 Extensões do modelo de regressão linear de duas variáveis 173
Queremos encontrar a relação entre os seguintes pares: 1. Ø1 e Ø1* 2. Ø2 e Ø2* 3. var( Ø1) e var( Ø1*) 4. var( Ø2) e var( Ø2*) 5. æ 2 e æ*2 6. r2 xy e r2x*y*
Da teoria dos mínimos quadrados, sabemos (veja o Capítulo 3) que:
(6.2.5) (6.2.6) (6.2.7) (6.2.8) (6.2.9)
Aplicando o método dos MQO à Equação (6.2.4), obtemos, de forma similar:
(6.2.10) (6.2.11) (6.2.12) (6.2.13) (6.2.14)
Com base nesses resultados, é fácil estabelecer as relações entre os dois conjuntos de estimativas dos parâmetros. Tudo o que precisamos é recordar as seguintes definições: Y*
i = w1Yi (ou y*i = w1yi );
X*
i= w2Xi (ou x*i= w2xi); u^*i= w1u^i; Y–*= w1Y–; e X–*= w2 –
X. Usando essas definições, é fácil verificar que:
(6.2.15) (6.2.16) (6.2.17) (6.2.18)
174 Parte Um Modelos de regressão com equação única
(6.2.19) (6.2.20)
Esses resultados deixam claro que, dados os resultados da regressão baseados em uma escala de medida, é possível derivar resultados baseados em outra escala de medida uma vez que os fatores de escala, os w, sejam conhecidos. Entretanto, na prática, deve-se escolher as unidades de medida com bom senso; não faz muito sentido trabalhar com todos aqueles zeros ao expressar números em milhões ou bilhões de dólares.
Os resultados de (6.2.15) a (6.2.20) permitem deduzir com facilidade alguns casos especiais. Por exemplo, se w1= w2, isto é, se os fatores de escala são idênticos, o coeficiente angular e seu erro pa-
drão não são afetados quando passamos da escala (Yi , Xi) para (Yi*, Xi*), o que deveria ser óbvio.
Contudo, o intercepto e seu erro padrão são ambos multiplicados por w1. Mas, se a escala de X não é
alterada (w2= 1) e a escala de Y for alterada por um fator w1, o coeficiente angular e o do intercepto
e seus respectivos erros padrão são multiplicados pelo mesmo fator w1. Por fim, se a escala de Y per-
manece inalterada (w2= 1) enquanto a escala de X é alterada pelo fator w2, o coeficiente angular e seu
erro padrão são multiplicados pelo fator (1/ w2), mas o coeficiente do intercepto e seu erro padrão não
são afetados.
No entanto, é preciso observar que a transformação da escala (Y, X) para a (Y*, X*) não afeta as
propriedades dos estimadores de MQO examinadas nos capítulos anteriores.
EXEMPLO 6.2
Relação entre IIPB e PIB nos Estados Unidos, 1990-2005
Para reforçarmos os resultados teóricos que acabamos de apresentar, voltemos aos dados da Tabela 6.2 e examinemos os seguintes resultados (os números entre parênteses são os erros padrão estimados).
As duas variáveis estão expressas em bilhões de dólares.
(6.2.21)
As duas variáveis expressas em milhões de dólares:
.
. (6.2.22)
Note que o intercepto, assim como o erro padrão, são 1.000 vezes o valor correspondente na regressão (6.2.21) (note que w1 = 1.000 quando passamos de bilhões para milhões de
dólares), mas o coeficiente angular e seu erro padrão não se alteram, conforme a teoria. IIPB em bilhões de dólares e PIB em milhões de dólares:
(6.2.23)
Como esperado, o coeficiente angular, assim como o erro padrão, é 1/1.000 seu valor na Equação (6.2.21), já que somente a escala de X, ou PIB foi alterada.
IIPB em milhões de dólares e PIB em bilhões:
(6.2.24)
Observe mais uma vez que tanto o intercepto quanto o coeficiente angular e seus respectivos erros padrão são 1.000 vezes seus valores na Equação (6.2.21), de acordo com nossos resul- tados teóricos.
Capítulo 6 Extensões do modelo de regressão linear de duas variáveis 175
EXEMPLO 6.2
(Continuação)
Note que em todas as regressões apresentadas, o valor de r 2 permaneceu o mesmo, o
que não surpreende, porque esse valor não varia com alterações na unidade de medida, uma vez que é um número puro ou sem dimensão.
Uma palavra sobre a interpretação
Como o coeficiente angular Ø2 é apenas a taxa de variação, ele é medido nas unidades da razão:
Unidades da variável dependente Unidades da variável esplanatória
Na regressão (6.2.21), a interpretação do coeficiente angular 0,2535 dá-se da seguinte maneira: se o PIB varia em uma unidade, de um bilhão de dólares, o investimento interno privado bruto vai variar, em média, 0,2535 bilhão de dólares. Na regressão (6.2.23), uma variação de uma unidade no PIB, de um milhão de dólares, levará a uma variação média de 0,0002535 bilhão de dólares no IIPB. Obvia- mente, os dois resultados são idênticos quanto aos efeitos do PIB sobre o IIPB; apenas estão expres- sos em unidades de medida diferentes.