Como medir a taxa de crescimento: o modelo log-lin
Economistas, homens de negócios e governos frequentemente estão interessados em conhecer a taxa de crescimento de algumas variáveis econômicas como a população, o PNB, a oferta de moeda, o emprego, a produtividade e o déficit comercial.
Suponha que queiramos conhecer a taxa de crescimento das despesas pessoais com serviços para os dados fornecidos na Tabela 6.3. Denotemos por Yt as despesas reais com serviços no período t e
por Y0 o valor inicial dessas despesas (o valor ao fim do quarto trimestre de 2002). Recordando a
conhecida fórmula dos juros compostos, temos:
180 Parte Um Modelos de regressão com equação única
em que r é a taxa de crescimento composta ou geométrica (ao longo do tempo) de Y. Usando o loga- ritmo natural da Equação (6.6.1), podemos escrever:
(6.6.2)
Agora, considerando
(6.6.3) (6.6.4)
podemos escrever a Equação (6.6.2) como:
(6.6.5)
Incluindo o termo de erro na Equação (6.6.5), obtemos:14
(6.6.6)
Esse modelo é semelhante a qualquer outro de regressão linear no sentido de os parâmetros Ø1 e
Ø2 serem lineares. A única diferença é que o regressando é o logaritmo de Y e o regressor é o “tempo”,
que assumirá os valores l, 2, 3 etc.
Modelos como a Equação (6.6.6) são chamados de modelos semilogarítmicos, porque apenas uma das variáveis (neste caso, o regressando) está em forma logarítmica. Para fins de descrição, um modelo em que o regressando aparece em forma logarítmica é chamado de modelo log-lin. Mais adiante, veremos um modelo em que o regressando é linear, mas o(s) regressor(es) é (são) logarítmico(s), e é conhecido como modelo lin-log.
Antes de apresentarmos os resultados da regressão, examinemos as propriedades do modelo (6.6.5). Neste, o coeficiente angular mede a variação proporcional ou relativa constante em Y para uma dada variação absoluta no valor do regressor (neste caso, a variável t), isto é,15
(6.6.7)
Se multiplicarmos a variação relativa de Y por 100, a Equação (6.6.7) nos dará a variação percen- tual ou a taxa de crescimento de Y para uma variação absoluta em X, o regressor. Isto é, 100 multipli- cado por Ø2 nos dá a taxa de crescimento de Y; 100 multiplicado por Ø2 é conhecido na literatura
específica como a semielasticidade de Y em relação a X. (Pergunta: para obter a elasticidade, o que devemos fazer?)16 EXEMPLO 6.4 A taxa de crescimento das despesas com serviços
Para ilustrar o modelo de crescimento (6.6.6), considere os dados relativos a despesas com serviços da Tabela 6.3. Os resultados da regressão são os seguintes:
(6.6.8)
Nota: DESPSERV representa os gastos com serviços e * indica que o valor p é extremamente
pequeno.
(Continua)
14 Acrescentamos o termo de erro, porque a fórmula dos juros compostos não funciona com precisão. Na Seção
6.8 explicaremos por que se acrescenta o termo de erro após a transformação logarítmica.
15 Usando cálculo diferencial, podemos demonstrar que Ø
2 = d(In Y)/dX = (1/Y)(dY/dX) = (dY/Y)/dX, que não é outra
coisa senão a Eq+uação (6.6.7). Para pequenas variações em Y e X, esta relação pode ser aproximada por:
Nota: aqui, X = t.
Capítulo 6 Extensões do modelo de regressão linear de duas variáveis 181
EXEMPLO 6.4
(Continuação)
A interpretação da Equação (6.6.8), em um período que vai do 1° trimestre de 2003 ao 3° trimestre de 2006, implica que as despesas com serviços aumentaram a uma taxa (trimes- tral) de 0,705%, aproximadamente igual a uma taxa de crescimento anual de 2,82%. Como 8,3226 = log de DESPSERV no início do período estudado, ao tomarmos seu antilogaritmo, obtemos 4.115,96 (bilhões de $) como o valor inicial de DESPSERV (o valor ao fim do quarto trimestre de 2003). A linha de regressão da Equação (6.6.8) está esboçada na Fi gura 6.4.
FIGURA 6.4 0 8,32 2 4 6 Tempo 8 10 12 14 16 8,34 8,36
Log das despesas com serviço
s
8,40 8,44 8,42
8,38
Taxas de crescimento instantâneas versus taxas compostas
O coeficiente da variável de tendência do modelo de crescimento (6.6.6), Ø2, dá a taxa de crescimento instantânea (em um ponto do tempo), não a composta (ao longo de um período de tempo). Mas esta
última pode ser obtida com facilidade a partir da Equação (6.6.4) tomando-se o antilogaritmo do Ø2
estimado, subtraindo-o de um e multiplicando a diferença por 100. Em nosso exemplo, o coeficiente angular estimado é 0,00705. Portanto, [antilog (0,00705) - 1] = 0,00708 ou 0,708%. Logo, neste exemplo, a taxa de crescimento composta das despesas com serviços foi de cerca de 0,708% por trimestre, que é ligeiramente mais alta do que a de crescimento instantânea de 0,705%. A diferença obviamente se deve ao efeito da composição.
Modelo de tendência linear
Em vez de estimarem o modelo (6.6.6), os pesquisadores às ve zes estimam o seguinte modelo:
(6.6.9)
Ou seja, em vez de fazerem a regressão do log de Y contra o tempo, fazem a regressão de Y contra o tempo, em que Y é o regressando em questão. Esse modelo é conhecido como modelo de tendência
linear, e a variável de tempo t é conhecida como variável de tendência. Se o coeficiente angular na
Equação (6.6.9) for positivo, Y apresentará uma tendência crescente; se for negativo, Y terá tendên-
cia decrescente.
No caso das despesas com serviços que vimos anteriormente, o resultado do ajustamento do mo- delo de tendência linear (6.6.9) é o seguinte:
(6.6.10)
Em contraste com a Equação (6.6.8), a interpretação da Equação (6.6.10) é a seguinte: entre o primeiro trimestre de 2003 e o terceiro trimestre de 2006, as despesas com serviços aumentaram em média à taxa absoluta (atenção: não taxa relativa) de cerca de $30 bilhões por trimestre. As despesas com
serviços registraram uma tendência crescente.
A escolha entre um modelo de taxa de crescimento (6.6.8) e modelo de tendência linear (6.6.10) dependerá de estarmos interessados na variação relativa ou absoluta das despesas com serviços,
182 Parte Um Modelos de regressão com equação única
embora, para fins de comparação, em geral, é a variação relativa que apresenta maior relevância. Note que não podemos comparar os valores de r2 dos modelos (6.6.8) e (6.6.10), porque os regressandos
dos dois modelos são diferentes. Mostraremos no Capítulo 7 como comparar os r2 de modelos como
(6.6.8) e (6.6.10).
O modelo lin-log
Diferentemente do modelo de crescimento que acabamos de discutir, no qual estávamos interessados em conhecer o crescimento percentual de Y para uma variação absoluta de X, suponha agora que quei- ramos conhecer a variação absoluta de Y dada uma variação percentual de X. Um modelo que poderia atingir esse propósito seria:
(6.6.11)
Para fins descritivos, denominamos esse tipo de modelo lin-log. Vamos, agora, interpretar o coeficiente angular Ø217. Como sempre,
A segunda expressão segue-se do fato de que uma variação no logaritmo de um número é uma varia- ção relativa.
Simbolicamente, temos:
(6.6.12)
em que, como de costume, 1 denota uma pequena variação. A Equação (6.6.12) pode ser escrita de modo equivalente como:
(6.6.13)
Essa equação indica que a variação absoluta de Y (= 1Y ) é igual ao coeficiente angular multiplicado pela variação relativa em X. Se esta última for multiplicada por 100, a Equação (6.6.13) fornecerá a variação absoluta de Y para uma variação percentual de X. Se (1X/X) variar em 0,01 unidade (ou 1%), a varia- ção absoluta de Y será de 0,01(Ø2); se, em uma aplicação, obtermos Ø2 = 500, a variação absoluta de Y
será de (0,01) (500) = 5,0. Portanto, quando estimar a regressão (6.6.11) por meio dos MQO, não se esqueça de multiplicar o coeficiente angular estimado por 0,01, ou de dividi-lo por 100. Se você não tiver
isso em mente, a interpretação dos resultados de uma aplicação será tremendamente equivocada.
A questão é: quando um modelo lin-log, como a Equação (6.6.11), é útil? Uma aplicação interes- sante são os chamados modelos de despesas de Engel, assim denominados em homenagem ao esta- tístico alemão Ernst Engel (1821-1896). (Veja o Exercício 6.10.) Engel postulou que “o total das despesas com alimentação tende a aumentar em progressão aritmética enquanto as despesas totais aumentam em progressão geométrica”.18
17 Novamente, usando o cálculo diferencial, temos:
portanto,
18 Veja MUKHERJEE, Chandan; WHITE, Howard; WUYTS, Marc. Econometrics and data analisys for developing
countries. Londres: Routledge, 1998. p. 158. Esta citação é atribuída a WORKING, H. “Statistical laws of family expenditure.” Journal of lhe American Slatistical Associalion, 1943. v. 38, p. 43-56.
Capítulo 6 Extensões do modelo de regressão linear de duas variáveis 183
EXEMPLO 6.5 Para ilustrar o modelo lin-log, voltemos às despesas com ali mentação na Índia, o Exemplo 3.2. Lá ajustamos um modelo linear nas variáveis como primeira aproximação. Mas, se repre- sentarmos os dados graficamente, obteremos o diagrama de dispersão da Figura 6.5. Como a figura sugere, as despesas com alimentação aumentam mais lentamente do que as despe- sas totais, o que parece confirmar a lei de Engel. Os resultados do ajustamento de um mode- lo lin-log a estes dados são os seguintes:
(6.6.14)
Nota: * denota um valor p extremamente pequeno.
FIGURA 6.5
300 100
400 500 600
Despesas totais (em rúpias) 700 800 900 200
300
Despesas com alimentação (em rúpias
)
500 700 600
400
Interpretado como anteriormente, o coeficiente angular de cerca de 257 significa que um aumento de 1%, em média, nas despesas totais leva a um aumento de cerca de 2,57 rupias nas despesas com alimentos das 55 famílias incluídas na amostra. (Nota: dividimos o coefi- ciente estimado por 100.)
Antes de prosseguir, note que, se você quiser calcular o coeficiente de elasticidade dos modelos log-lin ou lin-log, deve fazê-lo com base no coeficiente de elasticidade apresentado anteriormente, ou seja,
Evidentemente, uma vez conhecida a forma funcional de um mo delo, podemos calcular as elasticidades aplicando a definição anterior. (Mais adiante, a Tabela 6.6 resumirá os coeficien- tes de elasti cidade dos vários modelos.)
Deve-se ressaltar que, às vezes, a transformação logarítmica é usada para reduzir a heterocedasti- cidade assim como a assimetria (skewness). (Veja o Capítulo 11.) Uma característica comum de muitas variáveis econômicas é que elas são assimétricas positivas (por exemplo, a distribuição de tamanho das empresas ou a distribuição da renda ou da riqueza) e heterocedásticas. Uma transformação loga- rítmica de tais variáveis reduz tanto a assimetria quanto a heterocedasticidade. É por esse motivo que economistas do trabalho usam logaritmos dos salários na regressão dos salários, por exemplo, contra escolaridade, medida em anos de estudo.