Os modelos do tipo a seguir são conhecidos como recíprocos:
184 Parte Um Modelos de regressão com equação única
Embora este modelo seja não linear na variável X, porque entra de modo inverso ou recíproco, o modelo é linear em Ø1 e Ø2 e, portanto, é um modelo de regressão linear.19
Este modelo apresenta os seguintes aspectos: quando X aumenta indefinidamente, o termo Ø2(1/X)
tende a zero (nota: Ø2 é uma constante) e Y aproxima-se do valor-limite ou assintótico Ø1.
Portanto, modelos como (6.7.1) trazem embutido um valor assíntota ou limite que a variável dependente assumirá quando o valor da variável X aumentar indefinidamente.20
A Figura 6.6 apresenta algumas das formas prováveis da curva correspondente à Equação (6.7.1).
EXEMPLO 6.6 Para ilustrar a Figura 6.6a, considere os dados da Tabela 6.4. São dados de corte transver- sal relativos à mortalidade infantil e algumas outras variáveis em 64 países. Por enquanto, vamos examinar as variáveis mortalidade infantil (MI) e PNB per capita, que estão representa- das graficamente na Figura 6.7.
Como se vê, essa figura assemelha-se à Figura 6.6a: à medida que o PNB per capita au- menta, seria de esperar uma redução da mortalidade infantil, porque as pessoas podem ter maiores gastos com saúde, mantendo tudo o mais constante. Mas essa relação não é uma linha reta: quando o PNB per capita aumenta, inicialmente há uma redução substancial da mortalidade infantil, mas a queda ameniza-se com o aumento contínuo do PNB per capita.
FIGURA 6.7 Relação entre mortalidade infantil e PNB per capita em 64 países. 0 0 5000 10000 PNB 15000 20000 100 200 Mortalidade infantil e PNB MI 300 400 (Continua) 19 Se considerarmos X*
i = (1/xi ), então a Equação (6.7.1) é linear nos parâmetros, bem como as variáveis Yi e Xi*.
20 O coeficiente angular de (6.7.1) é: dY/dX = - Ø
2(1/X2), implicando que, se Ø2 for positivo, o coeficiente angular
é sempre negativo; e se Ø2 for negativo, o coeficiente angular será sempre positivo. Veja as Figuras 6.6a e 6.6c,
respectivamente. FIGURA 6.6 O modelo recíproco: Y DØ1CØ2 1 X . Y X 0 b2>0 β β1>0 β 1 (a) β Y X 0 b2<0 β b1 (c) β Y X 0 b2>0 β b1<0 β –b1 (b) β –bβ2 b1 β
Capítulo 6 Extensões do modelo de regressão linear de duas variáveis 185 EXEMPLO 6.6 (Continuação) TABELA 6.4 Fecundidade e outras informações para 64 países
Nota: MI = mortalidade infantil: número anual de óbitos de crianças menores de 5 anos por 1.000 nascidos vivos.
TAF = taxa de alfabetização feminina (em %). PNBpc = PNB per capita em 1980.
TFT = taxa de fecundidade total, 1980-1985: número médio de filhos por mulher, com base em taxas de fecundidade segundo a idade, em determinado ano.
Fonte: MUKHERJEE, Chandan; WHITE, Howard; WHYTE, Mark. Econometrics and data analysis for developing countries. Londres: Routledge, 1998. p. 456.
Se ajustarmos o modelo recíproco (6.7.1), obteremos os seguintes resultados da regressão:
(6.7.2)
Na medida em que o PNB per capita aumenta indefinidamente, a mortalidade infantil aproxi- ma-se de seu valor assintótico de cerca de 82 óbitos por mil. Como explicado na nota de roda- pé 20, o valor positivo do coeficiente de (1/PNBt) implica que a taxa de variação de mortalidade in fantil em relação ao PNB per capita seja negativa.
186 Parte Um Modelos de regressão com equação única
EXEMPLO 6.6
(Continuação)
FIGURA 6.8
Curva de Phillips.
Taxa de variação dos salários nominais (em %)
Taxa natural de desemprego
Taxa de desemprego (em %) UN
–β1 0
Uma das aplicações importantes da Figura 6.6b é a famosa curva de Phillips da macro- economia. Com os dados de variação percentual dos salários nominais (Y) e a taxa de desem- prego (X) do Reino Unido no período de 1861 a 1957, Phillips obteve uma curva cuja forma geral se assemelha à da Figura 6.6b (Figura 6.8). 21
Como a Figura 6.8 mostra, há uma assimetria na reação das variações salariais ao nível da taxa de desemprego: os salários aumentam mais rapidamente por unidade de variação no desemprego se esta taxa situa-se abaixo de UN, que é denominada pelos economistas como
taxa natural de desemprego (definida como a taxa de desemprego necessária para a manuten-
ção da inflação [dos salários] cons tante), e depois caem para uma variação equivalente quan- do a taxa de desemprego está acima de sua taxa natural UN, indicando o piso assintótico, ou - Ø
1,
para a variação dos salários. Esse aspecto específico da curva de Phillips pode ser decorrente de fatores institucionais, como o poder de barganha dos sindicatos, o salário mínimo, o auxílio desemprego etc.
Desde a publicação do artigo de Phillips, muito foi pesquisado sobre o assunto, tanto em termos teóricos quanto práticos. O espaço não nos permite aprofundar nos detalhes da contro- vérsia que cerca a curva de Phillips e a própria curva já passou por várias encarnações. Uma formulação relativamente recente é oferecida por Olivier Blanchard.22 Seja º
t a taxa de inflação no período t, que é definida como a variação percentual do nível de preços medida por um índice representativo como o índice de Preços ao Consumidor (IPC), e UNt a taxa de desempre- go no período t. Então, a versão moderna da curva de Phillips pode ser expressa da seguinte forma:
(6.7.3)
em que ºt= taxa de inflação vigente no período t
ºte= taxa de inflação esperada para o período t, com expectativa formada no ano (t - 1)
(Continua)
2122
21 PHILLIPS, A. W. “The relationship between unemployment and the rate of change of money wages in the
United Kingdom, 1861-1957.” Economica, nov. 1958. v. 15. p. 283-299. Note que a curva original não corta o eixo da taxa de desemprego, mas a Figura 6.8 apresenta uma versão posterior da curva.
22 Veja BLANCHARD, Olivier. Macroeconomics. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice Hall, 1997. cap. 17. (Traduzido
Capítulo 6 Extensões do modelo de regressão linear de duas variáveis 187
EXEMPLO 6.6
(Continuação)
UNt= taxa de desemprego vigente no período t
UN= taxa natural de desemprego
ut= termo de erro estocástico23
Como ºte não pode ser observado diretamente, podemos, como ponto de partida, fazer a hipótese simplificadora de que ºte = ºt- 1, isto é, a inflação esperada para este ano é a taxa
de inflação vigente no ano anterior; obviamente, é possível postular hipóteses mais comple- xas para a formação de expectativas e discutiremos este tópico no Capítulo 17, sobre mode- los com defasagens distribuídas.
Substituindo essa hipótese na Equação (6.7.3) e escrevendo o modelo de regressão no formato padrão, obtemos a seguinte equação de estimativa:
(6.7.4)
em que Ø1 = -Ø2UN. A Equação (6.7.4) indica que a variação da taxa de inflação entre dois
períodos relaciona-se linearmente com a taxa de desemprego corrente. A priori, espera-se que Ø2 seja negativo (por quê?) e Ø1, positivo (não surpreende, pois Ø2 é negativo e UN, positivo).
A relação de Phillips da Equação (6.7.3) é conhecida na literatura específica como curva
de Phillips modificada ou curva de Phillips com expectativas (para indicar que ºt- 1
representa a inflação esperada) ou a curva aceleracionista de Phillips (para sugerir que uma taxa de desemprego baixa provoca um aumento da taxa de inflação e, em consequên- cia, uma aceleração na variação do nível de preços).
23
EXEMPLO 6.7 Para ilustrar a curva de Phillips modificada, apresentamos na Tabela 6.5 dados relativos à inflação medida pela variação anual do índice de preços ao consumidor (IPC) e a taxa de desemprego durante o período 1960-2006. A taxa de desemprego refere-se ao desemprego civil. Com base nesses dados, obtivemos a variação da taxa de inflação (ºt - ºt- 1), a qual
representamos graficamente contra a taxa de desemprego civil; usamos o IPC dos Estados Unidos como medida da inflação. A Figura 6.9 mostra o gráfico.
Como esperado, a relação entre a variação da taxa de inflação e a taxa de desemprego é negativa — uma taxa de desemprego baixa leva a um aumento na taxa de inflação e, por- tanto, a uma aceleração no nível de preços, daí o nome de curva aceleracionista de Phillips.
Observando a Figura 6.9, não fica óbvio se um modelo de regressão linear (linha reta) ou um modelo recíproco seria mais adequado aos dados; pode haver uma relação curvilínea entre as duas variáveis. A seguir apresentamos os resultados de regressões baseadas em am- bos os modelos. Tenha em mente que, no modelo recíproco, espera-se um intercepto nega- tivo e um coeficiente angular positivo, como observamos na nota de rodapé 20.
(6.7.5)
(6.7.6)
Todos os coeficientes estimados nos dois modelos são, individualmente, estatisticamente significativos, pois todos os valores p são inferiores ao nível de 0,005.
(Continua)
23 Os economistas consideram que este termo de erro representa algum tipo de choque de oferta, como os em-
188 Parte Um Modelos de regressão com equação única EXEMPLO 6.7 (Continuação) TABELA 6.5 Taxa de inflação e taxa de desemprego nos Estados Unidos, 1960 – 2006 (para todos os consumidores urbanos; 1982–1984 = 100, exceto quando notificado)
Fonte: Economic Report of
the President, 2007,
Quadro B-60, p. 399, para o IPC; e Quadro B-42, p. 376, para a taxa de desemprego
Nota: a taxa de inflação é a variação anual do IPC. A taxa de desemprego refere-se aos trabalhadores civis.
FIGURA 6.9 Curva de Phillips modificada. 3 –5 Taxa de desemprego (%) 10 9 8 7 6 5 4 –3 –4 0 –1 –2 V
ariação da taxa de inflação
3 2 1 4 5 6
O modelo (6.7.5) mostra que, se a taxa de desemprego cair em média 1%, a taxa de inflação registrará um aumento médio de cerca de 0,64 ponto percentual e vice-versa. O modelo (6.7.6) mostra que, mesmo se a taxa de desemprego aumentar indefinidamente, a inflação cairá no máximo em torno de 3,07 pontos percentuais. É interessante observarmos que por meio da Equação (6.7.5) podemos calcular a taxa natural de desemprego subja- cente como:
(6.7.7)
A taxa natural de desemprego é de cerca de 5,93%. Os economistas situam a taxa natural entre 5% e 6%, embora recentemente a taxa de desemprego vigente nos Estados Unidos tenha sido bem inferior.
Capítulo 6 Extensões do modelo de regressão linear de duas variáveis 189
Modelo da hipérbole logarítmica ou modelo recíproco logarítmico
Concluiremos nossa discussão sobre os modelos recíprocos considerando o modelo recíproco loga- rítmico, que assume a seguinte forma:
(6.7.8)
Sua forma é apresentada na Figura 6.10. Como a figura mostra, inicialmente Y aumenta a uma taxa crescente (a curva é inicialmente convexa) e então aumenta a uma taxa decrescente (torna-se côncava).24 Portanto, esse modelo pode ser adequado a uma função de produção de curto prazo.
Lembre-se da microeconomia que, se trabalho e capital são os insumos em uma função de produção e se o capital for mantido constante enquanto se aumenta a quantidade de trabalho, a relação produto- -trabalho será semelhante à Figura 6.10. (Veja o Exemplo 7.3 do Capítulo 7.)