Considere o seguinte modelo conhecido como modelo de regressão exponencial:
(6.5.1)
que também pode ser expresso como:8
(6.5.2)
em que ln = logaritmo natural (logaritmo com base e, em que e = 2,718).9
Se escrevermos a Equação (6.5.2) como
(6.5.3)
em que Æ = ln Ø1, este modelo é linear nos parâmetros Æ e Ø2, linear nos logaritmos das variáveis Y e
X, e pode ser estimado mediante uma regressão de MQO. Devido a essa linearidade, tais modelos são denominados modelos log-log, duplo-log ou log-lineares.
Se as hipóteses do modelo clássico de regressão linear forem atendidas, os parâmetros da Equa- ção (6.5.3) podem ser estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários sendo:
(6.5.4)
em que e Y*
i = 1n Yi e X*i = 1n Xi. Os estimadores de MQO Æ e Ø2 obtidos serão os melhores estimadores
lineares não viesados de Æ e Ø2, respectivamente.
8 Observe estas propriedades dos logaritmos: (1) ln(AB) = ln A + ln B; (2) ln(A/B) = ln A - ln B; e (3) ln (Ak) = k ln A, supondo que A e B sejam positivos e k uma constante.
9 Na prática, podemos usar logaritmos comuns, isto é, logaritmos de base 10. A relação entre logaritmo natural e
logaritmo comum é: lne X = 2,3026log10 X. Por convenção, ln significa logaritmo natural e log, logaritmo de base
10; não há necessidade de explicitar os subscritos e e 10.
FIGURA 6.3 Modelo de elasticidade constante. (a) Preço Quantidade demandada Y (b) Log do preço Log da quantidad e demandada ln Y ln X X Y= βb1Xi–βb2 lnY = ln β 1– β2 ln Xi
178 Parte Um Modelos de regressão com equação única
Um aspecto atraente do modelo log-log, que o tornou muito difundido nos trabalhos aplicados, é que o coeficiente angular Ø2 mede a elasticidade de Y em relação a X, isto é, a variação percentual de Y cor-
respondente a uma dada variação percentual (pequena) em X.10 Se Y representa a quantidade demandada
de um bem e X seu preço unitário, Ø2 mede a elasticidade preço da demanda, um parâmetro de conside- rável interesse econômico. Se a relação entre quantidade demandada e preço for como a da Figura 6.3a, a transformação log-log da Figura 6.3b mostrará a elasticidade preço estimada (-Ø2).
Podemos observar dois aspectos especiais do modelo log-linear: ele pressupõe que o coeficiente da elasticidade entre Y e X, Ø2, permaneça constante (por quê?), daí o nome alternativo modelo de elasti- cidade constante.11 Em outras palavras, como mostra a Figura 6.3b, a variação em ln Y por unidade de variação em ln X (isto é, a elasticidade, Ø2) permanece a mesma com qualquer ln X utilizado para medir
a elasticidade. Outro aspecto desse modelo é que, embora Æ e Ø2 sejam estimativas não viesadas de Æ
e Ø1, Ø2 (o parâmetro que entra no modelo original), ao ser estimado como Ø1 = antilog ( Æ), é um esti-
mador viesado. Contudo, na maioria dos problemas práticos, o termo de intercepto é de importância secundária e não é necessário preocupar-se em obter sua estimativa não viesada.12
No modelo de duas variáveis, o modo mais simples de decidir se o modelo log-linear ajusta-se aos dados é traçar o diagrama de dispersão de ln Yi contra ln Xi e ver se os pontos aproximam-se de uma
reta, como na Figura 6.3b.
Atenção: o leitor deve saber a diferença entre variação percentual e variação de pontos percentuais.
Por exemplo, a taxa de desemprego normalmente é expressa na forma percentual, por exemplo, de 6%. Se essa taxa for para 8% dizemos que a variação em pontos percentuais na taxa de desemprego é 2, enquanto a variação percentual na taxa de desemprego será de (8 - 6)/6, ou cerca de 33%. Cuidado ao lidar com variações percentuais e de pontos percentuais, pois são dois conceitos muito diferentes.13
EXEMPLO 6.3 Despesas com bens duráveis em relação às despesas totais de consumo pessoal
A Tabela 6.3 apresenta dados relativos às despesas totais de consumo pessoal (DESPTCP), despesas com bens duráveis (DESPDUR), com bens não duráveis (DESPNAODUR) e despesas com serviços (DESPSERV), todas medidas em bilhões de dólares de 2000.13
(Continua)
10 O coeficiente de elasticidade, em notação de cálculo, é definido como (dY/Y)/(dX/X) = [(dY/dX)(X/Y)]. Os leito-
res familiarizados com o cálculo diferencial verão prontamente que Ø2 é, de fato, o coeficiente de elasticidade.
Nota técnica: o leitor que gosta de cálculo observará que d(ln X)/dX = 1/X ou d(ln X) = dX/X, isto é, para variações infinitesimais (veja o operador diferencial d), a variação em ln X é igual à variação relativa ou propor- cional em X. Contudo, na prática, se a variação de X for pequena, esta relação poderá ser escrita como: variação ln X ¢= variação relativa em X, em que ¢= significa “aproximadamente”. Para pequenas variações:
O leitor deve observar estes termos, que aparecerão com frequência: (1) variação absoluta; (2) variação re-
lativa ou proporcional; e (3) varia ção percentual ou taxa de crescimento percentual. Assim, (Xt - Xt-1)
representa a variação absoluta; (Xt - Xt-1)/Xt-1 = (Xt/Xt-1 - 1) é a variação relativa ou proporcional; e [(Xt - Xt-1)/
Xt-1]100 é a variação porcentual ou taxa de crescimento. Xt, e Xt-1 são, respectivamente, os valores corrente e
anterior da variável X.
11 Um modelo de elasticidade constante mostra uma variação constante da receita total para uma dada variação
percentual do preço, qualquer que seja o nível absoluto do preço. O leitor deveria comparar este resultado com as condições de elasticidade implícitas em uma função linear de demanda simples, Yi= Ø1 + Ø2Xi+ ui. Contudo, uma função linear simples resulta em uma variação constante na quantidade por unidade de variação no preço. Compare com as implicações do modelo log-linear no caso de uma dada variação no preço.
12 Em relação à natureza do viés e o que pode ser feito a respeito dele, veja GOLDBERGER, Arthur S. Topics in
regression analysis. Nova York: Macmillan, 1978. p. 120.
13 Os bens duráveis incluem veículos motorizados e suas peças, móveis e eletrodomésticos; os bens não duráveis
incluem alimentação, vestuá rio, combustível automotivo, óleo combustível e carvão; e os serviços incluem gastos com moradia, luz e gás, transporte e saúde.
Capítulo 6 Extensões do modelo de regressão linear de duas variáveis 179
EXEMPLO 6.3
(Continuação)
Suponha que queiramos encontrar a elasticidade das despesas com bens duráveis em relação às despesas totais de consumo pessoal. Representando graficamente o ln das despe- sas com bens duráveis contra o ln das despesas totais de consumo, você verá que a relação entre as duas variáveis é linear. Portanto, o modelo log-log pode ser apropriado. Os resulta- dos da regressão são os seguintes:
(6.5.5)
em que * indica que o valor p é extremamente pequeno.
TABELA 6.3 Despesa pessoal total e categorias (em bilhões de dólares encadeados de 2000)
Fonte: Economic Report
of the President, 1999,
Quadro B-17, p. 34
Ano-Trimestre DESPSERV DESPDUR DESPNAODUR DESPTCP
2003-I 4.143,3 971,4 2.072,5 7.184,9 2003-II 4.161,3 1.009,8 2.084,2 7.249,3 2003-III 4.190,7 1.049,6 2.123,0 7.352,9 2003-IV 4.220,2 1.051,4 2.132,5 7.394,3 2004-I 4.268,2 1.067,0 2.155,3 7.479,8 2004-II 4.308,4 1.071,4 2.164,3 7.534,4 2004-III 4.341,5 1.093,9 2.184,0 7.607,1 2004-IV 4.377,4 1.110,3 2.213,1 7.687,1 2005-I 4.395,3 1.116,8 2.241,5 7.739,4 2005-II 4.420,0 1.150,8 2.268,4 7.819,8 2005-III 4.454,5 1.175,9 2.287,6 7.895,3 2005-IV 4.476,7 1.137,9 2.309,6 7.910,2 2006-I 4.494,5 1.190,5 2.342,8 8.003,8 2006-II 4.535,4 1.190,3 2.351,1 8.055,0 2006-III 4.566,6 1.208,8 2.360,1 8.111,2
Nota: DESPSERV = despesas com serviços.
DESPDUR = despesas com bens duráveis. DESPNAODUR = despesas com bens não duráveis. DESPTCP = despesas totais de consumo pessoal.
Como esses resultados sugerem, a elasticidade de DESPDUR em relação à DESPTCP é de cerca de 1,63, sugerindo que quando as despesas totais aumentam em 1% as despesas com bens duráveis au mentam em cerca de 1,63%, em média. As despesas com bens duráveis são muito sensíveis a variações nas despesas totais de consumo pessoal. Essa é uma das razões pelas quais os produtores de bens duráveis acompanham atentamente as variações na renda e nas despesas de consumo pessoal. No Exercício 6.18 pede-se que o leitor faça um estudo semelhante para as despesas com bens não duráveis e com serviços.